studentka03
Новичок
|
     
1.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:a)( x^2)Y '=2xy+3, y(1)=1
б) x(y'-y)=e^x, y(1)=1
2.Найти общее решение дифференциального уравнения.
a)y'''tgx=2y'' б)xy''=(1+2x^2)y'
3.Найти частное решение дифференциального уравнения.
а) y''-y'-2y=9e^2x, y(0)=2 y'(0)=13
б)4y''+16y'+15y=4e^-3/2x, y(0)=3,y'(0)=-5,5
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 6 фев. 2009 11:03 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
1а) (x^2)y' = 2xy+3
(x^2)y' = 2xy
y = u*x
y' = x*u' + u
(x^2)*(x*u' + u) = 2x*u*x
(x^3)*u' + (x^2)*u = 2(x^2)*u
(x^3)*u' = (x^2)*u
x*u' = u
x*(du/dx) = u
du/u = dx/x
ln|u| = ln|x|+const
u = C*x, C - константа
y/x = C*x
y = C*(x^2)
y(x) = C(x)*(x^2)
y' = C'(x)*(x^2) + 2*C(x)*x
(x^2)y' = 2xy+3
C'(x)*(x^4) + 2*C(x)*(x^3) = 2x*C(x)*(x^2) + 3
C'(x)*(x^4) = 3
C'(x) = 3/(x^4)
C(x) = -1/(x^3) + D
y(x) = C(x)*(x^2)
y(x) = D*(x^2) - 1/x
y(1) = 1
D - 1 = 1
D = 2
y(x) = 2*(x^2) - 1/x
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 фев. 2009 11:44 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1б) x(y'-y)=e^x
y' - y = (e^x)/x
y' - y = 0
y' = y
dy/dx = y
dy/y = dx
ln|y| = x + const
y = C*(e^x), C - константа
y(x) = C(x)*(e^x)
y'(x) = C'(x)*(e^x) + C(x)*(e^x)
y' - y = (e^x)/x
C'(x)*(e^x) + C(x)*(e^x) - C(x)*(e^x) = (e^x)/x
C'(x)*(e^x) = (e^x)/x
C'(x) = 1/x
C(x) = ln|x| + D
y(x) = C(x)*(e^x)
y(x) = (ln|x|+D)*(e^x)
y(1) = 1
(0+D)*e = 1
D*e = 1
D = 1/e
y(x) = (ln|x|+1/e)*(e^x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 фев. 2009 11:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3а) y''-y'-2y=9e^2x
y'' - y' - 2y = 0
(a^2) - a - 2 = 0
a1 = -1; a2 = 2
y0 = C*(e^(-x)) + D*(e^(2x))
(y1)''-(y1)'-2(y1)=9(e^(2x))
y1 = a*x*(e^(2x))
(y1)' = a*(e^(2x)) + 2a*x*(e^(2x))
(y1)'' = 2a*(e^(2x)) + 2a*(e^(2x)) + 4a*x*(e^(2x)) =
= 4a*(e^(2x)) + 4a*x*(e^(2x))
4a*(e^(2x)) + 4a*x*(e^(2x)) - a*(e^(2x)) - 2a*x*(e^(2x)) -
- 2a*x*(e^(2x)) = 9(e^(2x))
3a*(e^(2x)) = 9(e^(2x))
3a = 9
a = 3
y1 = 3x*(e^(2x))
y(x) = y0 + y1
y(x) = C*(e^(-x)) + D*(e^(2x)) + 3x*(e^(2x))
y(0) = 2 => C + D = 2
y'(x) = -C*(e^(-x)) + 2D*(e^(2x)) + 3*(e^(2x)) + 6x*(e^(2x))
y'(0) = 13 => -C + 2D + 3 = 13
C = -2
D = 4
(x) = -2*(e^(-x)) + 4*(e^(2x)) + 3x*(e^(2x))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 фев. 2009 13:03 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3б) 4y''+16y'+15y=4(e^(-3x/2))
4y''+16y'+15y = 0
4(a^2)+16a+15=0
a1 = -2.5; a2 = -1.5
y0 = C*(e^(-2.5x)) + D*(e^(-1.5x))
4y''+16y'+15y=4(e^(-1.5x))
y1 = a*x*(e^(-1.5x))
(y1)' = a*(e^(-1.5x)) - 1.5*a*x*(e^(-1.5x))
(y1)'' = -1.5a*(e^(-1.5x)) - 1.5a*(e^(-1.5x)) +
+ 2.25a*x*(e^(-1.5x)) = -3a*(e^(-1.5x)) + 2.25a*x*(e^(-1.5x))
4(y1)''+16(y1)'+15(y1)=4(e^(-1.5x))
-12a*(e^(-1.5x)) + 9a*x*(e^(-1.5x)) + 16a*(e^(-1.5x)) -
- 24a*x*(e^(-1.5x)) + 15a*x*(e^(-1.5x)) = 4(e^(-1.5x))
4a*(e^(-1.5x)) = 4(e^(-1.5x))
4a = 4
a = 1
y1 = x*(e^(-1.5x))
y(x) = y0 + y1
y(x) = C*(e^(-2.5x)) + D*(e^(-1.5x)) + x*(e^(-1.5x))
y(0) = 3 => C + D = 3
y'(x) = -2.5C*(e^(-2.5x)) - 1.5D*(e^(-1.5x)) + (e^(-1.5x)) -
- 1.5x*(e^(-1.5x))
y'(0) = -5.5 => -2.5C - 1.5D + 1 = -5.5
C = 2
D = 1
y(x) = 2*(e^(-2.5x)) + (e^(-1.5x)) + x*(e^(-1.5x))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 фев. 2009 13:19 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
2б) xy''=(1+2x^2)y'
u = y'
u' = y''
x*u' = (1+2(x^2))*u
x*(du/dx) = (1+2(x^2))*u
du/u = (1/x + 2x)dx
ln|u| = ln|x| + (x^2) + const
u = C*x*(e^(x^2))
y' = C*x*(e^(x^2))
Посчитаем
int x*(e^(x^2))dx = (1/2)*int (e^(x^2))d(x^2) =
= (1/2)*int (e^z)dz = (1/2)*(e^z) + const =
= (1/2)*(e^(x^2)) + const
y' = C*x*(e^(x^2))
y(x) = C*(1/2)*(e^(x^2)) + D
y(x) = F*(e^(x^2)) + D
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 фев. 2009 13:28 | IP
|
|
studentka03
Новичок
|
Цитата: RKI написал 6 фев. 2009 13:28
2б) xy''=(1+2x^2)y'
u = y'
u' = y''
x*u' = (1+2(x^2))*u
x*(du/dx) = (1+2(x^2))*u
du/u = (1/x + 2x)dx
ln|u| = ln|x| + (x^2) + const
u = C*x*(e^(x^2))
y' = C*x*(e^(x^2))
Посчитаем
int x*(e^(x^2))dx = (1/2)*int (e^(x^2))d(x^2) =
= (1/2)*int (e^z)dz = (1/2)*(e^z) + const =
= (1/2)*(e^(x^2)) + const
y' = C*x*(e^(x^2))
y(x) = C*(1/2)*(e^(x^2)) + D
y(x) = F*(e^(x^2)) + D
а задача 2 под буквой а?
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 6 фев. 2009 16:47 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
а спасибо? 
2a) y'''tgx=2y''
u = y''
u' = y'''
tgx*u' = 2u
tgx*(du/dx) = 2u
du/u = 2dx/tgx
ln|u| = 2ln|sinx|+const
u = (sinx)^2 + C
y'' = (sinx)^2 + C
y' = (1/2)x - (1/4)sin2x + Cx
y(x) = (1/4)(x^2) + (1/8)cos2x + (C/2)(x^2)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 фев. 2009 17:45 | IP
|
|
studentka03
Новичок
|
Цитата: RKI написал 6 фев. 2009 17:45
а спасибо?
2a) y'''tgx=2y''
u = y''
u' = y'''
tgx*u' = 2u
tgx*(du/dx) = 2u
du/u = 2dx/tgx
ln|u| = 2ln|sinx|+const
u = (sinx)^2 + C
y'' = (sinx)^2 + C
y' = (1/2)x - (1/4)sin2x + Cx
y(x) = (1/4)(x^2) + (1/8)cos2x + (C/2)(x^2)
Спасибо большое)))
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 6 фев. 2009 20:45 | IP
|
|
Demidroll
Новичок
|
Помогите найти общее решение дифференциального уравнения.
1) xy'=y+x*sin(y\x)
Задача Коши,y(x0)=y0:
2) y'+2y=4x, y(0)=5
Заранее спасибо.
|
Всего сообщений: 35 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 3 марта 2009 20:29 | IP
|
|
Форум
дифференциальные уровнения
