ariecc
Новичок
|
     
Диагональ равносторонней трапеции делит высоту, проведенную с вершины тупого угла на отрезки длинной длиной 15см и 12 см, а боковая сторона трапеции равняется её меньшей основе. Найти площадь трапеции!
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 6 июня 2009 10:19 | IP
|
|
Olegmath2
Полноправный участник
|
Решение.
Пусть ABCD – данная трапеция (AD||BC, AD>BC), BK, CF – её высоты, М – точка пересечения BK с AC. Тогда прямоугольные треугольники AMK и CMB подобны. Отсюда следует, что KA:BC=KM:BM=12:15=4:5 => KA=4k, BC=5k (k – коэффициент пропорциональности). В прямоугольном треугольнике ABK BK=BM+KM=15+12=27, AB=BC=4k, AK=4k, по теореме Пифигора имеем:
(AK)^2+(BK)^2=(AB)^2;
(4k)^2+27^2=(5k)^2;
(5k)^2-(4k)^2=27^2;
9k^2=27^2;
k=9.
AD=AK+KF+FD= AK+BC+FD=4k+5k+4k=13k=13*9=117;
BC=5*k=5*13=65;
BK=27.
Следовательно, площадь трапеции ABCD будет равна:
S=(BC+AD)*BK/2=(65+117)*27/2=2457.
Ответ: 2457.
|
Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 6 июня 2009 11:20 | IP
|
|
AkakA
Новичок
|
Площадь параллелограмма ABCD = 4. Угол D = 45 градусам, сторона BC= 4 корень из 2-х. Найти диагональ AC.
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 9 июня 2009 16:28 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: AkakA написал 9 июня 2009 16:28
Площадь параллелограмма ABCD = 4. Угол D = 45 градусам, сторона BC= 4 корень из 2-х. Найти диагональ AC.
AD = BC = 4sqrt(2)
S(SBCD) = AD*CD*sinD = 4sqrt(2)*CD*sin45 =
= 4sqrt(2)*CD*sqrt(2)/2 = 4CD = 4
CD = 1
По теореме косинусов
(AC)^2 = (AD)^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)cosD =
= 32 + 1 - 2*4sqrt(2)*1*cos45 =
= 33 - 2*4sqrt(2)*sqrt(2)/2 =
= 33 - 8 = 25
AC = 5
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 июня 2009 19:48 | IP
|
|
AkakA
Новичок
|
PKI. Большое спасибо.
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 10 июня 2009 2:57 | IP
|
|
luisito
Начинающий
|
Помогите пожалуйста с задачкой
Около круга радиусом 2, описана равнобедренная трапеция с площадью 20. Найти длину большего основания трапеции.
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 18 июля 2009 11:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: luisito написал 18 июля 2009 11:56
Помогите пожалуйста с задачкой
Около круга радиусом 2, описана равнобедренная трапеция с площадью 20. Найти длину большего основания трапеции.
Пусть ABCD - равнобедренная трапеция.
BC - малое основание
AD - большое основание
AB и CD - боковые стороны
Так как по условию задачи трапеция ABCD является равнобедренной, то AB = CD.
Из вершины B опустим перпендикуляр BH на сторону AD. Перпендикуляр BH является высотой трапеции и
BH = 2r = 2*2 = 4
Так как трапеция ABCD описана около круга, то по свойству четырехугольника, описанного около окружности суммы противоположных сторон равны, то есть
BC + AD = AB + CD
BC + AD = AB + AB
BC + AD = 2AB
S(ABCD) = (1/2)*BH*(BC + AD) = (1/2)*4*2AB = 4AB
По условию задачи S(ABCD) = 20. Следовательно, 4AB = 20;
AB = CD = 5
Из вершины C опустим на сторону AD еще один перпендикуляр CK.
CK = 4
Четырехугольник BCKH является прямоугольником. Следовательно, HK = BC.
Рассмотрим треугольник ABH. Он является прямоугольным (угол H равен 90 градусов). По теореме Пифагора
AB^2 = AH^2 + BH^2
25 = AH^2 + 16
AH^2 = 9
AH = 3
Аналогично можно найти, что KD = 3.
AD = AH + HK + KD = 3 + BC + 3 = 6 + BC
С другой стороны, BC + AD = 2AB
BC + 6 + BC = 2*5
2BC + 6 = 10
2BC = 4
BC = 2
AD = 6 + BC = 6 + 2 = 8
ответ. 8
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 июля 2009 12:25 | IP
|
|
luisito
Начинающий
|
Объясните пожалуйста, почему высота трапеции будет равна двум радиусам? Есть какое то свойство?
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 18 июля 2009 12:34 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: luisito написал 18 июля 2009 12:34
Объясните пожалуйста, почему высота трапеции будет равна двум радиусам? Есть какое то свойство?
Пусть О - центр круга. Так как трапеция описана около круга, то каждая сторона касается круга только в одной точке. Другими словами, основания BC и AD являюися касательными по отношению к кругу.
Пусть O1 - точка касания стороны BC и круга. Известно, что касательная и радиус, проведенный из центра окружности в точку касания, перпендикулярны. Следовательно, радиус OO1 и сторона BC перпендикулярны.
Пусть O2 - точка касания стороны AD и круга. Известно, что касательная и радиус, проведенный из центра окружности в точку касания, перпендикулярны. Следовательно, радиус OO2 и сторона AD перпендикулярны.
Предположим, что OO1 и OO2 НЕ образуют одну прямую. Продолжим отрезок OO1 до пересечения с основанием AD. Пусть S и является этой точкой пересечения. Основания трапеции BC и AD параллельны, а прямая O1S является секущей. По свойству параллельных прямых
угол ASO1 = угол CO1S = 90 градусов
Рассмотрим треугольник OO2S. По свойству треугольника
угол O + угол O2 + угол S = 180 градусов
угол O + 90 + 90 = 180
угол O = 0 => следовательно, OO2S не является треугольником. Получили противоречие. Значит, OO1 и OO2 образуют одну прямую
O1O2 = OO1 + OO2 = 2 + 2 = 4
Четырехугольник BHO1O2 является прямоугольником, следовательно, BH = O1O2 = 4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 июля 2009 13:01 | IP
|
|
luisito
Начинающий
|
Огромное спасибо, вы меня спасли! Спасибо, спасибо, спасибо...
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 18 июля 2009 13:19 | IP
|
|
|
Форум
1.24 Планиметрия
