Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения. Смотрите также способы и примеры решения задач по теме движение материальной точки.
Задание Д.1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил
Варианты 1–5 (рис. 117, схема 1). Тело движется из точки A по участку AB (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ с. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.
В точке B тело покидает плоскость со скоростью vB и попадает со скоростью vC в точку C плоскости BD, наклоненной под углом β к горизонту, находясь в воздухе T с.
При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Варианты 6–10 (рис. 117, схема 2). Лыжник подходит к точке A участка трамплина AB, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l, со скоростью vA. Коэффициент трения скольжения лыж на участке AB равен f. Лыжник от A до B движется τ с; в точке B со скоростью vB он покидает трамплин. Через T с лыжник приземляется со скоростью vC в точке C горы, составляющей угол β с горизонтом.
При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Варианты 11–15 (рис. 117, схема 3). Имея в точке A скорость vA, мотоцикл поднимается τ с по участку AB длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке AB движущей силе P мотоцикл в точке B приобретает скорость vB и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе T с и приземляясь в точке C со скоростью vC. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.
При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.
Варианты 16–20 (рис. 117, схема 4). Камень скользит в течение τ с по участку AB откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке B скорость vB, камень через T с ударяется в точке C о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Варианты 21–25 (рис. 117, схема 5). Тело движется из точки A по участку AB (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ с тело в точке B со скоростью vB покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку C со скоростью vC; при этом оно находится в воздухе T с.
При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.
Варианты 26–30 (рис. 117, схема 6). Имея в точке A скорость vA, тело движется по горизонтальному участку AB длиной l в течение τ с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью vB тело в точке B покидает плоскость и попадает в точку C со скоростью vC, находясь в воздухе T с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Задание Д.2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
Найти уравнения движения тела M массой m (рис. 119–121), принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы P=Xi+Yj+Zk, при заданных начальных условиях. Во всех вариантах ось z (где показана) вертикальна, за исключением вариантов 8 и 30.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 39, в которой приняты следующие обозначения: i, j, k – орты координатных осей (соответственно x, y, z); g – ускорение свободного падения (9,81 м/с2); f – коэффициент трения скольжения; t – время, с; x, y, z, x', y', z' – координаты точки и проекции ее скорости нa оси координат соответственно, м и м/с.
Во всех случаях, где сила P зависит от x, x', z, z', рассмотреть движение точки, при котором эти величины только положительны.
Задание Д.3. Исследование колебательного движения материальной точки
Варианты 1–5 (рис. 125). Найти уравнение движения груза D массой mD (варианты 2 и 4) или системы грузов D и E массами mD и mE (варианты 1, 3, 5), отнеся их движение к оси x; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы грузов D и E (при статической деформации пружин). Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым.
Варианты 6–10 (рис. 125). Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкасания груза с пружиной или с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движение груза отнести к оси x, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации пружин).
Варианты 11–15 (рис. 126). Груз D массой m укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси E. Груз соединен с пружиной или с системой пружин; положение покоя стержня, показанное на чертеже, соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материальную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза (трением скольжения груза по плоскости пренебречь).
Движение отнести к оси x, за начало отсчета принять точку, соответствующую положению покоя груза.
Варианты 16–20 (рис. 126). Найти уравнение движения груза D массой mD (варианты 17 и 19) или системы грузов D и E массами mD и mE (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси x; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы грузов D и E (при статической деформации пружин). Предполагается, что грузы D и E при совместном движении не отделяются.
Варианты 21–25 (рис. 127). Найти уравнение движения груза D массой m по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, отнеся движение к оси x; за начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин).
Варианты 26–30 (рис. 127). Пренебрегая массой плиты и считая ее абсолютно жесткой, найти уравнение движения груза D массой m с момента соприкасания его с плитой, предполагая, что при дальнейшем движении груз от плиты не отделяется.
Движение груза отнести к оси x, приняв за начало отсчета положение покоя этого груза (при статической деформации пружин).
Задание Д.4. Исследование относительного движения материальной точки
Шарик M, рассматриваемый как материальная точка, перемещается по цилиндрическому каналу движущегося тела A (рис. 129–131). Найти уравнение относительного движения этого шарика x=f(t), приняв за начало отсчета точку O.
Тело A равномерно вращается вокруг неподвижной оси (в вариантах 2, 3, 4, 7, 10, 11, 14, 20, 23, 26 и 30 ось вращения z1 вертикальна, в вариантах 1, 12, 15 и 25 ось вращения x1 горизонтальна). В вариантах 5, 6, 8, 9, 13, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 27, 28 и 29 тело A движется поступательно, параллельно вертикальной плоскости y1O1z1.
Найти также координату x и давление шарика на стенку канала при заданном значении t=t1. Данные, необходимые для выполнения задания, приведены в табл. 40.
В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика M; ω – постоянная угловая скорость тела A (в вариантах 1–4, 7, 10–12, 14, 15, 20, 23, 25, 26, 30) или кривошипов O1B и O2C (в вариантах 6, 17, 22); c – коэффициент жесткости пружины, к которой прикреплен шарик M; l0 – длина недеформированной пружины; f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке канала; x0, x'0 – начальная координата и проекция начальной скорости на ось х.
Задание Д.5. Применение теоремы об изменении количества движения к определению скорости материальной точки
Телу массой m сообщена начальная скорость v0, направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. На тело действует сила P, направленная в ту же сторону (рис. 133).
Зная закон изменения силы P=P(t) и коэффициент трения скольжения f, определить скорость тела в моменты времени t1, t2, t3 и проверить полученный результат для момента времени t1 с помощью дифференциального уравнения движения.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 41.
При построении графика изменения силы P по заданным ее значениям P0, P1, P2, P3 для моментов времени t0, t1, t2, t3 считать зависимость P=P(t) между указанными моментами времени линейной. Значение силы P, задаваемое в табл. 41 в виде дроби, указывает на то, что модуль силы в заданный момент времени претерпевает «скачок»: в числителе указан модуль силы в конце промежутка времени, а в знаменателе – в начале следующего промежутка времени.
Задание Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения A внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135–137). Найти скорость шарика в положениях B и C и давление шарика на стенку трубки в положении C. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 42.
В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика; vA – начальная скорость шарика; τ – время движения шарика на участке AB (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9–13, 15–17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 – начальная деформация пружины; h – наибольшее сжатие пружины; c – коэффициент жесткости пружины; H – наибольшая высота подъема шарика; s – путь, пройденный шариком до остановки.