Форум - 1.25 Стереометрия [6]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 1.25 Стереометрия
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

thunder87l

Новичок
Добрый день,

У меня одна задачка, с которой я себе уже весь мозг вынес. Делаю штуку, которая с помощью трёх линейных актуаторов позиционирует платформу в пространстве. Задачка выглядит так:

1) есть основание - правильный треугольник ABC, ребро длинной в m
2) есть платформа - правильный треугольник DEF, ребро длинной в n
3) есть три линейных актуатора (штука такая - выталкивает металлический поршень на столько, на сколько нужно) - это рёбра AD, BE, CF соответственно.
4) длинна актуатора состоит из суммы двух параметров: L - длинны корпуса актуатора, и N - длинны выдвинутого поршня. L - величина постоянная, а N - переменная в пределах от 0 до 0.5L.
5) соединение с основанием ABC сделано таким образом, что каждый актуатор может вращаться вокруг точки соединения с ABC, в одной плоскости. Эта плоскость задаётся перпендикуляром к плоскости ABC и высотой треугольника ABC опущеной из соответствующей точки соединения.
[Если не понятно - актуатор установлен на ось в точке А. Ось находится в плоскости основания и паралельна BC. И так - каждый из трёх.]
6) соединение с плоскостью DEF - свободное, тоесть - треугольник DEF может находиться в любом положении относительно точки соединения.

Что ещё могу сказать? В состоянии когда все актуаторы одинаково выдвинуты, ABC и DEF паралельны и образуют усечённую пирамиду.

Собственно необходимо - определить положение плоскости DEF (углы наклона относительно ABC) исходя из m, n, a, b, c, где a, b и c - соответствуют длинне каждого из актуаторов.

Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 16 июня 2012 4:37 | IP

MEHT

Долгожитель

Цитата: thunder87l написал 16 июня 2012 4:37

Ось находится в плоскости основания и паралельна BC.

Наверное "перпендикулярна" ? Иначе картинку не представить.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 16 июня 2012 11:19 | IP

thunder87l

Новичок
Да нет. Ось таки паралельна BC, а вот предмет посаженый на ось (актуатор) - вражается перпендикулярно BC.

Кстати да, я забыл, что можно задать плоскость нормалью и точкой. Так наверное было бы проще объяснить. Плоскость в которой вращается актуатор перпендикулярна BC и содержит A.

Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 16 июня 2012 12:52 | IP

thunder87l

Новичок
Пришла в голову дикая мысль. Сперва AD=BE=CF и плоскости паралельны. Затем увеличим длинну одного ребра, например - AD. Мне кажется, что это не должно повлиять на положение двух других рёбер, потому что плоскости в которых они вращаются не паралельны одна другой, а сверху они связаны ребром треугольника EF. таким образом они по идее не должны двигаться. А значит EF не изменит положения, когда AD вытянется. Если это правильно, то единственное изменение - DEF повернётся на сколько-то градусов вокруг EF.

А вот если AD и BE и CF сначала не равны - тут мне уже нехватает фантазии.

Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 17 июня 2012 1:17 | IP

thunder87l

Новичок
Ок, предыдущее предположение проиграл в голове раз 15-20 - вроде работает. Если два других актуатора равны, а третий меняет длинну, происходит вращение DEF вокруг ребра которое держат два других актуатора.

Только это - очевидно частный случай. От обратного: Если бы это был общий случай, то выглядело бы следующим образом: актуатор AD уменьшился, плоскость DEF повернулась вокруг EF на n градусов. Затем актуатор BE уменьшился - плоскость DEF опять повернулась, только на этот раз - вокруг ребра DF. Только DF уже находится под углом к плоскости ABC. Актуатор который вращается в одной плоскости не может повернуть DEF вокруг DF, потому что они не перпендикулярны.

Но то что я раньше сказал - работает, значит - нужно найти более общий случай. Мне кажется что ротация происходит не вокруг DF, а вокруг центра ребра DF, в плоскости работы актуатора, но доказать или опровергнуть это у меня пока не получается.

Опять-же - терзают смутные сомнения, что этот центр подвижен, пока плоскость совершает поворот. Может у меня маразм, но мне так почему-то кажется.

Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 17 июня 2012 2:43 | IP

MEHT

Долгожитель
Вы имели ввиду ось вращения рёбер, способных менять свою длину. Простите, не сразу понял о какой оси речь

То есть схематично картинка следующая:

Сверху и снизу равносторонние треугольники, длина боковых рёбер варьируются.
На рисунке я обозначил три угла, которые ребра образуют с плоскостью нижнего треугольника - насколько я понял Вы именно их ищите, ведь фактически они и задают ориентацию верхней плоскости. Так? Поправьте если где-то неточно.

Мне удалось получить систему трёх уравнений для этих углов. Система сама по себе не громозкая, чего не скажешь о решении. Алгоритм решения в принципе ясен, но муторен; я его не проводил. Думал найти "красивое" решение, но пока безрезультатно. И похоже на то, что громозкости так или иначе не миновать..

Позже я распишу сам вывод.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 17 июня 2012 3:34 | IP

thunder87l

Новичок
Да, да - это именно то что имелось ввиду. Спасибо большое.

P.S. В чём вы нарисовали такую классную картинку?

(Сообщение отредактировал thunder87l 17 июня 2012 14:16)

Всего сообщений: 29 | Присоединился: июнь 2012 | Отправлено: 17 июня 2012 14:11 | IP

MEHT

Долгожитель
В "ГИС Панорама" (это специфический софт, используемый для создания цифровых топографических карт), но в принципе для рисовки подошёл бы и любой другой редактор векторной графики. Просто я одно время работал как раз в этой сфере и на этом софте, вот и остались навыки..

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 18 июня 2012 0:11 | IP

MEHT

Долгожитель
Итак. Для начала исходные данные. Заданы сторона нижнего L и верхнего l треугольников (можно также считать что L>l) и длины боковых рёбер a, b, c. Неизвестными считаем углы, составляющие этими рёбрами с плоскостью нижнего треугольника, обозначим их через α, β, γ.

Из центра нижнего треугольника (на рисунке букв не проставлено, но обзовём этот центр буквой O) проведём три единичных вектора к вершинам А, В, С и обозначим их $\vec{\tau}_1,\ \vec{\tau}_2,\ \vec{\tau}_3\,$ , а также ещё один единичный вектор $\vec{n}$ перпендикулярно плоскости треугольника. На рисунке эти векторы я показал красным.

Каждый вектор в плоскости составляет с любым из соседних векторов плоскости угол в 2п/3 и каждый из них перпендикулярен $\vec{n}$ . Поэтому

$\\ \vec{\tau}_1\cdot \vec{\tau}_2 = \vec{\tau}_2\cdot \vec{\tau}_3 = \vec{\tau}_3\cdot \vec{\tau}_1=-\frac{1}{2},\\\\\vec{\tau}_1\cdot \vec{n} = \vec{\tau}_2\cdot \vec{n} = \vec{\tau}_3\cdot \vec{n}=0.$

Вектора AD, BE, CF находятся каждый в своей плоскости:
АD в плоскости векторов $\vec{\tau}_1$ и $\vec{n},$
BE в плоскости векторов $\vec{\tau}_2$ и $\vec{n},$
CF в плоскости векторов $\vec{\tau}_3$ и $\vec{n}.$

(строго говоря, помимо этих векторов плоскости задают ещё и общая для всех их точка O)

Каждый из них распишется по единичным векторам:

$\\ \vec{AD} = -\left (a\cos\alpha \right ) \vec{\tau}_1 + \left (a\sin\alpha \right )\vec{n}\, ,\\\\ \vec{BE} = -\left (b\cos\beta \right ) \vec{\tau}_2 + \left (b\sin\beta \right )\vec{n}\, ,\\\\ \vec{CF} = -\left (c\cos\gamma \right ) \vec{\tau}_3 + \left (c\sin\gamma \right )\vec{n}\,$

куда уже входят наши искомые углы и длины ребер.

Известно, что верхний треугольник равносторонний со стороной l, а это означает, что

$|\vec{DE}| = |\vec{EF}| = |\vec{FD}|=l$

или же

$\vec{DE}^2 = l^2, \quad \vec{EF}^2 = l^2, \quad \vec{FD}^2 = l^2.$

Вектора слева этих уравнений можно переписать через наши единичные вектора:

$\vec{DE}=(\vec{OB}+\vec{BE}) - (\vec{OA}+\vec{AD}) = \\\\ =\left (\frac{L}{\sqrt{3}}\cdot \vec{\tau}_2 -\left (b\cos\beta \right ) \vec{\tau}_2 + \left (b\sin\beta \right )\vec{n} \right ) - \left (\frac{L}{\sqrt{3}}\cdot \vec{\tau}_1 -\left (a\cos\alpha \right ) \vec{\tau}_1 + \left (a\sin\alpha \right )\vec{n} \right ),\\\\\\ \vec{EF}=\left (\frac{L}{\sqrt{3}}\cdot \vec{\tau}_3 -\left (c\cos\gamma \right ) \vec{\tau}_3 + \left (c\sin\gamma \right )\vec{n} \right ) - \left (\frac{L}{\sqrt{3}}\cdot \vec{\tau}_2 -\left (b\cos\beta \right ) \vec{\tau}_2 + \left (b\sin\beta \right )\vec{n} \right ),\\\\\\ \vec{FD}=\left (\frac{L}{\sqrt{3}}\cdot \vec{\tau}_1 -\left (a\cos\alpha \right ) \vec{\tau}_1 + \left (a\sin\alpha \right )\vec{n} \right ) - \left (\frac{L}{\sqrt{3}}\cdot \vec{\tau}_3 -\left (c\cos\gamma \right ) \vec{\tau}_3 + \left (c\sin\gamma \right )\vec{n} \right ).$

Эти вектора сходны по форме написания. Циклические перестановки

$\\ 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \,,\\ a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a\,,\\ \alpha \rightarrow \beta \rightarrow \gamma \rightarrow \alpha\,$

переводят их один в другой.
Поэтому имеет смысл рассмотреть только одно уравнение системы, скажем

$\vec{DE}^2 = l^2,$

остальные выпишутся по аналогии в соответствие с цикличностью.

Сами выкладки по возведению $\vec{DE}$ в квадрат довольно длинны, поэтому не выписываю (Вы можете самостоятельно их провести - заодно и сверитесь, а то вдруг я где-нибудь опечатался); окончательно уравнение сводится к такому:

$L\sqrt{3} \,(a\cos\alpha +b\cos\beta ) - ab \left (\cos\alpha \cos\beta - 2\sin\alpha \sin\beta\right ) = L^2-l^2+a^2+b^2,$

а вся система, следовательно, будет иметь вид:

$\begin{cases} L\sqrt{3} \,(a\cos\alpha +b\cos\beta ) - ab \left (\cos\alpha \cos\beta - 2\sin\alpha \sin\beta\right ) = L^2-l^2+a^2+b^2, \\ L\sqrt{3} \,(b\cos\beta +c\cos\gamma ) - bc \left (\cos\beta \cos\gamma - 2\sin\beta \sin\gamma \right ) = L^2-l^2+b^2+c^2, \\ L\sqrt{3} \,(c\cos\gamma +a\cos\alpha ) - ca \left (\cos\gamma \cos\alpha - 2\sin\gamma \sin\alpha \right ) = L^2-l^2+c^2+a^2. \end{cases}$

(Сообщение отредактировал MEHT 27 июня 2012 14:38)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 18 июня 2012 0:43 | IP

MEHT

Долгожитель
С решением, как я уже говорил, всё сложнее. Каждое уравнение системы связывает между собой два искомых угла, т.е. имеет вид

f(cos α , cos β ) = 0.

Цель - получить систему, каждое уравнение которой включало бы в себя только одну неизвестную, т.е. уравнение вида

f(cos α ) = 0.

Алгоритм прямого решения таков:
из одного уравнения выражаем cos β как функцию от cos α,
из другого уравнения, соответственно cos γ как функцию от cos α ,
подставляем их в оставшееся и имеем уравнение вида f(cos α ) = 0.
Аналогично для других углов.

Вручную такое решать конечно же никому не захочется. На машине ещё можно попробовать..

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 18 июня 2012 0:54 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ]