RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:52
2. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А3; 2) угол между ребрами А1А3 и А1А4;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
1)
A1 (2; -4; -3)
A3 (-1; 3; -3)
A1A3 {-3; 7; 0}
|A1A3|^2 = 9 + 49 = 58
|A1A3| = sqrt(58)
2)
A1 (2; -4; -3)
A4 (-10; -8; 7)
A1A4 {-12; -4; 10}
|A1A4|^2 = 144 + 16 + 100 = 260
|A1A4| = sqrt(260)
Посчитаем скалярное произведение векторов A1A3 и A1A4 по определению
(A1A3;A1A4) = |A1A3|*|A1A4|*cos(A3A1A4) =
= sqrt(58)*sqrt(260)*cos(A3A1A4) =
= 2*sqrt(3770)*cos(A3A1A4) (*)
A1A3 {-3; 7; 0}
A1A4 {-12; -4; 10}
Посчитаем скалярное произведение векторов A1A3 и A1A4 покоординатно
(A1A3;A1A4) = 36 - 28 + 0 = 8 (**)
Из (*) и (**) следует, что
2*sqrt(3770)*cos(A3A1A4) = 8
cos(A3A1A4) = 4/sqrt(3770)
угол A3A1A4 = arccos(4/sqrt(3770))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 17:22 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:52
3) уравнение плоскости А1А2А4;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
|x-2 y+4 z+3|
| 3 -2 3 | = 0
|-12 -4 10 |
(x-2)*|-2 3 | - (y+4)*|3 3| + (z+3)*|3 -2| = 0
|-4 10| |-12 10| |-12 -4|
(x-2)*(-20+12) - (y+4)*(30+36) + (z+3)*(-12-24) = 0
-8(x-2) - 66(y+4) - 36(z+3) = 0
4(x-2) + 33(y+4) + 18(z+3) = 0
4x - 8 + 33y + 132 + 18z + 54 = 0
4x + 33y + 18z + 178 = 0 - уравнение плоскости A1A2A4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 17:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:52
5) площадь грани А1А2А4;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
A1A2 {3; -2; 3}
A1A4 {-12; -4; 10}
|i j k| = i*|-2 3| - j*|3 3| + k*|3 -2| =
|3 -2 3| |-4 10| |-12 10| |-12 -4|
|-12 -4 10|
= i*(-20+12) - j*(30+36) + k*(-12+24) =
= (-8)*i + (-66)*j + 12*k
S = (1/2)*sqrt(64 + 4356 + 144) =
= (1/2)*sqrt(4564) = (1/2)*2*sqrt(1141) = sqrt(1141)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 17:45 | IP
|
|
assams
Новичок
|
Цитата: RKI написал 12 марта 2009 16:39
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:58
4. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и по результатам исследования построить графики этих функций;
у=(х-2)^2 / 2(x-1)
y(x) = ((x-2)^2)/2(x-1)
1) x-1=0
x=1
Область определения функции - вся числовая прямая за исключением найденной точки, то есть R\{1}
2) y(0) = ((0-2)^2)/2(0-1) = 4/(-2) = -2
(0;-2) - точка пересечения графика функции с осью ординат
3) y(x) = 0
((x-2)^2)/2(x-1) = 0
(x-2)^2 = 0
x-2 = 0
x = 2
(2;0) - точка пересечения графика функции с осью абсцисс
4) y(x) > 0
((x-2)^2)/2(x-1) > 0
y _ + +
___________ ________________________________x
1 2
x>1
График функции лежит выше оси абсцисс на промежутке
(1; +бесконечность)
5) y(x) < 0
((x-2)^2)/2(x-1) < 0
x<1
График функции лежит ниже оси асцисс на промежутке
(-бесконечность;1)
6) Функция не является периодической
7) y(-x) = ((-x-2)^2)/2(-x-1) = - ((x+2)^2)/2(x+1)
y(x) =/= y(-x)
y(x) =/= -y(x)
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
8) y(x) = ((x-2)^2)/2(x-1) = (x^2-4x+4)/(2x-2) =
= (1/2)(x-3) + 1/2(x-1)
lim_{x->1-0} y(x) = lim_{x->1-0} [(1/2)(x-3) + 1/2(x-1)] =
= -1 + бесконечность = +бесконечность
lim_{x->1+0} y(x) = lim_{x->1+0} [(1/2)(x-3) + 1/2(x-1)] =
= -1 - бесконечность = -бесконечность
x = 1 - вертикальная асимптота.
9) lim_{x->бесконечность} y(x)x =
= lim_{x->бесконечность} ((x-2)^2)/2x(x-1) =
= lim_{x->бесконечность} (x^2-4x+4)/(2x^2-2x) =
= lim_{x->бесконечность} (x^2)(1-4/x+4/(x^2))/(x^2)(2-2/x) =
= lim_{x->бесконечность} (1-4/x+4/(x^2))/(2-2/x) =
= (1-0+0)/(2-0) = 1/2
lim_{x->бесконечность} [y(x) - (1/2)x] =
= lim_{x->бесконечность} [((x-2)^2)/2(x-1) - (1/2)x] =
= lim_{x->бесконечность} (x^2-4x+4-x^2+x)/2(x-1) =
= lim_{x->бесконечность} (4-3x)/(2x-2) =
= lim_{x->бесконечность} x(4/x-3)/x(2-2/x) =
= lim_{x->бесконечность} (4/x-3)/(2-2/x) =
= (0-3)/(2-0) = -3/2
y(x) = (1/2)x - (3/2) = (1/2)(x-3) - наклонная асимптота
10) y(x) = ((x-2)^2)/2(x-1) = (x^2-4x+4)/(2x-2)
y'(x) = ((2x-4)(2x-2) - (x^2-4x+4)*2)/(2x-2)^2 =
= (4x^2-4x-8x+8-2x^2+8x-8)/(2x-2)^2 =
= (2x^2-4x)/(2x-2)^2
y'(x) = 0
(2x^2-4x)/(2x-2)^2 = 0
2x^2 - 4x = 0
2x(x-2) = 0
x=0; x-2=0
x=0; x=2
y' + _ _ +
______________________ _______________________x
0 1 2
x = 0 - точка максимума
y(0) = ((0-2)^2)/2(0-1) = 4/(-2) = -2 - максимум функции
x = 2 - точка минимума
y(2) = ((2-2)^2)/2(2-1) = 0/2 = 0 - минимум функции
11) Функция возрастает на промежутке
(-бесконечность;0) U (2;+бесконечность)
Функция убывает на промежутке
(0;1) U (1;2)
12) y'(x) = (2x^2-4x)/(2x-2)^2
y''(x) = ((4x-4)(2x-2)^2 - (2x^2-4x)*2(2x-2)*2)/(2x-2)^4 =
= ((4x-4)(2x-2) - 4(2x^2-4x))/(2x-2)^3 =
= (8x^2-8x-8x+8-8x^2+16x)/(2x-2)^3 =
= 8/(2x-2)^3
y''(x) = 0
8/(2x-2)^3 = 0
нет решений
Функция не имеет точек перегиба
13)
y'' _ +
________________ _____________________x
1
Функция выпукла вверх на промежутке
(-бесконечность;1)
Функция выпукла вниз на промежутке
(1;+бесконечность)
График: 
(Сообщение отредактировал assams 12 марта 2009 17:52)
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 17:50 | IP
|
|
assams
Новичок
|
RKI, а int_ - интеграл???....
посмотрите пожайлуйста,...последнюю задачу.....за ранее спсб0!!!
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 17:55 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:52
6) объем пирамиды;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
A3A1 {3; -7; 0}
A3A2 {6; -9; 3}
A3A4 {-9; -11; 10}
A3A1xA3A2 = |i j k| = i*|-7 0| - j*|3 0| + k*|3 -7| =
|3 -7 0| |-9 3| |6 3| |6 -9|
|6 -9 3|
= i*(-21-0) - j*(9-0) + k*(-27+42) = (-21)i + (-9)j + 15k
A3A1xA3A2 {-21; -9; 15}
(A3A4, A3A1xA3A2) = (-9)*(-21) + (-11)*(-9) + 10*15 =
= 189 + 99 + 150 = 438
V = (1/6)*438 = 73
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 18:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: assams написал 12 марта 2009 17:55
RKI, а int_ - интеграл???....
посмотрите пожайлуйста,...последнюю задачу.....за ранее спсб0!!!
это точно уже не помню
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 18:09 | IP
|
|
assams
Новичок
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:52
2.
6) объем пирамиды;
Решение:Для нахождения объема пирамиды надо найти объем параллепипеда, построенного на гранях А1А2, А1А3 и А1А4 и поделить его на 6.
А1А2={3;-2;3}
А1А3={-3;7;0}
А1А4={-12;-4;10};
Запишим эти значения ввиде матрицы и найдем ее определитель:
3 -2 3
-3 7 0
-12 -4 10
опред=210+36+0+252+0-60=438;
V=438/6=73 ед^3(кубические еденицы);
(Сообщение отредактировал assams 12 марта 2009 18:15)
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 18:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: schekutova написал 12 марта 2009 2:52
7) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1А2А4; А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
Уравнение грани A1A2A4:
4x + 33y + 18z + 178 = 0 (пункт 3)
Высота проходит через точку A3 (-1; 3; -3)
Следовательно, уравнение высоты, опущенной из точки A3, имеет вид:
(x+1)/l = (y-3)/m = (z+3)/n
Необходимо оределить l, m и n.
Высота перпендикулярна плоскости A1A2A4. По условию перпендикулярности прямой и плоскости
4/l = 33/m = 18/n
l = (2/9)n
m = (11/6)n
Тогда уравнение высоты имеет вид:
9(x+1)/(2n) = 6(y-3)/(11n) = (z+3)/n
9(x+1)/2 = 6(y-3)/11 = z+3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 марта 2009 18:17 | IP
|
|
assams
Новичок
|
RKI, а int_ - интеграл???....,вы так и не ответили,...спсб0 и на этом!.....
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 12 марта 2009 18:17 | IP
|
|
Форум
Много задач на разные темы...
