Форум     Математика         1.25 Стереометрия
	Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме << Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ] Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

thunder87l Новичок Решение: Выражение вектора DE состоит из 6 членов, по порядку - a, b, c, d, e, f. Значит при возведении в квадрат, учитывая скалярное произведение векторов должно получиться так:      a     b   c     d    e   f a    1     1   0  -.5  -.5   0 b    1     1   0  -.5  -.5   0 c    0     0   1    0    0    1 d  -.5  -.5   0    1    1    0 e  -.5  -.5   0    1    1    0 f     0     0   1    0    0    1 Тоесть выражение вида: (a+b)^2 + (d+e)^2 + (c+f)^2 - a*d - a*e - b*d - b*e Соответственно члены: a=L/sqrt(3) b=-b*cos(B) c=b*sin(B) d=-L/sqrt(3) e=a*cos(A) f=-a*sin(A) Тогда забиваю в Wolfram Alpha: (L/sqrt(3)-b*cos(B))^2 + (-L/sqrt(3)+a*cos(A))^2 + (b*sin(B)-a*sin(A))^2 + L*L/3 - a*L*cos(A)/sqrt(3) - b*L*cos(B)/sqrt(3) + a*b*cos(A)*cos(B) и получаю: a^2 + b^2 + L^2 -2*a*b*sin(A)*sin(B) +a*b*cos(A)*cos(B) -sqrt(3)*a*L*cos(A) -sqrt(3)*b*L*cos(B) который условно можно разделить на 3 части: 1) a^2 + b^2 + L^2 2) -sqrt(3)*L*(a*cos(A)+b*cos(B)) 3) a*b*(-2*sin(A)*sin(B) +cos(A)*cos(B)) = a*b*(1.5*cos(A+B)-0.5*cos(A-B)) в третьей части у меня выходит: 1.5*cos(A+B)-0.5*cos(A-B), у вас: cos(A+B) где я туплю? (Сообщение отредактировал thunder87l 19 июня 2012 15:05) Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 19 июня 2012 13:54 | IP thunder87l Новичок Было бы неплохо, если бы вы подтвердили либо опровергли моё решение, потому что этот член приводит к тому, что я толком не могу вынести cos(a). Если его там на самом деле нету и я ошибся - это здорово упростит мне жизнь )) Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 20 июня 2012 3:09 | IP MEHT Долгожитель Да, перепроверил свои выкладки и выявил ляп. Собрав коэффициенты при одинаковых векторах возведение в квадрат даёт и последнюю скобку уже не свернуть в косинус суммы как было записано у меня (потерял двойку у произведения синусов). Спасибо что перепроверили. Исправляю полученную систему. Возможно, что теперь появятся подвижки в решении. Сразу оговорюсь, что возня с тригонометрией ничего не дала. Единственный выход - решать в лоб, т.е. "выразить из одного - подставить в другое". Дальнейшие процедуры таковы - сначала переписать систему в безразмерном виде, поделив каждое уравнение на L². И от косинусов перейти к новым неизвестным x, y, z через соотношения (Фактически это будут проекции векторов AD, BE, CF на плоскость нижнего треугольника делённые на L. Найдя их мы легко найдём и косинусы, а значит и углы.) Система предстанет в виде Тут под a, b, c уже следует понимать безразмерные a/L, b/L, c/L соответственно (я не стал обозначать их другими буквами, думаю и так будет понятно что к чему). Величину справа тоже удобно обозначить одной какой-нибудь буквой, дабы не таскать каждый раз единицу и три квадрата. Радикалы в каждом уравнении можно вынести в правую часть, всё остальное - в левую, возвести обе части уравнения в квадрат, в результате получим систему трёх уравнений второго порядка, каждое из которых связывает по две неизвестных. 1-е и 3-е уравнения можно решать как квадратные относительно y и z, находим их через x (там будет двойственность значений как и при решении любого квадратного уравнения - для однозначности надо будет верно выбрать знак при корне из дискриминанта) и подставляем во 2-е - будет уравнение для икса, решив которое мы по сути решим и всю систему (аналогичные уравнения будут и для y и z). Схема решения как будто ясна.. попробуйте воспользоваться. Я чуть позже тоже попытаюсь получить сиё уравнение для икса. (Сообщение отредактировал MEHT 20 июня 2012 8:37) Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 20 июня 2012 4:42 | IP MEHT Долгожитель Есть ещё соблазнительный вариант переписать синусы и косинусы исходной системы через комплексную экспоненту, сами комплексные экспоненты принять за неизвестные x, y, z. В результате тоже получается система уравнений второго порядка. С учётом исправленной ошибки, возня с такой системой может и принесёт какие-то плоды.. (Сообщение отредактировал MEHT 20 июня 2012 5:56) Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 20 июня 2012 4:52 | IP thunder87l Новичок Вы писали: для однозначности надо будет верно выбрать знак при корне из дискриминанта. Для меня эти вычисления уже потеряли всякий физический смысл )) поэтому я не совсем представляю чем руководствоваться при выборе корня. Брать из обоих уравнений первый? Но я сделал как вы сказали - разделил на L^2, подставил x и y, заменил хвост на N, перетащил корни, возвёл в квадрат и получилось вот так: x=a*cos(A)/L y=b*cos(B)/L a0=a/L b0=b/L N=1+(a^2+b^2-l^2)/L^2 возвожу в квадрат: (2*sqrt(a0^2-x^2)*sqrt(b0^2-y^2))^2 = (N -sqrt(3)*x -sqrt(3)*y +x*y)^2 4*(a0^2-x^2)*(b0^2-y^2) = N^2 -sqrt(3)*N*x -sqrt(3)*N*y +N*x*y + -sqrt(3)*N*x +3*x^2 +3*y*x -sqrt(3)*x^2*y + -sqrt(3)*N*y +3*x*y +3*y^2 -sqrt(3)*x*y^2 + N*x*y -sqrt(3)*x^2*y -sqrt(3)*x*y^2 +x^2*y^2 раскладываю по степеням: -3                         *x^2*y^2 -2*sqrt(3)            *x^2*y -2*sqrt(3)            *x*y^2 (4*b0^2+3)         *x^2 (4*a0^2+3)         *y^2 (2*N+6)               *x*y -2*sqrt(3)*N        *x -2*sqrt(3)*N        *y N^2-4*a0^2*b0^2 затем Матлабом решаю относительно х: x1= (3*y - 3^(1/2)*N + N*y + 2*(-(b0 + y)*(b0 - y)*(N^2 - 2*3^(1/2)*N*y - 4*a0^2*b0^2 + 3*a0^2*y^2 + 2*3^(1/2)*a0^2*y - 3*a0^2 + 3*y^2))^(1/2) - 3^(1/2)*y^2)/(- 4*b0^2 + 3*y^2 + 2*3^(1/2)*y - 3) x2= -(3^(1/2)*N - 3*y - N*y + 2*(-(b0 + y)*(b0 - y)*(N^2 - 2*3^(1/2)*N*y - 4*a0^2*b0^2 + 3*a0^2*y^2 + 2*3^(1/2)*a0^2*y - 3*a0^2 + 3*y^2))^(1/2) + 3^(1/2)*y^2)/(- 4*b0^2 + 3*y^2 + 2*3^(1/2)*y - 3) Что-то получил, но очень уж страшно )) Подставлять в уравнения ещё не пробовал, боюсь - дело на весь день. Три мысли сегодня приходили в голову: 1) Забавно что если l=0, всё это превращается в пирамиду, которую посчитать очень легко. На основании этого что-нибудь упростить можно? Может какие-то члены, в которых l не участвует внезапно обнуляются при рассмотрении пирамиды? 2) Вообще, наклон плоскости выражается двумя углами - наклон по осям X и Y. Может если перейти к этим двум углам - что-то упростится? Для простоты можно один из углов взять в плоскости вращения актуатора. 3) Если уравнения выглядят одинаково и позволяют циклические перестановки, не будет ли так, что в результате выразив из двух и подставив в третье получим просто ноль? Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 21 июня 2012 3:57 | IP luiza Новичок точка е-середина ребра дд1куба ABCDA1B1C1D1 найдите площадь сечения куба плоскостью B1CE если ребра куба равны 4 Всего сообщений: 2 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 21 июня 2012 13:44 | IP luiza Новичок пожалуйста помогите решить Всего сообщений: 2 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 21 июня 2012 13:45 | IP thunder87l Новичок Ещё не решили? Сечение задано треугольником ECB1. Сперва нужно достроить сечение. CB1 - диагональ квадрата, нужно построить паралельную прямую через E. Точка F - пересечение этой прямой с ребром A1D1, будет соответственно находиться в середине A1D1. Сечение - равнобокая трапеция FB1CE. B1C - диагональ квадрата, FE - половина от диагонали квадрата, EC и FB1 - гипотенуза треугольника с отношением катетов 0.5a:a. B1C = 4*sqrt(2), EF = 2*sqrt(2), EC и FB1 = 2*sqrt(5) Осталось найти высоту EE1 трапеции. EE1=3*sqrt(2) по т.Пифагора. S=EF*EE1+0.5(B1C-EF)*EE1=12 + 6 = 18 Если я всё правильно понял, должно бы быть так. Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 22 июня 2012 12:20 | IP MEHT Долгожитель Выкладки громозки, ничего упростить не получилось, опишу как есть. Три мысли сегодня приходили в голову: 1) Забавно что если l=0, всё это превращается в пирамиду, которую посчитать очень легко. На основании этого что-нибудь упростить можно? Может какие-то члены, в которых l не участвует внезапно обнуляются при рассмотрении пирамиды? Это частный случай общей системы при заданном параметре, не более. Система слишком сложна тем, что в ней много параметров и они сложным образом увязаны друг с другом. Т.е. при различных a, b, c, l, система может как иметь решение, так и не иметь его, или же, чего я также не исключаю, будет давать более одного набора решений. Простой пример: если при l=0 не выполнено условие a=b=c, то решений нет; или пусть даже оно и выполнено, но каждая безразмерная длина меньше 1/sqrt(3) - в этом случае тоже решений не будет (из таких длин просто-напросто будет не сложить пирамиды - короткие ребра). 2) Вообще, наклон плоскости выражается двумя углами - наклон по осям X и Y. Может если перейти к этим двум углам - что-то упростится? Для простоты можно один из углов взять в плоскости вращения актуатора. Будет тоже самое. Мы же по сути записываем условия для векторов AD, BE, CF, а через косинусы или проекции они выражены наиболее просто, а следовательно проще будут и уравнения их связывающие. Ориентацию плоскости задаёт её нормаль. Она характеризуется направляющими косинусами сумма квадратов которых единица. Нормаль в свою очередь задаёт векторное произведение векторов DE и DF делённое на их длины, а выражены эти вектора через AD, BE, CF линейно (в прошлых постах я выписывал эти зависимости). 3) Если уравнения выглядят одинаково и позволяют циклические перестановки, не будет ли так, что в результате выразив из двух и подставив в третье получим просто ноль? Нет, это исключено, ведь третье уравнение не есть следствие двух других. Каждое уравнение по сути выражает равенство длин векторов DE, EF, FD одной и той же величине l, а два равенства DE = l, EF = l, на основе которых написаны первые два уравнения, ещё не задают равностороннего треугольника. Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 июня 2012 17:14 | IP MEHT Долгожитель Как ни крути, а проще станцевать от последней системы. Ужас в душу вселяют именно параметры - их много (аж 4 штуки) и они свободны в смысле независимых друг от друга неравенств: a≥0, b≥0, c≥0, l≥0. На него руки чешутся наложить ограничение: a≤b≤c (или a≥b≥c, непринципиально). Если одна из длин, скажем b при варьировании превысит a, мы просто переобозначим b ↔ a, и условие всегда будет выполнено. Такое ограничение способно внести хоть какой-то порядок в параметрах. Но и это в конечном счёте не упрощает самого процесса решения. Далее я выпишу основные моменты. Само же непосредственное решение слишком сложно, не думаю что это вообще возможно в общем виде. Но зато при фиксированных a, b, c, l окончательное уравнение поддаётся численному решению, условия для отсеивания лишних корней будут выписаны - в конечном итоге всё вычисляемо. Выражаем из первого уравнения y через x. возводим обе части в квадрат откуда (Случай равенства нулю знаменателя рассмотрим потом отдельно.) Тут могут быть лишние корни, возможное появление которых следует пресекать неравенством Это условие следует непосредственно из исходного уравнения (вторая формула) - положительность правой части очевидна как произведение положительных радикалов, соответственно положительной должна быть и левая часть. Геометрически его можно трактовать как условие, отбрасывающее решения отвечающие за пересечения плоскостей верхнего и нижнего треугольников (т.е. когда вершины D и E верхнего треугольника оказались в разных полупространствах относительно плоскости основания ABC, а условие равносторонности тр. DEF тем не менее выполнено). Также сюда следует добавить естественные ограничения на x и y (опять таки следует из исходного уравнения): Само существование (вещественных) y - есть условие неотрицательности дискриминанта; пишем: Всё тоже самое записывается для уравнения связывающего x и z. --- Теперь рассмотрим случай когда знаменатель в зависимости y1,2=y(x) обращается в нуль. Это возможно только в случае Исходное уравнение вырождается до вида что отвечает параметрам b=0, l=1 и как следствие y=0 (случай l>1 рассматривается отдельно по аналогии). Для z и c соответственно: z=c=0. Уравнение связывающее y и z также удовлетворяется этим "особым" решением. Наглядно этот результат представляет собой картину, когда верхний треугльник, по размерам равный нижнему, полностью лёг в плоскость нижнего так, что сторона EF совпала с BC. (Такой случай исключителен, Ваше устройство его не реализует. Но уравнениям "всё равно" - они охватывают все возможные комбинации положения треугольников, поэтому и нужны ограничения в виде неравенств. (Сообщение отредактировал MEHT 27 июня 2012 14:45) Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 июня 2012 17:27 | IP

Отправка ответа: Имя пользователя   Вы зарегистрировались? Пароль   Забыли пароль? Сообщение Использование HTML запрещено Использование IkonCode разрешено Смайлики разрешены Опции отправки Добавить подпись? Получать ответы по e-mail? Разрешить смайлики в этом сообщении? Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет

Переход к теме << Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ] Перейти к --   О сайте Замечания и предложения --   Тематические Информационные технологии Книги и решебники Математика Физика Экономика

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com