При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.
Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.
Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.
Вращательное движение тела (Е. М. Никитин, § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.
Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими at и an.
Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины: φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек2).
Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).
Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f' (t).
Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f'' (t).
Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φоб.
Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.
Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то φ = 2πφоб и φоб = φ/(2π).
Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие – скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах – в рад/сек или в об/мин.
Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.
При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, at и an, характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).
Если R – расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ – углом поворота тела и s – расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.
Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.
Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
at = εR.
Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
an = ω2R.
При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности – совершает криволинейное движение.
§ 33. Равномерное вращательное движение
Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.
Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ0 + ωt.
В частном случае, когда начальный угол поворота φ0=0,
φ = ωt.
Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T – период вращения тела; φ=2π – угол поворота за один период.
Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.
Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ0 + ω0t + εt2/2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω0 + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ0, ω0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.
Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.
Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ0 + (ω + ω0)t/2.
Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ0 + (ω2 - ω02)/(2ε).
В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ0=0 и ω0=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω2/(2ε).
