korpus
Новичок
|
   
Задача в следующем.
Известно, что сумма любого отрезка гармонического ряда не является целым. Это доказывать не надо
Даны натуральные a и d и составлена арфметическая прогрессия вида a+n*d.
Будет ли натуральным числом сумма ряда вида
s= 1/a + 1/(a+d) + ... + 1/(a+n*d) ?
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 16:13 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
korpus.
Как доказывается тот факт, что сумма любого отрезка гармонического ряда не является целым?
Не годится ли тот метод для решения Вашей задачи? Видимо не годится, раз Вы спрашиваете. И всё же, т.к. кроме делимости в голове ничего нет.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 17:45 | IP
|
|
korpus
Новичок
|
Ассоциация с гармоническим рядом была первой. Но вот в том и проблема, что не могу придумать, как приспособить гармонический ряд.
И опять же вопрос: зачем тогда арифметическая прогрессия? Логично предположить, что где-то она использоваться должна.
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 18:01 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Но, Вы знаете, как доказывается этот факт для гармонического ряда?
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 18:23 | IP
|
|
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Roman Osipov, спасибо за ссылку. Там предлагались хорошие идеи, которые можно постараться применить здесь. Здесь достаточно рассмотреть ситуацию, когда числа a и d взаимно просты.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 20:19 | IP
|
|
korpus
Новичок
|
Ассоциация с гармоническим рядом была первой, но эта задачка как-то не поддалась.
Может быть, я чего-то не понял.
И не уверен, что достаточно рассматривать взаимно простые.
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 28 нояб. 2008 16:49 | IP
|
|
korpus
Новичок
|
Может, у кого возникли идеи? Либо толкните в правильном направлении.
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 2 дек. 2008 14:08 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Roman Osipov дал ссылку. Там предлагались хорошие идеи, которые можно постараться применить здесь.
Действительно, пусть при некотором n
s= 1/a + 1/(a+d) + ... + 1/(a+n*d) - натуральное число.
Рассмотрим разложения на простые числа всех знаменателей. Выберем сначала те знаменатели, в разложение которых входит двойка в наибольшей степени. Если нет таких, то тройка в наибольшей степени и т.д. Если таких знаменателей несколько, выберем среди них те, у которых 3 входит в наибольшей степени (если в разложениях нет тройки, то рассмотрим 5 и т.д.). Продолжим этот процесс. В результате выделим единственный знаменатель, в разложение которого входит простое число в наибольшей степени нежели в остальные. Теперь умножим левую и правую части равенства
s= 1/a + 1/(a+d) + ... + 1/(a+n*d)
на наименьшее общее кратное всех знаменателей правой части, исключая отобранный ранее. Тогда слева будет натуральное число, справа нет (то самое простое число не сократится и останется в знаменателе).
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 2 дек. 2008 22:05 | IP
|
|
korpus
Новичок
|
А при чем тогда арифметическая прогрессия? Не совсем понятно, в чем разница в методологии доказательства с обычной гармонической последовательностью или вообще с произвольной возрастающей последовательностью в знаменателе. Частные случаи вроде бесконечных геометрических прогрессий не в счет.
Или это условие для случая, чтобы надо было указать, что наличие общего делителя у a и d не лишает доказательства общности. Но ведь это как-то слишком легко.
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 дек. 2008 14:22 | IP
|
|
Форум
Последовательности действительных чисел и операции над ними
