schekutova
Начинающий
|
    
5. Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных:
z = x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1.
|
Всего сообщений: 56 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 3:00 | IP
|
|
schekutova
Начинающий
|
6. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0.
|
Всего сообщений: 56 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 3:03 | IP
|
|
assams
Новичок
|
Цитата: RKI написал 10 марта 2009 10:29
Цитата: assams написал 4 марта 2009 12:28
1) Дана функция z=z (x;y), точка А(х0;у0) и вектор а, Найти: - gradz в точке А
- производную в точке А по направлению вектора а
z=3x^2y^2+5xy^2; A(1,1); f=2i+j.
z = 3(x^2)(y^2) + 5x(y^2)
z = (y^2)*(3(x^2)+5x)
dz/dx = (y^2)*(6x+5)
dz/dx (1;1) = 1*(6+5) = 11
dz/dy = 2y*(3(x^2)+5x)
dz/dy (1;1) = 2*(3+5) = 16
grad z (1;1) = {11;16}
f = 2i+j
f = {2;1}
|f| = sqrt(4+1) = sqrt(5)
dz/df (1;1) = 11*2/sqrt(5) + 16*1/sqrt(5) = 38/sqrt(5)
а вот как я эту задачу решил:
z(x)'=6xy^2+5y^2 => z(Ax)=6+5=11;
z(y)'=6x^2y+10x=> z(Ay)=6+10=16;
1) gradz(A)=z(Ax)*i+z(Ay)*j=(11;16);
|a|=sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5);
Cos[j]=x/(|a|)=2/sqrt(5);
Cos[а]=y/(|a|)=1/sqrt(5);
2) z(Ax)*Cos[j]+z(Ay)*Cos[а]=38/sqrt(5);
вот и все,..RKI...будет время глянете другие мои задачи...плиZZz
(Сообщение отредактировал assams 12 марта 2009 8:34)
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 8:33 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
To assams
Первую задачу можно решить, как и Вы решили. Как Вы видите, ответ от этого не изменился.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 10:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: assams написал 4 марта 2009 12:28
4) Методом операционного исчисления найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям
{x'+y=0 x(0)=1; y(0)=1
{y'-2x-2y=0
x=x(t) <-> X(p) = int_{0}^{+бесконечность} x(t)(e^(-pt))dt
y=y(t) <-> Y(p) = int_{0}^{+бесконечность} y(t)(e^(-pt))dt
Рассмотрим преобразование Лапласа для функции x'=x'(t)
int_{0}^{+бесконечность} x'(t)(e^(-pt))dt =
= int_{0}^{+бесконечность} (e^(-pt))d(x(t)) =
= [по частям] =
= x(t)(e^(-pt)) |_{0}^{+бесконечность} -
- int_{0}^{+бесконечность} x(t)d(e^(-pt)) =
= lim_{t->+бесконечность} x(t)(e^(-pt)) - x(0) +
+ p*int_{0}^{+бесконечность} x(t)(e^(-pt))dt =
= 0 - 1 + p*X(p) = p*X(p) - 1
Таким образом,
x'=x'(t) <-> p*X(p) - 1
Рассмотрим преобразование Лапласа для функции y'=y'(t)
int_{0}^{+бесконечность} y'(t)(e^(-pt))dt =
= int_{0}^{+бесконечность} (e^(-pt))d(y(t)) =
= [по частям] =
= y(t)(e^(-pt)) |_{0}^{+бесконечность} -
- int_{0}^{+бесконечность} y(t)d(e^(-pt)) =
= lim_{t->+бесконечность} y(t)(e^(-pt)) - y(0) +
+ p*int_{0}^{+бесконечность} y(t)(e^(-pt))dt =
= 0 - 1 + p*Y(p) = p*Y(p) - 1
Таким образом,
y'=y'(t) <-> p*Y(p) - 1
Дана система:
{x'(t) + y(t) = 0
{y'(t) - 2x(t) - 2y(t) = 0
x(0)=1; y(0)=1
После преобразования Лапласа она принимает вид:
{p*X(p) - 1 + Y(p) = 0
{p*Y(p) - 1 - 2X(p) - 2Y(p) = 0
Решаем данную систему:
{X(p) = (p-3)/((p^2)-2p+2) = (p-3)/((p-1)^2+1)
{Y(p) = (p+2)/((p^2)-2p+2) = (p+2)/((p-1)^2+1)
Далее я использовала таблицу основных преобразований Лапласа.
X(p) = (p-1)/((p-1)^2+1) - 2*1/((p-1)^2+1)
X(p) <-> x(t) = (e^t)*cost - 2(e^t)sint
Y(p) = (p-1)/((p-1)^2+1) +3*1/((p-1)^2+1)
Y(p) <-> y(t) = (e^t)*cost + 3(e^t)*sint
Ответ
{x(t) = (e^t)*(cost - 2sint)
{y(t) = (e^t)*(cost + 3sint)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 11:26 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:43
1. Решить системы линейных уравнений методом Гауса:
{2x1 - x2 + 3x3 + 2x4 = 4
{3x1 +3x2 +3x3 + 2x4 = 6
{3x1 - x2 - x3 - 2x4 = 6
{3x1 - x2 + 3x3 - x4 = 6
2 -1 3 2 4
3 3 3 2 6
3 -1 -1 -2 6
3 -1 3 -1 6
Складываем вторую и третью строки. Результат записываем во вторую строку
2 -1 3 2 4
6 2 2 0 12
3 -1 -1 -2 6
3 -1 3 -1 6
Складываем первую и третью строки. Результат записываем в первую строку.
5 -2 2 0 10
6 2 2 0 12
3 -1 -1 -2 6
3 -1 3 -1 6
Четвертую строку умножаем на -1
5 -2 2 0 10
6 2 2 0 12
3 -1 -1 -2 6
-3 1 -3 1 -6
Четвертую строку умножаем на 2. Складываем третью и четвертую строки. Результат записываем в третью строку
5 -2 2 0 10
6 2 2 0 12
-3 1 -7 0 -6
-3 1 -3 1 -6
Складываем первую и вторую строки. Результат записываем во вторую строку.
5 -2 2 0 10
11 0 4 0 22
-3 1 -7 0 -6
-3 1 -3 1 -6
Умножаем третью строку на 2. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
-1 0 -12 0 -2
11 0 4 0 22
-3 1 -7 0 -6
-3 1 -3 1 -6
Третью строку умножаем на -1. Складываеи с четвертой строкой. Результат записываем в четвертую строку.
-1 0 -12 0 -2
11 0 4 0 22
-3 1 -7 0 -6
0 0 4 1 0
Первую строку умножаем на 11. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.
-1 0 -12 0 -2
0 0 -128 0 0
-3 1 -7 0 -6
0 0 4 1 0
Вторую строку разделим на -128.
-1 0 -12 0 -2
0 0 1 0 0
-3 1 -7 0 -6
0 0 4 1 0
Первую строку умножаем на -1
1 0 12 0 2
0 0 1 0 0
-3 1 -7 0 -6
0 0 4 1 0
Первую строку умножаем на 3. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.
1 0 12 0 2
0 0 1 0 0
0 1 29 0 0
0 0 4 1 0
Вторую строку умножаем на -12. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
1 0 0 0 2
0 0 1 0 0
0 1 29 0 0
0 0 4 1 0
Вторую строку умножаем на -29. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.
1 0 0 0 2
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 4 1 0
Вторую строку умножаем на -4. Складываем с четвертой строкой. Результат записываем в четвертую строку.
1 0 0 0 2
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
x1 = 2; x2 = x3 = x4 = 0
(Сообщение отредактировал RKI 12 марта 2009 15:38)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 15:38 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:56
3. Найти производные функций:
а) у=arcsin^3 e^4x
б) y=1/6 ln x-3/x+3
а) y(x) = (arcsin(e^4x))^3
y'(x) = 3*[(arcsin(e^4x))^2]*[1/sqrt(1-e^8x)]*(e^4x)*4 =
= 12*(e^4x)*((arcsin(e^4x))^2)/sqrt(1-e^8x)
б) y(x) = (1/6)*ln((x-3)/(x+3))
y'(x) = (1/6)*[(x+3)/(x-3)]*[(x+3-x+3)/(x+3)^2] =
= (1/6)*[(x+3)/(x-3)]*[6/(x+3)^2] =
= 1/(x-3)(x+3) = 1/(x^2-9)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 16:03 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:58
4. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и по результатам исследования построить графики этих функций;
у=(х-2)^2 / 2(x-1)
y(x) = ((x-2)^2)/2(x-1)
1) x-1=0
x=1
Область определения функции - вся числовая прямая за исключением найденной точки, то есть R\{1}
2) y(0) = ((0-2)^2)/2(0-1) = 4/(-2) = -2
(0;-2) - точка пересечения графика функции с осью ординат
3) y(x) = 0
((x-2)^2)/2(x-1) = 0
(x-2)^2 = 0
x-2 = 0
x = 2
(2;0) - точка пересечения графика функции с осью абсцисс
4) y(x) > 0
((x-2)^2)/2(x-1) > 0
y _ + +
___________ ________________________________x
1 2
x>1
График функции лежит выше оси абсцисс на промежутке
(1; +бесконечность)
5) y(x) < 0
((x-2)^2)/2(x-1) < 0
x<1
График функции лежит ниже оси асцисс на промежутке
(-бесконечность;1)
6) Функция не является периодической
7) y(-x) = ((-x-2)^2)/2(-x-1) = - ((x+2)^2)/2(x+1)
y(x) =/= y(-x)
y(x) =/= -y(x)
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
8) y(x) = ((x-2)^2)/2(x-1) = (x^2-4x+4)/(2x-2) =
= (1/2)(x-3) + 1/2(x-1)
lim_{x->1-0} y(x) = lim_{x->1-0} [(1/2)(x-3) + 1/2(x-1)] =
= -1 + бесконечность = +бесконечность
lim_{x->1+0} y(x) = lim_{x->1+0} [(1/2)(x-3) + 1/2(x-1)] =
= -1 - бесконечность = -бесконечность
x = 1 - вертикальная асимптота.
9) lim_{x->бесконечность} y(x)x =
= lim_{x->бесконечность} ((x-2)^2)/2x(x-1) =
= lim_{x->бесконечность} (x^2-4x+4)/(2x^2-2x) =
= lim_{x->бесконечность} (x^2)(1-4/x+4/(x^2))/(x^2)(2-2/x) =
= lim_{x->бесконечность} (1-4/x+4/(x^2))/(2-2/x) =
= (1-0+0)/(2-0) = 1/2
lim_{x->бесконечность} [y(x) - (1/2)x] =
= lim_{x->бесконечность} [((x-2)^2)/2(x-1) - (1/2)x] =
= lim_{x->бесконечность} (x^2-4x+4-x^2+x)/2(x-1) =
= lim_{x->бесконечность} (4-3x)/(2x-2) =
= lim_{x->бесконечность} x(4/x-3)/x(2-2/x) =
= lim_{x->бесконечность} (4/x-3)/(2-2/x) =
= (0-3)/(2-0) = -3/2
y(x) = (1/2)x - (3/2) = (1/2)(x-3) - наклонная асимптота
10) y(x) = ((x-2)^2)/2(x-1) = (x^2-4x+4)/(2x-2)
y'(x) = ((2x-4)(2x-2) - (x^2-4x+4)*2)/(2x-2)^2 =
= (4x^2-4x-8x+8-2x^2+8x-8)/(2x-2)^2 =
= (2x^2-4x)/(2x-2)^2
y'(x) = 0
(2x^2-4x)/(2x-2)^2 = 0
2x^2 - 4x = 0
2x(x-2) = 0
x=0; x-2=0
x=0; x=2
y' + _ _ +
______________________ _______________________x
0 1 2
x = 0 - точка максимума
y(0) = ((0-2)^2)/2(0-1) = 4/(-2) = -2 - максимум функции
x = 2 - точка минимума
y(2) = ((2-2)^2)/2(2-1) = 0/2 = 0 - минимум функции
11) Функция возрастает на промежутке
(-бесконечность;0) U (2;+бесконечность)
Функция убывает на промежутке
(0;1) U (1;2)
12) y'(x) = (2x^2-4x)/(2x-2)^2
y''(x) = ((4x-4)(2x-2)^2 - (2x^2-4x)*2(2x-2)*2)/(2x-2)^4 =
= ((4x-4)(2x-2) - 4(2x^2-4x))/(2x-2)^3 =
= (8x^2-8x-8x+8-8x^2+16x)/(2x-2)^3 =
= 8/(2x-2)^3
y''(x) = 0
8/(2x-2)^3 = 0
нет решений
Функция не имеет точек перегиба
13)
y'' _ +
________________ _____________________x
1
Функция выпукла вверх на промежутке
(-бесконечность;1)
Функция выпукла вниз на промежутке
(1;+бесконечность)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 16:39 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 3:03
6. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0.
N.B. Вам необходимо нартсовать данную фигуру. Тогда по рисунку будет понятно, как вычисляется площадь
S = 1*4 + int_{1}^{4} 4dx/x =
= 4 + 4*int_{1}^{4} dx/x =
= 4 + 4*ln|x| |_{1}^{4} =
= 4 + 4*ln4 - 4ln1 =
= 4 + 4*ln4 - 4*0 =
= 4 + 4*ln4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 16:47 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 3:00
5. Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных:
z = x^2 - xy + y^2 + 3x - 2y + 1.
z(x,y) = (x^2) - xy + (y^2) + 3x - 2y + 1
dz/dx = 2x - y + 3
dz/dy = - x + 2y - 2
{dz/dx = 0; dz/dy = 0
{2x-y+3 = 0; 2y-x-2 = 0
{x = -4/3; y = 1/3
(-4/3; 1/3) - точка, подозрительная на точку экстремума
(d^2)z/(dx)^2 = 2
(d^2)z/(dxdy) = -1
(d^2)z/(dy)^2 = 2
a11 - (d^2)z/(dx)^2 в точке (-4/3; 1/3)
a12 - (d^2)z/(dxdy) в точке (-4/3; 1/3)
a22 - (d^2)z/(dy)^2 в точке (-4/3; 1/3)
a11 = 2
a12 = -1
a22 = 2
a11*a22 - a12*a12 = 4 - 1 = 3 > 0 => в точке (-4/3; 1/3) экстремум существует
a11 = 2 > 0 => (-4/3; 1/3) - точка минимума
z(-4/3; 1/3) = (16/9) + (4/9) + (1/9) - 4 - (2/3) + 1 =
= - 12/9 = - 4/3 - минимум функции
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 17:10 | IP
|
|
Форум
Много задач на разные темы...
