Trushkov
Долгожитель
|
       
1. Сделайте замену y(x)=x*z(x).
2. Решите сначала однородное уравнение y'+2y=0, потом найдите частное решение в виде ax+b. А потом найдите постоянную интегрирования из начального условия.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 3 марта 2009 20:41 | IP
|
|
Demidroll
Новичок
|
2. Решите сначала однородное уравнение y'+2y=0, потом найдите частное решение в виде ax+b. А потом найдите постоянную интегрирования из начального условия.
Тоесть привести y'+2y=4x к виду y+2=0, y=-2, а дальше какие произвести действия?
|
Всего сообщений: 35 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 3 марта 2009 20:55 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: Demidroll написал 3 марта 2009 20:29
2) y'+2y=4x, y(0)=5
y'+2y=4x
y' + 2y = 0
y' = -2y
dy/dx = -2y
dy/y = -2dx
ln|y| = -2x + const
y = C*(e^(-2x)), C-const
y(x) = C(x)*(e^(-2x))
y'(x) = C'(x)*(e^(-2x)) - 2*C(x)*(e^(-2x))
y' + 2y = 4x
C'(x)*(e^(-2x)) - 2*C(x)*(e^(-2x)) + 2*C(x)*(e^(-2x)) = 4x
C'(x)*(e^(-2x)) = 4x
C'(x) = 4x*(e^2x)
C(x) = int 4x*(e^(2x))dx = 4*int x*(e^(2x))dx =
= 2*int x d(e^2x) = 2x(e^2x) - 2*int (e^2x)dx =
= 2x(e^2x) - (e^2x) + D = (e^(2x))(2x-1) + D
y(x) = C(x)*(e^(-2x))
y(x) = 2x - 1 + D(e^(-2x))
y(0) = 0 - 1 + D*1 = D - 1 = 5
D = 6
y(x) = 2x - 1 + 6(e^(-2x))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 марта 2009 22:13 | IP
|
|
Demidroll
Новичок
|
RKI, ты наверное кандидат докторских наук, побольше бы таких людей, спасибо
|
Всего сообщений: 35 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 3 марта 2009 22:21 | IP
|
|
Demidroll
Новичок
|
RKI
C'(x)*(e^(-2x)) - 2*C(x)*(e^(-2x)) + 2*C(x)*(e^(-2x)) = 4x
C'(x)*(e^(-2x)) = 4x
C'(x) = 4x*(e^2x)
ТУТ СЛУЧАЙНО НЕ:
C'(x)=4x\(e^2x) ВМЕСТО C'(x) = 4x*(e^2x) Хотя интеграл получился в дальнейшем такойже ((e^(2x))(2x-1) + D)
Еще возник вопрос с
y(x) = C(x)*(e^(-2x))
y(x) = 2x - 1 + D(e^(-2x))
ЕСЛИ C(x) =(e^(2x))(2x-1) + D ТО должны получить:
y(x) =((e^(2x))(2x-1) + D)*(e^(-2x) А НЕ y(x) = 2x - 1 + D(e^(-2x))
В дальнейшем опятьже все совпадает,
(Сообщение отредактировал Demidroll 3 марта 2009 23:14)
|
Всего сообщений: 35 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 3 марта 2009 22:46 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
RKI, а зачем варьировать постоянную и, тем самым, брать лишний интеграл? Можно же решить системку из двух линейных уравнений.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 4 марта 2009 9:46 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Trushkov, честно сказать, я не помню как это делать. Если есть возможность, расскажите на этом примере. Буду очень благодарна.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 марта 2009 10:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Demidroll написал 3 марта 2009 22:46
C'(x)*(e^(-2x)) - 2*C(x)*(e^(-2x)) + 2*C(x)*(e^(-2x)) = 4x
C'(x)*(e^(-2x)) = 4x
C'(x) = 4x*(e^2x)
C'(x)*(e^(-2x)) = 4x
Умножьте обечасти уравнения на e^2x
C'(x)*(e^(-2x))*(e^2x) = (4x)*(e^2x)
C'(x)*(e^(-2x+2x)) = (4x)*(e^2x)
C'(x)*(e^0) = (4x)*(e^2x)
C'(x) = (4x)*(e^2x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 марта 2009 10:19 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Demidroll написал 3 марта 2009 22:46
y(x) = C(x)*(e^(-2x))
y(x) = 2x - 1 + D(e^(-2x))
ЕСЛИ C(x) =(e^(2x))(2x-1) + D ТО должны получить:
y(x) =((e^(2x))(2x-1) + D)*(e^(-2x) А НЕ y(x) = 2x - 1 + D(e^(-2x))
C(x) = (e^(2x))(2x-1) + D
y(x) = C(x)*(e^(-2x)) =
= [(e^(2x))(2x-1) + D]*(e^(-2x)) =
= (e^2x)(2x-1)(e^(-2x)) + D*(e^(-2x)) =
= (2x-1)(e^(2x-2x)) + D*(e^(-2x)) =
= (2x-1)(e^0) + D(e^(-2x)) =
= 2x - 1 + D*(e^(-2x))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 4 марта 2009 10:23 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Ищем частное решение в виде y=ax+b. Подставляем в уравнение. Получаем
(ax+b)'+2(ax+b)=2ax+a+2b=4x.
Приравниваем коэффициенты при степенях x. Получаем систему
2a=4,
a+2b=0.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 4 марта 2009 10:31 | IP
|
|
Форум
дифференциальные уровнения
