SpirT
Начинающий
|
      
вместо 1<=x2 (в конце)
нужно 1<=x<=2
Разложить в ряд Фурье ф-ию заданную на интервале [-L;L]
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 14:40)
|
Всего сообщений: 53 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 6 апр. 2009 23:00 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: SpirT написал 6 апр. 2009 22:00
Разложить в ряд Фурье ф-ию заданную на интервале [-L;L]
int_{-2}^{-1} (-2-x)dx = (-2x - (x^2)/2) |_{-2}^{-1} =
= (2 - 1/2) - (4 - 2) = 2 - 1/2 - 4 + 2 = - 1/2
int_{-1}^{0} (-1)dx = (-x) |_{-1}^{0} =
= 0 - 1 = - 1
int_{0}^{1} dx = x |_{0}^{1} = 1 - 0 = 1
int_{1}^{2} (2-x)dx = (2x - (x^2)/2) |_{1}^{2} =
= (4 - 2) - (2 - 1/2) = 4 - 2 - 2 + 1/2 = 1/2
a0 = (1/2)*int_{-2}^{2} f(x)dx =
= (1/2)*[int_{-2}^{-1} (-2-x)dx + int_{-1}^{0} (-dx) +
+ int_{0}^{1} dx + int_{1}^{2} (2-x)dx] =
= (1/2)*(- 1/2 - 1 + 1 + 1/2) = (1/2)*0 = 0
a0 = 0
------------------------------------------------------------------------
int_{-2}^{-1} (-2-x)cos(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)*int_{-2}^{-1} (-2-x)d(sin(Пkx/2)) =
= (2/Пk)*(-2-x)sin(Пkx/2) |_{-2}^{-1} - (2/Пk)*int_{-2}^{-1} sin(Пkx/2)d(-2-x) =
= (2/Пk)*(-1)*sin(-Пk/2) - (2/Пk)*0*sin(-Пk) + (2/Пk)*int_{-2}^{-1} sin(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)sin(Пk/2) + (2/Пk)*int_{-2}^{-1} sin(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)cos(Пkx/2)|_{-2}^{-1} =
= (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)cos(-Пk/2) + (2/Пk)(2/Пk)cos(-Пk) = (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk/2) + (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk)
int_{-1}^{0} (-1)cos(Пkx/2)dx =
= - (2/Пk)sin(Пkx/2) |_{-1}^{0} =
= - (2/Пk)sin(0) + (2/Пk)sin(-Пk/2) = 0 - (2/Пk)sin(Пk/2) =
= - (2/Пk)sin(Пk/2)
int_{0}^{1} cos(Пkx/2)dx = (2/Пk)sin(Пkx/2) |_{0}^{1} =
= (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)sin(0) = (2/Пk)sin(Пk/2)
int_{1}^{2} (2-x)сos(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)*int_{1}^{2} (2-x)d(sin(Пkx/2)) =
= (2/Пk)(2-x)sin(Пkx/2) |_{1}^{2} - (2/Пk)*int_{1}^{2} sin(Пkx/2)d(2-x) =
= (2/Пk)*0*sin(Пk) - (2/Пk)*1*sin(Пk/2) + (2/Пk)*int_{1}^{2} sin(Пkx/2)dx =
= 0 - (2/Пk)sin(Пk/2) + (2/Пk)*int_{1}^{2} sin(Пkx/2)dx =
= - (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)*cos(Пkx/2) |_{1}^{2} =
= - (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk) + (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk/2)
ak = (1/2)*int_{-2}^{2} f(x)cos(Пkx/2)dx =
= (1/2)*[int_{-2}^{-1} (-2-x)cos(Пkx/2)dx +
+ int_{-1}^{0} (-1)cos(Пkx/2)dx + int_{0}^{1} cos(Пkx/2)dx +
+ int_{1}^{2} (2-x)cos(Пkx/2)dx] =
= (1/2)*[(2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk/2) +
+ (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk) - (2/Пk)sin(Пk/2) + (2/Пk)sin(Пk/2) -
- (2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk) + (2/Пk)(2/Пk)cos(Пk/2)] =
= (1/2)*0 = 0
ak = 0
------------------------------------------------------------------------------
int_{-2}^{-1} (-2-x)sin(Пkx/2) =
= (2/Пk)*int_{-2}^{-1} (2+x)d(cos(Пkx/2)) =
= (2/Пk)(2+x)cos(Пkx/2) |_{-2}^{-1} - (2/Пk)*int_{-2}^{-1} cos(Пkx/2)d(2+x) =
= (2/Пk)cos(-Пk/2) - 0 - (2/Пk)*int_{-2}^{-1} cos(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пkx/2) |_{-2}^{-1} =
= (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(-Пk/2) + (2/Пk)(2/Пk)sin(-Пk) = (2/Пk)cos(Пk/2) + (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk)
int_{-1}^{0} (-1)sin(Пkx/2)dx = (2/Пk)cos(Пkx/2) |_{-1}^{0} =
= (2/Пk)cos(0) - (2/Пk)cos(Пk/2) = (2/Пk) - (2/Пk)cos(Пk/2)
int_{0}^{1} sin(Пkx/2)dx = - (2/Пk)cos(Пkx/2) |_{0}^{1} =
= - (2/Пk)cos(Пk/2) + (2/Пk)cos(0) = - (2/Пk)cos(Пk/2) + (2/Пk)
int_{1}^{2} (2-x)sin(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)*int_{1}^{2} (x-2)d(cos(Пkx/2)) =
= (2/Пk)(x-2)cos(Пkx/2) |_{1}^{2} - (2/Пk)*int_{1}^{2} cos(Пkx/2)d(x-2) =
= 0 + (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)*int_{1}^{2} cos(Пkx/2)dx =
= (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пkx/2) |_{1}^{2} =
= (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + (2/Пk)(2/ПK)sin(Пk/2)
bk = (1/2)*int_{-2}^{2} f(x)sin(Пkx/2)dx =
= (1/2)*[(2/Пk)cos(Пk/2) + (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + (2/Пk) - (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)cos(Пk/2) + (2/Пk) +
+ (2/Пk)cos(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + (2/Пk)(2/ПK)sin(Пk/2)] =
= (1/2)*[2*(2/Пk)(2/Пk)sin(Пk/2) - 2*(2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + 4/Пk] = (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + 2/Пk
f(x) ~ sum_{k=1}^{+бесконечность} [(2/Пk)(2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + 2/Пk]*sin(kx)
P.S. Внимательно посмотрите интегралы. Могла ошибиться
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 апр. 2009 14:38 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
RKI, немного ошиблись в конце
f(x) ~ sum_{k=1}^{+бесконечность} [(2/Пk)(2/Пk)sin(Пk/2) - (2/Пk)(2/Пk)sin(Пk) + 2/Пk]*sin(kx)
Так как интервал не от -П до +П, а от -2 до +2, то функция синуса должна быть sin(Пkx/2).
Немного можно упрастить, т.к. sin(Пk) = 0.
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 7 апр. 2009 18:46 | IP
|
|
SpirT
Начинающий
|
attention , в ответ та что записать:
f(x) ~ sum_{k=1}^{+бесконечность} [(2/Пk)(2/Пk)*
*sin(Пk/2)+2/Пk]*sin(kx)
|
Всего сообщений: 53 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 апр. 2009 19:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Да, attention, спасибо
Я чувствовала, что где-то ошиблась
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 7 апр. 2009 19:39 | IP
|
|
SpirT
Начинающий
|
Еще, подскажите пожалуйста, по каким параметрам рисовать график???
|
Всего сообщений: 53 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 апр. 2009 19:46 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
SpirT, Вам график гужен черно-белый или цветной, с какими частчными сумма ряда Фурье?
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 7 апр. 2009 21:05 | IP
|
|
SpirT
Начинающий
|
Схематичный нужен... обычный чернобелый.... ну или цветной (как удобней) ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА ПОМОЩЬ 
ну так что с графикоМ?
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 14:41)
|
Всего сообщений: 53 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 апр. 2009 21:09 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Сейчас занят, завтра.
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 8 апр. 2009 22:53 | IP
|
|
SpirT
Начинающий
|
ОК ) спасибки
|
Всего сообщений: 53 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 9 апр. 2009 7:39 | IP
|
|
Форум
Ряды Фурье
