Genrih
Удален
|
    
To что в Садовничем дается как пример:
d(n,m)=1+1/(n+m)
d(n,n)=0 (для метрики)
и последовательность шаров {B(n,1+1/2n)}
сводится к пределу
lim [ n,+00 ] при n->00 (как пересечение множеств)
интуитивно понятно что будет пустое множество
но проблема в том что будет ли ето пространство полнъм? Вопрос сводится к тому чтоб определить что фундаментальной будет только стационарная последовательность..... и ето действительно так
т.к. нер-во
1+1/(n_i+n_j)<epsilon
не въполняется ни при каких i,j
 решено!!
Кстати я задал етот вопрос преподавателю,и... он как и я в своем первом посте(в етой теме) отрицал ето,т.е. что в любом случае пересечение непусто 
(Сообщение отредактировал Genrih 19 апр. 2005 16:44)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 апр. 2005 14:27 | IP
|
|
dm
Удален
|
Genrih
интуитивно понятно что будет пустое множество
"Интуитивно понятно"... Очевидно, что пересечение лучей [n,+oo) по n=1,2,... пусто.
sms
Прийдется восстановить доброе имя Треногина.
В Треногине идет речь о банаховом пространстве. А в первом посте этого топика, в Колмогорове-Фомине, в Садовничем идет речь о полном метрическом пространстве. Вы спутали эти случаи. А за Вами и я. В банаховом случае проходят рассуждения из Треногина и, очевидно, не работает контрпример из Садовничего (вообще не линейное пространство). То есть в банаховом пространстве любая последовательность вложенных непустых замкнутых шаров имеет непустое пересечение, а в полном метрическом случае существует такая последовательность с пустым пересечением.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 апр. 2005 23:50 | IP
|
|
sms
Удален
|
Понял разницу. Спасибо за разъяснение.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 апр. 2005 22:19 | IP
|
|
dm
Удален
|
На внешняя ссылка удалена один участник форума (его ник - внешняя ссылка удалена) задал вопрос, что будет с принципом вложенных шаров (без условия стремления радиусов к нулю) в случае пространств Фреше, т.е. случае занимающем, промежуточное положение между рассмотренными случаями полного метрического и банахового пространств.
Напомню, что пространство Фреше - это полное метризуемое локально выпуклое пространство.
Локально выпуклое пространство - это векторное пространство, в котором топология (в отличие от нормированного пространства, где она задается нормой) задается семейством полунорм (в определении полунормы по сравнению с нормой отбрасывается условие невырожденности, т.е. полунорма может равняться нулю не только для нулевого элемента), но требуется, чтобы семейство полунорм разделяло точки, т.е. если все полунормы на некотором элементе равны нулю, то тогда элемент равен нулю. Сходимость в этой топологии - это сходимость во всех полунормах. Для локально выпуклого пространства метризуемость эквивалентна тому, что семейство полунорм достаточно брать счетным. Тогда в качестве метрики можно взять, например,
rho(x,y)=sum_(n=1)^oo (1/2^n)*min(1,||x-y||_n),
где { ||.||_n : n=1,2,...} - семейство полунорм.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 мая 2005 13:41 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Razve eto ne budet to ge metricheskoe prostranstvo?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 мая 2005 19:15 | IP
|
|
dm
Удален
|
Genrih
В случае просто полного метрического пространства, как мы видели, строится контрпример. Для пространства Фреше этот контрпример, очевидно, не работает (там вообще не было векторной структуры). Проходят ли рассуждения, как в случае банахового пространства, тоже не понятно.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 мая 2005 20:54 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
dm,разве етим :
rho(x,y)=sum_(n=1)^oo (1/2^n)*min(1,||x-y||_n),
где { ||.||_n : n=1,2,...} - семейство полунорм
мъ не метризуем пространство Фреше?
въглядит она конечно не очень ; полноту пространства ,я не знаю, можно ли доказать
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 июня 2005 15:11 | IP
|
|
dm
Удален
|
Genrih
Естественно, метризуем. Вопрос в том, принцип вложенных шаров остается в силе и без условия стремления радиусов к нулю (как в банаховом случае) или предъявляется контрпример (как в просто полном метрическом случае).
въглядит она конечно не очень
Тогда для Вас стандартное упражнение. Пусть есть метрические пространства (X_1, rho_1), (X_2, rho_2), ... Тогда декартово произведение X_1*X_2*... можно метризовать с помощью метрики
rho((x_i),(y_i))=sum_(i=1)^oo (1/2^i)*min(1,rho_i(x_i,y_i))
(вместо min(1,t) можно брать, например, еще t/(1+t)),
причем сходимость в этой метрике - это покоординатная сходимость - в соответствующей метрике в каждом множителе. Если исходные пространства были полные, то и это полное. Если исходные пространства были компактные, то и это компактное.
полноту пространства ,я не знаю, можно ли доказать
В общем случае метризуемое локально выпуклое пространство не обязательно полное. (Так что ничего не докажете - всё зависит от набора полунорм.) А те из них, которые полные, и называются пространствами Фреше.
(Сообщение отредактировал dm 3 июня 2005 19:14)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 июня 2005 16:26 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
так ,dm, въ практически уже опубликовали решение и для меня ничего не оставили
(Сообщение отредактировал Genrih 5 июня 2005 14:45)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 5 июня 2005 15:43 | IP
|
|
dm
Удален
|
Genrih
Доказательство чего? 
Доказательства того, что сходимость в такой метрике равносильна покоординатной, выше нет. Как и доказательства того, что из полноты (компактности) множителей следует полнота (компактность) произведения. Собственно, даже то, что это метрика, проверять можно, хотя это и совсем просто. 
И остается вопрос xalex'а.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 5 июня 2005 16:09 | IP
|
|
|
Форум
Метрические пространства
