Genrih
Удален
|
    
сходимость в такой метрике равносильна покоординатной
это ясно из самого вида метрики:при Xn->Xo в метрике в предельном переходе будет лишь зависимость от n всех координат и ясно что и rho->0 лишь когда rho_i->0 при всех i
А "из полнотъ(компактности) всех множеств => полнота произведения" следует именно из покоординатной сходимости
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 12:07 | IP
|
|
dm
Удален
|
это ясно из самого вида метрики:при Xn->Xo в метрике в предельном переходе будет лишь зависимость от n всех координат и ясно что и rho->0 лишь когда rho_i->0 при всех i
Вы просто переписали утверждение. Я не вижу здесь его обоснования.
То, что из сходимости в этой метрике следует покординатная, это действительно очевидно. А почему наоборот? 
А "из полнотъ(компактности) всех множеств => полнота произведения" следует именно из покоординатной сходимости
Полнота - да, а компактность почему?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июня 2005 12:19 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
из сходимости в этой метрике следует покординатная, это действительно очевидно. А почему наоборот?
{X_n}^i->{X_o}^i для всех i (i-индекс соответсвующего пространства Хi )
тоесть rho_i([{X_n}^i,{X_o}^i)->0 n->00
теперь
rho_i< eps_i для всеx n>N_i i =1,2,.... Пусть eps_i <a<1.Въбираем eps*=max{eps_i, i=1,2,...}
тогда min(1,rho_i)=rho_i
rho(X_n,Xo)=sum_(i=1)^oo (1/2^i)*rho_i(X)<sum_(i=1)^oo (1/2^i)*eps*=eps* -> 0 при n->00
Для компактности, в каждом Xi въбираем сходящуюся последовательность и точно так же доказъваем сходимость соответсвующей в Х последовательности
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 июня 2005 22:06 | IP
|
|
dm
Удален
|
rho(X_n,Xo)=sum_(i=1)^oo (1/2^i)*rho_i(X)<sum_(i=1)^oo (1/2^i)*eps*=eps*
Ну, это очень плохо. Чтобы написать такое неравенство, надо выбрать номер n большим одновременно всех N_i (i=1,2,...). А кто сказал, что max_(i=1,2,...) N_i конечен?
Подумайте, как исправить доказательство.
Для компактности, в каждом Xi въбираем сходящуюся последовательность и точно так же доказъваем сходимость соответсвующей в Х последовательности
Тоже пока плохо. Вам для произвольной последовательности x_n надо предъявить сходящуюся подпоследовательность. Для "координатных" последовательностей (x_n)^i у Вас есть сходящиеся подпоследовательности (x_n')^i , где индекс n' пробегает СВОЮ последовательность значений ДЛЯ КАЖДОГО i. Причем эти последовательности значений индекса при разных i в принципе могут не пересекаться. Как Вы предъявите подпоследовательность x_n'' ?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 июня 2005 0:54 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Да! действительно, я как-то не обратил внимание. небольшая проблема в том, что ето бесконечная сумма
После того как eps_i<1 : для произвольного eps существует такое m что
sum(i=m)^00 (1/2)^i rho({x_n}^i, {x_o}^i) < sum(i=m)^00 1/2^i <eps
тогда rho(x_n,x_o)< sum(i=1)^m (1/2)^i rho({x_n}^i,{x_o}^i) + eps
и осталась лишь конечная сумма , которую можно сделать сколь угодно малой.
Компактность:
дана последовательность {Xn}. ищем сходящуюся
общий член сам преставляет вектор :
Xn=({Xn}^1,{Xn}^2,...,{Xn}^i,...)
находим сходящуюся подпоследовательность последовательности каждой "координатъ":
{Xn)^1}: {X(n1_1)}^1 {X(n1_2)}^1 ....
{(Xn)^2}: {X(n2_1)}^2 {X(n2_2)}^2 ....
.......
{(Xn)^i}: {X(ni_1)}^i {X(ni_2)}^i ....
для того чтоб пронумеровать подпоследовательность последовательности {Xn}, использую метод как используемъй в доказательстве счетности рациональнъх чисел, так получаем сходящуюся подпоследовательность {Xn'}
(Сообщение отредактировал Genrih 14 июня 2005 11:20)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 июня 2005 11:52 | IP
|
|
dm
Удален
|
использую метод как используемъй в доказательстве счетности рациональнъх чисел
Вы ничего не путаете? При доказательстве счетности рациональных чисел, мы обходим всех их "змейкой". Сейчас это невозможно, элементы в разных пространствах живут.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 июня 2005 14:00 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Извиняюсь ! на первъх порах показалось что будет сходимость, но я не посмотрел как надо 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 июня 2005 15:41 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Нельзя ли использовать теорему Больцано-Веерштрасса для бесконченомерного случая как у нас?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 июня 2005 17:41 | IP
|
|
dm
Удален
|
Что Вы понимаете под "теоремой Больцано-Вейерштрасса для бесконечномерного случая"? Сформулируйте.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 июня 2005 18:05 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Из всякой ограниченной в R^n последовательности можно въделить сходящуюся подпоследовательность, я имею в виду именно метод въделения сходящейся подпоследовательности
(Сообщение отредактировал Genrih 15 июня 2005 17:19)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 июня 2005 18:08 | IP
|
|
|
Форум
Метрические пространства
