Точка, движение которой ничем не ограничено, называется свободной. Свободная точка под действием приложенных сил может двигаться в каком угодно направлении. Задачи, в которых рассматривается свободная точка, решаются при помощи основного уравнения динамики (жирным выделены векторные величины)
(а)P = ma.
Если на точку действует только одна сила Р (примером такого движения может служить так называемое свободное падение – движение точки под действием силы тяжести в безвоздушном пространстве), то векторное уравнение (а) заменяется скалярным уравнением
(б) P = ma,
выражающим зависимость между модулями силы и ускорения.
Если на точку действует несколько сил Р1, Р2, ..., Рn, то векторное уравнение (а) примет вид
(в)R = ma,
где равнодействующая R=∑Pi и, согласно закону независимости действия сил, a=∑ai (ускорение точки равно геометрической сумме ускорений, сообщенных ей каждой силой в отдельности).
Векторное равенство (в) заменяется двумя или тремя скалярными равенствами.
Если силы Р1, Р2, ..., Рn, действующие в одной плоскости, спроектировать на две взаимно перпендикулярные оси, получим два скалярных уравнения (уравнения проекций на оси х и у):
(г) ∑ Xi = max,
∑ Yi = may,
где ax и ay – проекции ускорения а соответственно на ось x и y.
Если система сил, приложенных к точке, – пространственная, то вместо векторного уравнения (в) составляется три скалярных уравнения проекций на оси х, у и z.
§ 42. Применение принципа Даламбера к решению задач на прямолинейное движение точки
Обычно в задачах по динамике рассматривают так называемые несвободные материальные точки – материальные точки, движение которых ограничивается различными связями.
Приступая к решению задач, в которых рассматривается несвободная материальная точка, нужно прежде всего выявить действующие на точку активные силы (движущие силы и силы сопротивления), а также реакции связей (пассивные силы).
Выявив действующие силы, необходимо определить, находятся они в равновесии или нет? Этот вопрос в зависимости от заданных условий решается двояко.
Если, например, известно, что точка движется равномерно и прямолинейно, значит система сил уравновешена; если же известно, что точка двигается неравномерно или имеет криволинейную траекторию, то система сил неуравновешена (первая задача динамики; Е. М. Никитин, § 76).
Если система сил задана (все силы системы известны), то, определив проекции сил на оси координат, можно установить равновесие или неравновесие системы. В случае когда суммы проекций всех сил на каждую из осей равны нулю, заданная система сил уравновешена. Когда же сумма проекций всех сил хотя бы на одну из осей не равна нулю, система сил неуравновешена. В первом случае точка движется равномерно и прямолинейно, во втором случае – имеет ускорение (вторая задача динамики).
При решении различных технических задач особенно важное значение приобретает случай, когда на материальную точку действует неуравновешенная система сил. В подобных случаях целесообразно решать задачи, применяя так называемый метод кинетостатики или принцип Даламбера (Е. М. Никитин, § 78), который формулируется так: активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.
Применяя принцип Даламбера, необходимо очень хорошо понимать сущность силы инерции (Е. М. Никитин, § 79). Нужно помнить,
во-первых, что сила инерции, численно равная произведению массы точки на приобретенное ускорение, всегда направлена в сторону, противоположную вектору ускорения;
во-вторых, что сила инерции в действительности не приложена к рассматриваемой в задаче материальной точке; она условно прикладывается к этой точке; фактически сила инерции приложена к двигающему телу или к связи;
в-третьих, что равновесие сил, которое образуется после добавления силы инерции к силам, приложенным к точке, – равновесие фиктивное, но оно позволяет воспользоваться для решения задачи уравнениями равновесия из статики.
При решении задач с помощью метода кинетостатики рекомендуется придерживаться такой последовательности:
1) выделить точку, движение которой рассматривается, и изобразить ее на рисунке;
2) выявить все активные силы и изобразить их приложенными к точке на рисунке;
3) освободить точку от связей, заменить связи их реакциями и также изобразить их на рисунке;
4) добавить к полученной системе сил силу инерции;
5) рассмотреть образовавшуюся уравновешенную систему сил и в зависимости от вида системы сил выбрать наиболее рациональный способ решения: графический, графо-аналитический или аналитический (методом проекций).
§ 43. Применение принципа Даламбера к решению задач на криволинейное движение точки
Как известно из кинематики, при движении материальной точки по криволинейной траектории ее ускорение a имеет два составляющих ускорения: at – касательное (тангенциальное) и an – нормальное (центростремительное).
Из динамики уже известно, что ускорение a, приобретенное точкой, есть результат действия определенной системы сил. Равнодействующая P этой системы и ускорение a (рис. 248) находятся в зависимости, выражающей основной закон динамики точки:
P = ma.
Если уравновесить силу Р приложением к точке силы инерции Ри, а затем разложить ее на две составляющие Рnи и Рtи соответственно по нормали и по касательной, то эти составляющие будут находиться в зависимости от нормальных и касательных ускорений, определяемых такими векторными равенствами:
Pnи = -man и Ptи = -mat.
В задачах на криволинейное движение точки в основном рассматривается нормальная (центробежная) сила инерции Pnи.
Числовое значение нормальной (центробежной) силы инерции можно выражать следующими формулами:
(1) Pnи = man.
Заменим здесь an = v2/R:
(2) Pnи = mv2/R.
Если материальная точка, рассматриваемая в задаче, связана с каким-либо вращающимся телом, то скорость точки удобнее выражать через угловую скорость тела v=ωR и тогда
(3) Pnи = mω2R.
Если в последней формуле выразить массу точки через ее вес m=G/g, а угловую скорость – в об/мин ω=πn/30, то
Pnи = Gπ2n2R/(900g).
Здесь π2≈g (9,86≈9,81), поэтому формуле можно придать такой вид
(4) Pnи ≈ Gn2R/900.
Эта формула дает приближенное значение центробежной силы инерции, но она очень удобна при решении многих задач.
Последовательность решения задач на криволинейное движение точки при помощи метода кинетостатики та же, что в предыдущем параграфе.
