Форум - 2.1.18 Ряд Фурье [5]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.1.18 Ряд Фурье
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

Artsm

Новичок
ПОЖАЛУЙСТА, помогите )))

Разложить в ряд Фурье функцию y= x-1 на промежутке
-pi<x<pi

К завтра надо уже..) буду очень признателен)

Всего сообщений: 13 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 28 окт. 2009 15:03 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Artsm написал 28 окт. 2009 15:03
ПОЖАЛУЙСТА, помогите )))

Разложить в ряд Фурье функцию y= x-1 на промежутке
-pi<x<pi

К завтра надо уже..) буду очень признателен)

f(x) = x-1, -П < x < П

$f(x) \sim a_{0} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_{n}cosnx + b_{n}sinnx)$

$a_{0} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)dx =$

$= \frac{1}{2\pi}(\frac{x^{2} }{2} - x) |_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2\pi} (\frac{\pi^{2} }{2} - \pi - \frac{\pi^{2} }{2} + (-\pi) ) = -1$

$a_{0} = -1$

$a_{n} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)cosnxdx = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)cosnxdx =$

$= \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)d(sinnx) = \frac{1}{n\pi} (x-1)sinnx |_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} sinnxd(x-1) =$

$= \frac{1}{n\pi} (\pi -1)sinn\pi - \frac{1}{n\pi} (-\pi -1)sinn(-\pi) - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} sinnxdx =$

$= 0 - 0 - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} sinnxdx =$

$= - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} sinnxdx = frac{1}{n^{2}\pi} cosnx |_{-\pi}^{\pi} =$

$= \frac{1}{n^{2}\pi} cosn\pi - \frac{1}{n^{2}\pi} cosn(-\pi) = \frac{1}{n^{2}\pi} cosn\pi - \frac{1}{n^{2}\pi} cosn\pi = 0$

$a_{n} = 0$

$b_{n} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)sinnxdx = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)sinnxdx =$

$= - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} (x-1)d(cosnx) =$

$= - \frac{1}{n\pi} (x-1)cosnx |_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} cosnxd(x-1) =$

$= - \frac{1}{n\pi} (\pi -1)cosn\pi + \frac{1}{n\pi} (-\pi -1)cosn(-\pi) + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} cosnxdx =$

$= - \frac{1}{n\pi} (\pi -1)cosn\pi - \frac{1}{n\pi} (\pi +1)cosn\pi + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} cosnxdx =$

$= - \frac{1}{n\pi} (cosn\pi ) (\pi - 1 + \pi + 1) + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} cosnxdx = \frac{-2}{n}cosn\pi + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} cosnxdx =$

$= - \frac{2}{n} (-1)^{n} + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} cosnxdx = \frac{2(-1)^{n+1} }{n} + \frac{1}{n^{2} \pi} sinnx |_{-\pi}^{\pi} =$

$= \frac{2(-1)^{n+1} }{n} + \frac{1}{n^{2}\pi}sinn\pi - \frac{1}{n^{2}\pi} sinn(-\pi) =$

$= \frac{2(-1)^{n+1} }{n}$

$b_{n} = \frac{2(-1)^{n+1} }{n}$

$f(x) \sim - 1 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1} }{n}sinnx$

Надеюсь, что я не ошиблась

(Сообщение отредактировал RKI 28 окт. 2009 16:25)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 16:11 | IP

Artsm

Новичок
RKI, спасибо большое!

Помогите, пожалуйста, разложить в ряд Фурье вот такую нереальную функцию.

f(x) = общая система { x, 0<x<альфа
альфа, альфа<x<pi-альфа
-x+pi, pi-альфа<x<pi
Знаю точно,что ф-я нечет, есть график. поэтому a0 и an=0
Т.е. над найти тока bn. Но там какие то нереальные преобразования, не могу додумать их...
в ответах bn= 4/pi*sin(n*альфа)/n в квадрате. А сама функция када через синусы расписываешь имеет только нечетные аргументы, т.е. получается,что нужно доказать еще в процессе нахождения, что только при нечетных числах bn существует, а при четных равен 0.
вот, аж самому интересно стало...хотелось бы добить этот пример)

(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 1:34)

Всего сообщений: 13 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 20:18 | IP

Jan

Новичок
Упс) еще раз первое задание:
{0, -п<=x<0
f(x)= {1, 0<=x<(п/2)
{-1, (п/2)<=x<=п

Всего сообщений: 4 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 2 нояб. 2009 2:42 | IP

vikusya

Новичок
Помогите пожалуйста решить:
разложить в ряд Фурье переодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

{-(x+2) при -2<(меньше или равно)x<(меньше или равно) 0
f(x)=
{-(x-2) при -0<(меньше)x<(меньше)2

Всего сообщений: 12 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 3 нояб. 2009 10:06 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Artsm написал 2 нояб. 2009 14:58
Помогите, пожалуйста, разложить в ряд Фурье вот такую нереальную функцию.

f(x) = общая система { x, 0<x<альфа
альфа, альфа<x<pi-альфа
-x+pi, pi-альфа<x<pi
Знаю точно,что ф-я нечет, есть график. поэтому a0 и an=0
Т.е. над найти тока bn. Но там какие то нереальные преобразования, не могу додумать их...
в ответах bn= 4/pi*sin(n*альфа)/n в квадрате. А сама функция када через синусы расписываешь имеет только нечетные аргументы, т.е. получается,что нужно доказать еще в процессе нахождения, что только при нечетных числах bn существует, а при четных равен 0.
вот, аж самому интересно стало...хотелось бы добить этот пример)

f(x) = {x, 0 < x < A
{A, A < x < П-A
{-x+П, П-A < x < П

$f(x) \sim \frac{a_{0} }{2} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (a_{n}cosnx + b_{n}sinnx)$

-------------------------------------------------------------------------------

$a_{n} = \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi} f(x)(cosnx)dx =$

$= \frac{2}{\pi} (\int\limits_{0}^{A} f(x)(cosnx)dx + \int\limits_{A}^{\pi - A} f(x)(cosnx)dx + \int\limits_{\pi - A}^{\pi} f(x)(cosnx)dx) =$

$= \frac{2}{\pi} (\int\limits_{0}^{A} x(cosnx)dx + \int\limits_{A}^{\pi - A} A(cosnx)dx + \int\limits_{\pi - A}^{\pi} (-x+\pi)(cosnx)dx) =$

$= \frac{2}{n\pi} (\int\limits_{0}^{A} xd(sinnx) + Asinnx |_{A}^{\pi - A} + \int\limits_{\pi - A}^{\pi} (-x+\pi)d(sinnx) ) =$

$= \frac{2}{n\pi} (x(sinnx) |_{0}^{A} - \int\limits_{0}^{A} (sinnx)dx + Asin(n\pi - nA) - AsinnA + (-x+\pi)(sinnx) |_{\pi - A}^{\pi} - \int\limits_{\pi-A}^{\pi} (sinnx)d(-x+\pi) ) =$

$= \frac{2}{n\pi} (AsinnA - 0 - \int\limits_{0}^{A} (sinnx)dx + Asin(n\pi - nA) - AsinnA + 0 - Asin(n\pi - nA) + \int\limits_{\pi - A}^{\pi} (sinnx)dx ) =$

$= \frac{2}{n\pi} (- \int\limits_{0}^{A} (sinnx)dx + \int\limits_{\pi - A}^{\pi} (sinnx)dx ) =$

$= \frac{2}{n^{2}\pi} (cosnx |_{0}^{A} - cosnx |_{\pi - A}^{\pi}) =$

$= \frac{2}{n^{2}\pi} (cosnA - cos0 - cosn\pi + cos(n\pi - nA)) =$

$= \frac{2}{n^{2}\pi} (cosnA - 1 - cosn\pi + cosn\pi cosnA) =$

$= \frac{2}{n^{2}\pi} (cosnA - 1 + cosn\pi (cosnA - 1)) =$

$= \frac{2}{n^{2}\pi} (cosnA - 1)(1 + cosn\pi) = \frac{2(cosnA - 1)(1 + (-1)^{n})}{n^{2}\pi}$

$a_{n} = \frac{2(cosnA - 1)(1 + (-1)^{n})}{n^{2}\pi}$

Если n - четное, то
$a_{n} = \frac{4(cosnA - 1)}{n^{2}\pi}$

Если n - нечетное, то
$a_{n} = 0$

P.S. У меня не получается, что все a_{n} = 0

(Сообщение отредактировал RKI 3 нояб. 2009 12:57)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 нояб. 2009 12:55 | IP

Jan

Новичок
Разложить в ряд Фурье f(x)=xcosx, 0<x<(п/2) по синусам

Всего сообщений: 4 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 3 нояб. 2009 23:52 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vikusya написал 4 нояб. 2009 12:03
Помогите пожалуйста
разложить в ряд Фурье переодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде

{-(x+2) при -2<(меньше или равно)x<(меньше или равно) 0
f(x)=
{-(x-2) при -0<(меньше)x<(меньше)2

f(x) = {-x-2, -2 <= x <= 0
{-x+2, 0 < x < 2

$f(x) \sim \frac{a_{0} }{2} + \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (a_{n}cos\frac{\pi nx}{2} + b_{n}sin\frac{\pi nx}{2})$

--------------------------------------------------------------------------

$a_{n} = \frac{1}{2}\int\limits_{-2}^{2} f(x)cos\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{1}{2}\int\limits_{-2}^{0} f(x)cos\frac{\pi nx}{2}dx + \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2} f(x)cos\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{1}{2} \int\limits_{-2}^{0} (-x-2)cos\frac{\pi nx}{2}dx + \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2} (-x+2)cos\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{1}{n\pi}\int\limits_{-2}^{0} (-x-2)d(sin\frac{\pi nx}{2}) + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{0}^{2} (-x+2)d(sin\frac{\pi nx}{2}) =$

$= \frac{1}{n\pi} (-x-2)sin\frac{\pi nx}{2} |_{-2}^{0} - \frac{1}{n\pi}\int\limits_{-2}^{0} sin\frac{\pi nx}{2}d(-x-2) + \frac{1}{n\pi} (-x+2)sin\frac{\pi nx}{2} |_{0}^{2} - \frac{1}{n\pi}\int\limits_{0}^{2} sin\frac{\pi nx}{2}d(-x+2) =$

$= \frac{1}{n\pi}\int\limits_{-2}^{0} sin\frac{\pi nx}{2}dx + \frac{1}{n\pi}\int\limits_{0}^{2} sin\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{1}{n\pi}\int\limits_{-2}^{2} sin\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= - \frac{2}{n^{2}\pi^{2} }cos\frac{\pi nx}{2} |_{-2}^{2} =$

$= - \frac{2}{n^{2}\pi^{2} }(cos(\pi n) - cos(-\pi n)) =$

$= - \frac{2}{n^{2}\pi^{2} } (cos(\pi n) - cos(\pi n)) = 0$

$a_{n} = 0$

--------------------------------------------------------------------------------

$b_{n} = \frac{1}{2}\int\limits_{-2}^{2} f(x)sin\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{1}{2} \int\limits_{-2}^{0} f(x)sin\frac{\pi nx}{2}dx + \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2} f(x)sin\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{1}{2} \int\limits_{-2}^{0} (-x-2)sin\frac{\pi nx}{2}dx + \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2} (-x+2)sin\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= - \frac{1}{n\pi}\int\limits_{-2}^{0} (-x-2)d(cos\frac{\pi nx}{2}) - \frac{1}{n\pi}\int\limits_{0}^{2} (-x+2)d(cos\frac{\pi nx}{2}) =$

$= - \frac{1}{n\pi}(-x-2)cos\frac{\pi nx}{2} |_{-2}^{0} + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-2}^{0} cos\frac{\pi nx}{2}d(-x-2) - \frac{1}{n\pi}(-x+2)cos\frac{\pi nx}{2} |_{0}^{2} + \frac{1}{n\pi} \int\limits_{0}^{2} cos\frac{\pi nx}{2}d(-x+2) =$

$= \frac{2}{n\pi} - \frac{1}{n\pi}\int\limits_{-2}^{0} cos\frac{\pi nx}{2}dx + \frac{2}{n\pi} - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{0}^{2} cos\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{4}{n\pi} - \frac{1}{n\pi} \int\limits_{-2}^{2} cos\frac{\pi nx}{2}dx =$

$= \frac{4}{n\pi} - \frac{2}{n^{2}\pi^{2} }sin\frac{\pi nx}{2} |_{-2}^{2} =$

$= \frac{4}{n\pi} - \frac{2}{n^{2}\pi^{2} } (sin(\pi n) - sin(-\pi n)) =$

$= \frac{4}{n\pi} - 0 = \frac{4}{n\pi}$

$b_{n} = \frac{4}{n\pi}$

-----------------------------------------------------------------------------

$f(x) \sim \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n\pi}sin\frac{\pi nx}{2}$

Возможно я где-то ошиблась.

(Сообщение отредактировал RKI 5 нояб. 2009 10:53)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 10:48 | IP

Ulenka20

Новичок
Помогите пожалуйста еще раз! Бьюсь с этими задачами и не пойму как их решать....
1 Дискретная случайная величина X задана рядом распределения:
---------------------------------------------
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---------------------------------------------
P | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
---------------------------------------------
Найти условную вероятность события X<5, при условии, что X>2.

2 Два игрока А и В поочередно бросают монету. Выигравшим считается тот, у кого выпадет герб. Первый бросок делает
игрок А, а второй бросок -В и т.д. Найти вероятность того, что выиграл В до 8-го броска.

Всего сообщений: 16 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 5 нояб. 2009 12:39 | IP

RKI

Долгожитель
Ulenka 20

Для данных задач существует тема форума
"Теория вероятностей"

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 12:43 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ]