Форум - 2.3.3 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений [4]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.3.3 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

Trushkov

Долгожитель
Выражаете x из второго уравнения (x=y'-y), подставляете в первое (y''-y'=y'-y-4y). Получается уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 20 окт. 2009 10:32 | IP

lolechka

Начинающий
Здравствуйте, подскажите как дальше дорешать систему дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения

x'=-2x
y'=y

решаю так

составляем характеристическое уравнение и решаем его:
|-2-L 0 |
|0 1-L)|=0 ;
(-2-L)(1-L)=0;
L_1=1; L_2=-2
Решение системы ищем в виде:
x_1=A_1 e^(L_1 x)=A_1 e^x; y_1=B_1 e^(L_1 x)=B_1 e^x
x_2=A_2 e^(L_2 x)=A_2 e^(-2x); y_2=B_2 e^(L_2 x)=B_2 e^(-2x).

а дальше что то туплю

(Сообщение отредактировал lolechka 9 дек. 2009 7:09)

Всего сообщений: 54 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 дек. 2009 7:03 | IP

attention

Долгожитель

Цитата: lolechka написал 9 дек. 2009 6:03
Здравствуйте, подскажите как дальше дорешать систему дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения

x'=-2x
y'=y

решаю так

составляем характеристическое уравнение и решаем его:
|-2-L 0 |
|0 1-L)|=0 ;
(-2-L)(1-L)=0;
L_1=1; L_2=-2
Решение системы ищем в виде:
x_1=A_1 e^(L_1 x)=A_1 e^x; y_1=B_1 e^(L_1 x)=B_1 e^x
x_2=A_2 e^(L_2 x)=A_2 e^(-2x); y_2=B_2 e^(L_2 x)=B_2 e^(-2x).

а дальше что то туплю

lolechka, во-первых, у вас $x$ и $y$ не друг от друга, а они зависят от $t$ ; во-вторых, оба уравнения системы не связаны между собой; т.е. просто каждое уравнение системы решаете отдельно относительно переменной $t$ :

$\left\{\begin{gathered}\!x'=- 2x, \hfill \\\!y'=y; \hfill \\ \end{gathered}\right.\,\Leftrightarrow\, \left[\begin{gathered}k=- 2, \hfill\\m=1\hfill \\ \end{gathered}\right]\,\Leftrightarrow\,\left\{\begin{gathered}\!x\left( t \right)=Ce^{- 2t}, \hfill \\\!y\left( t \right)=Ce^t. \hfill \\ \end{gathered}\right.$

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 9 дек. 2009 8:09 | IP

Stalker

Новичок
Помогите решить систему уравнений записав в матричной форме

(Сообщение отредактировал Stalker 3 марта 2010 16:28)

Всего сообщений: 5 | Присоединился: март 2010 | Отправлено: 3 марта 2010 15:51 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Stalker написал 3 марта 2010 15:51
Помогите решить систему уравнений записав в матричной форме

(Сообщение отредактировал Stalker 3 марта 2010 16:28)

$\frac{dx}{dt} = - x + 5y \ \ \ \frac{dy}{dt} = x + 3y$

X = x
y

X' = x'
y'

A = -1 5
1 3

X' = AX

Найдем собственные значения a матрицы A.

$|A - aE| = 0$

|-1-a 5 | = 0
| 1 3-a|

$(-1-a)(3-a) = 0$

$a^{2} - 2a - 8 = 0$

$a_{1} = -2 \ \ \ a_{2} = 4$

Решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
$X = CX_{1}e^{-2t} + DX_{2}e^{4t},$
где $X_{1}, X_{2}$ - собственные векторы матрицы A, соответтсвующие собственным значениям -2 и 4 соответственно.

Найдем $X_{1}, X_{2}$

$a_{1} = -2$

$A - a_{1}E = 0$

1 5 0
1 5 0

1 5 0
0 0 0

$x + 5y = 0$

$y = 1 \ \ \ x = - 5$

X1 = -5
1

$a_{2} = 4$

$A - a_{2}E = 0$

-5 5 0
1 -1 0

0 0 0
1 -1 0

$x - y = 0$

$x = y = 1$

X2 = 1
1

$X = CX_{1}e^{-2t} + DX_{2}e^{4t}$

$x(t) = -5Ce^{-2t} + De^{4t} \ \ \ y(t) = Ce^{-2t} + De^{4t}$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 марта 2010 14:46 | IP

Tapik

Новичок
В точках x1=0 и x2=6 для функции f(x) установить непрерывность или определитель характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окресностях этих точек:

Вот такая вот задачка. Помогите решить, очень надо
пожалуйстааа

a) f(x)=5/(-2+2^6/x)

l5/6*(x+6), если -00<x<0
b) f(x)=l5/36*(x-36), если 0<=x<=6
l 5, если 6<x<+00

Всего сообщений: 12 | Присоединился: март 2010 | Отправлено: 5 марта 2010 20:48 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Tapik написал 5 марта 2010 20:48
В точках x1=0 и x2=6 для функции f(x) установить непрерывность или определитель характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окресностях этих точек:

Вот такая вот задачка. Помогите решить, очень надо
пожалуйстааа

a) f(x)=5/(-2+2^6/x)

l5/6*(x+6), если -00<x<0
b) f(x)=l5/36*(x-36), если 0<=x<=6
l 5, если 6<x<+00

f(x) = {(5/6)(x+6), x < 0
{(5/36)(x-36), 0 <= x <= 6
{5, x > 6

$x_{1} = 0$

$\lim\limits_{x \to -0} f(x) = \lim\limits_{x \to -0} \frac{5}{6}(x+6) = \frac{5}{6}(0+6) = 5$

$\lim\limits_{x \to +0} f(x) = \lim\limits_{x \to +0} \frac{5}{36}(x-36) = \frac{5}{36}(0-36) = - 5$

$\lim\limits_{x \to -0} f(x) \ne \lim\limits_{x \to + 0} f(x)$
Следовательно, точка $x_{1} = 0$ - точка разрыва первого рода.

$x_{2} = 6$

$\lim\limits_{x \to 6-0} f(x) = \lim\limits_{x \to 6-0} \frac{5}{36}(x-36) = \frac{5}{36}(6-36) = - \frac{25}{6}$

$\lim\limits_{x \to 6+0} f(x) = \lim\limits_{x \to 6+0} 5 = 5$

$\lim\limits_{x \to 6-0} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 6+0} f(x)$

Следовательно, точка $x_{2} = 6$ - точка разрыва первого рода.

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 марта 2010 10:44 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Tapik написал 5 марта 2010 20:48
В точках x1=0 и x2=6 для функции f(x) установить непрерывность или определитель характер точек разрыва. Нарисовать график функции f(x) в окресностях этих точек:

Вот такая вот задачка. Помогите решить, очень надо
пожалуйстааа

a) f(x)=5/(-2+2^6/x)

l5/6*(x+6), если -00<x<0
b) f(x)=l5/36*(x-36), если 0<=x<=6
l 5, если 6<x<+00

$f(x) = \frac{5}{2^{\frac{6}{x} } - 2}$

$x_{1} = 0$

$\lim\limits_{x \to -0} f(x) = \lim\limits_{x \to -0} \frac{5}{2^{\frac{6}{x} } - 2} = \frac{5}{0 - 2} = - 2.5$

$\lim\limits_{x \to +0} f(x) = \lim\limits_{x \to +0} \frac{5}{2^{\frac{6}{x} } - 2} = 0$

$\lim\limits_{x \to -0} f(x) \ne \lim\limits_{x \to + 0} f(x)$

Следовательно, точка $x_{1} = 0$ - точка разрыва первого рода.

$x_{2} = 6$

$\lim\limits_{x \to 6} f(x) = \lim\limits_{x \to 6} \frac{5}{2^{\frac{6}{x} } - 2} = \lim\limits_{x \to 6} \frac{5}{2(2^{\frac{6}{x} - 1} - 1)} =$

$= [y = \frac{6}{x} - 1] = \lim\limits_{y \to 0} \frac{5}{2(2^{y} - 1)} = \lim\limits_{y \to 0} \frac{5y(ln2)}{2y(ln2)(2^{y} - 1)} =$

$= [\lim\limits_{y \to 0} \frac{y(ln2)}{2^{y} - 1} ]*[\lim\limits_{y \to 0} \frac{5}{2y(ln2)} ] = \lim\limits_{y \to 0} \frac{5}{2y(ln2) } = \infty$

Следовательно, точка $x_{2} = 6$ - точка разрыва второго рода.

(Сообщение отредактировал RKI 6 марта 2010 11:06)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 марта 2010 10:59 | IP

Stalker

Новичок

Цитата: RKI написал 5 марта 2010 14:46

Спасибо.!

Всего сообщений: 5 | Присоединился: март 2010 | Отправлено: 9 марта 2010 9:24 | IP

polinka

Новичок
1xy'sin(y/x)+x=ysin(y/x)

2xy+y^2=(2x^2+xy)y'

3xy'ln(y/x)=x+yln(y/x)

4xyy'=y^2+2x^2

5y'=(y/x)+cos(y/x)

Всего сообщений: 7 | Присоединился: март 2010 | Отправлено: 9 марта 2010 12:15 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 ]