Maybe
Удален
|
   
Требуется решить неравенство:
y ^ ((1+x^2)/x) - 10*y ^ x <= - 1
Не нашла ничего, кроме как прологарифмировать обе части по основанию 10.
Вопрос вот в чем. Как прологaрифмировать произведение мне известно: получится сумма логарифмов. А в моем случае получается, что требуется прологарифмиговать разность! Так что я получу в итоге?
Подскажите, если кто с таким сталкивался...
Или может здесь вообще другой способ решения?
PS: если логарифмировать тупо по анологии, то у меня получилоcь следующее:
lg y ^ ((1+x^2)/x) - lg (10*y^x) <= - lg 10
(Сообщение отредактировал Maybe 26 марта 2006 1:04)
(Сообщение отредактировал Maybe 26 марта 2006 3:11)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 марта 2006 1:03 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Логарифмировать тут нельзя, т.к. справа стоит (-1).
(Вы же прологарифмировали каждое слагаемое в левой части, а правую записали в другом виде, неизменив ее, что уже неверно).
Упростить неравенство можно например так:
y ^ ((1+x^2)/x) - 10*y ^ x <= - 1,
y^(x+1/x)-10*y^x <= -1,
(y^x)*(y^(1/x)-10) <= -1,
y^(1/x)-10 <= -y^(-x),
y^(1/x)+y^(-x) <= 10.
Дальше встает вопрос: что в неравенстве является переменной, а что параметром?
(Сообщение отредактировал MEHT 26 марта 2006 4:16)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 26 марта 2006 4:07 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Переменной в получившемся неравенстве будет Y, так как изначально неравенство выглядело немного по другому и в процессе решения я сначала заменяла log (по основанию 2 ) X = Y ,а затем уже 5^Y = X...
Вот так вот...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 марта 2006 11:32 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Maybe написал 26 марта 2006 11:32
Переменной в получившемся неравенстве будет Y, так как изначально неравенство выглядело немного по другому и в процессе решения я сначала заменяла log (по основанию 2 ) X = Y ,а затем уже 5^Y = X...
Вот так вот...
Мм.... что то я уже не совсем понимаю - зачем была нужна такая замена 
А как неравенство выглядело изначально?
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 26 марта 2006 15:21 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
А изначально было вот что:
Для справки: буду использовать _ для обозначения основания логарифма :-)
5 ^ ( log_x (2) ) * log_2 (x) + 5 ^ (log_2 (x) ) * log_ x (2) <= 10
Вот изначальный вариант...
(Сообщение отредактировал Maybe 26 марта 2006 15:54)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 марта 2006 15:52 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
После преобразований получилось:
log_2 ( x ^ (5 ^ log_x (2)) ) + 1 / ( log_2 (x ^( 5 ^ log_2 (x)) )) <= 10
Соответственно заменяю log _ 2 (x) = y и получаю:
y ^ (5 ^ (1/y)) + 1 / ( y ^ (5 ^ y) )<= 10
И все....Потом мыслей больше не появилось...
(Сообщение отредактировал Maybe 26 марта 2006 16:05)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 марта 2006 16:03 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Можно так...
5 ^ ( log_x (2) ) * log_2 (x) + 5 ^ (log_2 (x) ) * log_ x (2) <= 10
Сделать замену t=log_2 (x), неравенство запишется так:
t*5^(1/t)+(1/t)*5^t <= 10, или, введя функцию
f(t)=t*5^(1/t)+(1/t)*5^t,
неравенство представляет собой f(t) <= 10.
Теперь вся проблема сводиться к исследованию f(t).
Можно показать, что при t<0, график f(t) лежит ниже оси Ot;
при t>0:
график f(t) убывает при 0 < t< 1,
и возрастает при 1 < t ; f(1)=10.
Следовательно f(t) <= 10 при t<0 и при t=1, или подставляя t, получ. систему для x:
log_2 (x) < 0 и log_2=1.
(Сообщение отредактировал MEHT 26 марта 2006 17:30)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 26 марта 2006 17:26 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Цитата: MEHT написал 26 марта 2006 17:26
Теперь вся проблема сводиться к исследованию f(t).
Можно показать, что при t<0, график f(t) лежит ниже оси Ot;
при t>0:
график f(t) убывает при 0 < t< 1,
и возрастает при 1 < t ; f(1)=10.
Следовательно f(t) <= 10 при t<0 и при t=1, или подставляя t, получ. систему для x:
log_2 (x) < 0 и log_2=1.
(Сообщение отредактировал MEHT 26 марта 2006 17:30)
Извини, ты не мог бы немного подробнее разъяснить мне. Я не совсем понимаю....
При t<0 график f(t) лежит ниже оси Ot потому, что функция принимает отрицательное значение, так? Это вроде понятно :-)
А вот при t>0. График f(t) убывает при 0 < t< 1 - это ты производную первую находил , а по ней промежутки возрастания и убывания? Или как то по-другому? Нам только так это объясняли...
И то что F(t) возрастает при 1 < t - это как ? Ну в смысле из чего следует? А f(1)=10 я вообще не понимаю... Туплю, извини уж...
И еще вот что: f(t) <= 10 при t<0 это потому что график ниже oY
будет проходить, так? ...
Не сочти за наглость...Просто действительно слишком заморочено всё для меня ... :-)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 марта 2006 22:37 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
f(t) <= 10 - это и есть ваше неравенство,
только левая часть записана через f(t);
при t<0, f(t) принимает отр. знач., то бишь f(t)<0, а следовательно выполняется и неравество f(t)<10.
Вывод: все t<0 удовлетворяют исходному неравенству.
Теперь рассмотрим положительные t.
Главное показать, что t=1 - точка минимума f(t) при t>0 и минимальное значение ее есть f(1)=10, т.е. исходному неравенству значения t>0 не удовлетворяют (за исключением точки t=1).
Вся сложность заключается в том, чтобы показать, что t=1 - единственный минимум f(t) при t>0 (т.е. график f(t) не опускается ниже ординаты =10).
Задачка конечно немного муторная, вследствие структуры самой функции, но все же...
Находим 1-ю производную f`(t), и приравниваем ее к нулю.
f`(t)=(1-ln5/t)*5^(1/t)+(ln5/t-1/(t^2))*5^t,
f`(t)=(1-ln5/t)*5^(1/t)+(ln5/t-1/(t^2))*5^t=0, или
5^(t-(1/t))+t*[(t-ln5)/(t*ln5-1)]=0, где t не равно 1/ln5
(Подстановкой t=1/ln5 в f`(t) можно проверить, что она не обращается в 0 в этой точке, следовательно при таком преобразовании корней не потеряно);
5^(t-(1/t))=-t*[(t-ln5)/(t*ln5-1)].
Т.к. t положительно, то для того чтобы равенство имело смысл нужно чтобы правая часть была положительной, а следовательно (t-ln5)/(t*ln5-1) - отрицательным, т.е.
(t-ln5)/(t*ln5-1)<0 при 1/ln5 < t < ln5.
Вне этого интервала уравнение корней не имеет.
Теперь покажем, что левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию g(t)=5^(t-(1/t)).
Для этого находим ее 1-ю производную
g`(t)=ln(5)(1+1/t^2)*5^(t-(1/t)) из вида которой сразу видно, что она всюду положительна, а следовательно g(t) - возрастающая.
В уравнении 5^(t-(1/t))=-t*[(t-ln5)/(t*ln5-1)] слева стоит возрастающая функция, справа - убывающая, обе функции непрерывны на 1/ln5 < t < ln5,
следовательно корень ур. (если он сущ.) единственный
и находится в 1/ln5 < t < ln5.
Очевидно, что этот корень t=1.
Показать что t=1 - точка минимума можно, найдя знак f`(t) в любой точке из 0<t<1 и t>1, и убедиться что при переходе через t=1 этот знак меняется с "-" на "+".
(Сообщение отредактировал MEHT 27 марта 2006 3:57)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 27 марта 2006 3:51 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
MEHT, спасибо тебе огромное :-) За помощь и терпение :-)
Сейчас в инст опаздываю, так что разберусь там, а если что опять не пойму, отнему у тебя еще немного времени, ок?
Но все таки буду надеяться вопросов больше не возкинет :-)
Еще раз большое спасибо :-)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 марта 2006 9:44 | IP
|
|
|
Форум
Логарифмирование
