Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        ортогональность координат
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

ielkin


Новичок

Предлагаю обсудить тему: Как выяснить являются преобразования координат ортогональными или нет, так как некоторые участники
(к примеру участник МЕНТ) не правильно понимающие суть, пытаются навязать свое мнение.
 Пояснение тремя способами:
1.  Хочу напомнить, что однородные преобразования Лоренца выглядят:
                      X1’=а(q11X1+q12X2+q13X3 + q14X4)
                       X2’=а(q21X1+q22X2+q23X3+ q24X4)                    
                       X3’=а(q31X1+q32X2+q33X3+ q34X4)
                       X4’=а(q41X1+q42X2+q43X3+ q44X4)
Где  qij  - образуют матрицу с определителем отличным от 0,
а#0 – некоторое число.
  Заметим, что именно эти преобразования, а не с рассчитанными коэффициентами, полученными через определение инварианта, но которые общеизвестны и обычно их (почему-то)  называют преобразованиями Лоренца.
 Хочу отметить что в «Высшей геометрии»  доказано, что именно они входят в ортогональную группу ( требования унитарной  группы будут так же выполняться, если определено, что преобразования унитарны. Так как мы видим постоянный множитель входит в преобразования по определению). Ясно что постоянный множитель изначально входит в группу преобразований, я не показал ни чего нового, кроме доказательства, что общий множитель может быть не равен единице через ограничение области рассмотрения инварианта.
2.Если даже рассмотреть :
Данные далее преобразования, то умножение всех координат на постоянный множитель можно свести к умножению штрихованных координат на соответствующий множитель. Тогда на арифметизацию штрихованных координат  постоянный множитель не повлияет, но изменит масштаб, что ничего не меняет. Все преобразования исследованы и соответствуют условиям ортогональности и унитарности.

Преобразования почему-то не прошли, но они записаны в теме "Ошибки физиков"
ч. и т.д.

3.Высшая геометрия основана на проективной геометрии, которая занимает практически тереть всех исследований. Рассмотрения геометрии Лобачевского и Римана основаны на неоднородных координатах. Говорить, что я их выдумал – это плюнуть в лицо сотням математиков за последние двести лет (господин участник МЕНТ). Надо хоть почитать учебник по математике Ефимова «Высшая геометрия» 1961г.
    Я пытался объяснить,  что не обязательно рассматривать однородные координаты, что для арифметизации координат достаточно неоднородных координат, которые есть отношение однородных координат. Поэтому общий множитель не влияет на преобразовании неоднородных координат и не меняет группу однородных координат.

«И не надо ни чего выдумывать»



(Сообщение отредактировал ielkin 7 марта 2008 22:40)


(Сообщение отредактировал ielkin 7 марта 2008 22:44)

-----
ielkin

Всего сообщений: 33 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 7 марта 2008 22:38 | IP
MEHT



Долгожитель


Предлагаю обсудить тему: Как выяснить являются преобразования координат ортогональными или нет, так как некоторые участники
(к примеру участник МЕНТ) не правильно понимающие суть, пытаются навязать свое мнение.


Попросил бы без реплик о "неправильном понимании сути" и "навязывании мнения". Ни Вам, ни кому-либо ещё я ничего не навязывал и навязывать не собирался. Я всего лишь отписываюсь по теме. Что о "правильном понимании сути", то об этом я уже многократно наслышан от альтернативщиков...


Пояснение тремя способами:
1.  Хочу напомнить, что однородные преобразования Лоренца выглядят:
                      X1’=а(q11X1+q12X2+q13X3 + q14X4)
                      X2’=а(q21X1+q22X2+q23X3+ q24X4)                    
                      X3’=а(q31X1+q32X2+q33X3+ q34X4)
                      X4’=а(q41X1+q42X2+q43X3+ q44X4)
Где  qij  - образуют матрицу с определителем отличным от 0,
а#0 – некоторое число.

 Заметим, что именно эти преобразования, а не с рассчитанными коэффициентами, полученными через определение инварианта, но которые общеизвестны и обычно их (почему-то)  называют преобразованиями Лоренца.



Приведённые Вами преобразования - это общий вид аффинных линейных преобразований и не более.
(см. например
Беклемишев Д.В. "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры",
Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Аналитическая геометрия")

Называть их преобразованиями Лоренца, мягко говоря, преждевременно. Без соответствующих оговорок это даже не ортогональные преобразования, не говоря уже о Лоренцевых.



Хочу отметить что в «Высшей геометрии»  доказано, что именно они входят в ортогональную группу ( требования унитарной  группы будут так же выполняться, если определено, что преобразования унитарны. Так как мы видим постоянный множитель входит в преобразования по определению). Ясно что постоянный множитель изначально входит в группу преобразований, я не показал ни чего нового, кроме доказательства, что общий множитель может быть не равен единице через ограничение области рассмотрения инварианта.

Можете предоставить точную ссылку на все вышесказанное?


2.Если даже рассмотреть :
Данные далее преобразования, то умножение всех координат на постоянный множитель можно свести к умножению штрихованных координат на соответствующий множитель. Тогда на арифметизацию штрихованных координат  постоянный множитель не повлияет, но изменит масштаб, что ничего не меняет. Все преобразования исследованы и соответствуют условиям ортогональности и унитарности.

Преобразования почему-то не прошли, но они записаны в теме "Ошибки физиков"
ч. и т.д.


Одним из геометрических свойств ортогональных преобразований является неизменность расстояний (поэтому иногда в аналитич. геометрии ортогональные преобразования формально разделяют на преобразования вращения, параллельного переноса и зеркального отображения). Вы же пишите, что домножение на постоянный коэффициент изменит масштаб. И какое же в этом случае сохранение расстояний?? Правильно - никакого

С математической стороны всё куда более просто:
свойство ортогональности А*В=E,
где А - матрица о.п., В - транспонированная матрица А, Е - единичная матрица.
Взятие детерминанта от обоих частей даёт (det(A))^2=1.

Ваше домножение всех коэффициентов матрицы преобразований на отличное от единицы "а" нарушит свойство ортогональности (det(A))^2=1.



3.Высшая геометрия основана на проективной геометрии, которая занимает практически тереть всех исследований. Рассмотрения геометрии Лобачевского и Римана основаны на неоднородных координатах. Говорить, что я их выдумал – это плюнуть в лицо сотням математиков за последние двести лет (господин участник МЕНТ). Надо хоть почитать учебник по математике Ефимова «Высшая геометрия» 1961г.


Если хотите вести дискуссию - то ведите её нормально, без эмоциональных выпадов в мой адрес.
Тем фактом, что я раскритиковал ваш пост в соседней теме, я вовсе не собирался "плевать в лицо сотням математиков". Я и не утверждал, будто Вы выдумали "неоднородные координаты" вообще.
Вы их выдумываете в 4-х пространстве Минковского, где их нет и никогда не было - где все координаты в принципе равноправны. Попытка выдать "время" (равноправную со всеми остальными тремя декартовыми координатами) как некий "исток" остальных координат - это, извиняюсь, философия и игра терминами.

Р.S. Ну как я заметил, пофилосовствовать то Вы любите... чего стоит к примеру соседняя тема о "силе гравитации", где в это самое 4-пространство Минковского каким-то чудом поселились движущиеся материальные точки. То есть абстрактное (вспомогательное) математическое пространство четёрех измерений населили материальными частицами!!!
Этот нонсенс даже в комментарии не нуждается.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 8 марта 2008 3:39 | IP
ielkin


Новичок

Вот мы и добрались до истины:
«Одним из геометрических свойств ортогональных преобразований является неизменность расстояний (поэтому иногда в аналитич. геометрии ортогональные преобразования формально разделяют на преобразования вращения, параллельного переноса и зеркального отображения).»
Давайте теперь вспомним, что есть расстояние.
На поверхности изотропного конуса они все равны нулю по определению. Как теперь с сохранением расстояния?


-----
ielkin

Всего сообщений: 33 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 11 марта 2008 18:34 | IP
ielkin


Новичок

Точная ссылка ЕфимовН.В. "Высшая геометрия" 1961г. (или 1971г.) Не знаю как там Ильин и Позняк, но учебник по арифметике для 1го класса еще не то напишет.

-----
ielkin

Всего сообщений: 33 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 11 марта 2008 18:40 | IP
ielkin


Новичок

Рекомендую


Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.
- ISBN 5-9221-0267-2.
Перед вами прекрасная книга, в которой с редкой ясностью и яркостью излагаются основы геометрии — евклидовой и неевклидовой, проективной геометрии, геометрии постоянной кривизны. Эта книга — классический учебник, выдержавший семь изданий, отличается методически продуманным и умело распределенным материалом и остается современной и своевременной.
Для студентов и аспирантов всех математических специальностей, физиков и информатиков, лекторов геометрических курсов, математиков-исследователей.
© ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2004
© Н.В. Ефимов, 2003, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 6
Предисловие к пятому изданию 6
Предисловие к четвертому изданию 6
Предисловие к третьему изданию 7
ЧАСТЬ I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Глава I. Краткий обзор исследований по основаниям геометрии 9
§ 1. Аксиомы Евклида (пп. 1-4) 9
§ 2. Пятый постулат (пп. 5-8) 14
§ 3. Н. И. Лобачевский и его геометрия (п. 9) 30
§ 4. Формирование понятия геометрического пространства (п. 10) 33
Глава II. Аксиомы элементарной геометрии 39
§ 1. Геометрические элементы (п. 11) 39
§ 2. Группа I. Аксиомы связи (п. 12) 39
§ 3. Группа II. Аксиомы порядка (п. 13) 42
§ 4. Следствия из аксиом связи и порядка (пп. 14-15) 43
§ 5. Группа III. Аксиомы конгруэнтности (п. 16) 51
§ 6. Следствия из аксиом I-III (пп. 17-19) 55
§ 7. Группа IV. Аксиомы непрерывности (пп. 20-24) 68
§ 8. Группа V. Аксиома параллельности. Абсолютная геометрия (пп. 25-27) 81
Глава III. Неевклидова теория параллельных 85
§ 1. Определение параллельных по Лобачевскому (пп. 28-30) 85
§ 2. Особенности расположения параллельных и расходящихся прямых (пп. 31-32) 96
§ 3. Функция Лобачевского П(х) (п. 33) 101
§ 4. Прямые и плоскости в пространстве Лобачевского (пп. 34-35) 105
§ 5. Эквидистанта и орицикл (пп. 36-40) 112
§ 6. Эквидистантная поверхность и орисфера (пп. 41-44) 122
§ 7. Элементарная геометрия на поверхностях пространства Лобачевского (пп. 45-47) 127
§ 8. Площадь треугольника (п. 48) 138
§ 9. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского (пп. 49-54) 149
§ 10. Основные метрические соотношения в геометрии Лобачевского (пп. 55-62) 169
§ 11. Краткие сведения о геометрии Римана (пп. 63-68) 183
Глава IV. Исследование аксиом элементарной геометрии 192
§ 1. Три основные задачи аксиоматики (пп. 69-70) 192
§ 2. Непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии (п. 71) 196
§ 3. Доказательство независимости некоторых аксиом евклидовой геометрии (пп. 72-73) 211
§ 4. Аксиома полноты (п. 74) 222
§ 5. Полнота системы аксиом евклидовой геометрии (п. 75) 227
§ 6. Аксиоматический метод в математике (п. 76) 230
ЧАСТЬ II. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава V. Основы проективной геометрии 232
§ 1. Предмет проективной геометрии (пп. 77-83) 232
§ 2. Теорема Дезарга. Построение гармонических групп элементов (пп. 84-88) 238
§ 3. Порядок точек на проективной прямой (пп. 89-90) 251
§ 4. Разделенность гармонических пар; непрерывность гармонического соответствия (пп. 92-93) 259
§ 5. Аксиома непрерывности. Проективная система координат на прямой (пп. 94-97) 266
§ 6. Проективная система координат на плоскости и в пространстве (пп. 98-102) 278
§ 7. Проективное соответствие между элементами одномерных многообразий (пп. 103-105) 291
§ 8. Проективное соответствие между многообразиями двух и трех измерений (пп. 106-108) 301
§ 9. Аналитические представления проективных отображений. Инволюция (пп. 109-113) 311
§ 10. Формулы преобразования проективных координат. Сложное отношение четырех элементов (пп. 114-119) 328
§ 11. Принцип двойственности (пп. 120-124) 338
§ 12. Алгебраические кривые и пучки. Алгебраические поверхности и связки. Комплексная проективная плоскость и комплексное проективное пространство (пп. 125-130) 352
§ 13. Образы второй степени. Теория поляр (пп. 131-136) 361
§ 14. Конструктивные теоремы и задачи проективной геометрии (пп. 137-154) 377
Глава VI. Теоретико-групповые принципы геометрии. Группы преобразований 405
§ 1. Геометрия и теория групп (пп. 155-158) 405
§ 2. Проективная группа и ее основные подгруппы (пп. 159-167) 410
§ 3. Геометрии Лобачевского, Римана и Евклида в проективной схеме (пп. 168-174) 423
Глава VII. Пространство Минковского 445
§ 1. Многомерное аффинное пространство (пп. 175-188) 445
§ 2. Евклидовы пространства и пространство Минковского (пп. 189-202) 458
§ 3. Пространство событий специальной теории относительности (пп. 203-214) 473
ЧАСТЬ III. ГЕОМЕТРИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
Глава VIII. Дифференциальные свойства неевклидовой метрики 491
§ 1. Метрическая форма евклидовой плоскости (п. 215) 491
§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости Лобачевского (пп. 216-219) 496
§ 3. Метрическая форма плоскости Лобачевского (пп. 220-224) 508
§ 4. Внутренняя геометрия поверхности и задача Бельтрами (пп. 225-226) 525
§ 5. Геометрия на поверхности постоянной кривизны (пп. 227-228) 532
§ 6. Вывод основных метрических соотношений в геометрии Лобачевского (пп. 229-233) 545
Глава IX. Пространственные формы геометрии постоянной кривизны 551
§ 1. Двумерные многообразия с дифференциально-геометрической метрикой (пп. 234-238) 551
§ 2. Параболические пространственные формы (пп. 239-241) 560
§ 3. Эллиптические пространственные формы (пп. 242-245) 567
§ 4. Гиперболические пространственные формы (пп. 246-249) 570
§ 5. Теорема Гильберта (пп. 250-261) 576



-----
ielkin

Всего сообщений: 33 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 11 марта 2008 21:51 | IP
MEHT



Долгожитель


Давайте теперь вспомним, что есть расстояние.
На поверхности изотропного конуса они все равны нулю по определению. Как теперь с сохранением расстояния?



Условие сохранения растояний - это геом. иллюстрация для всех расстояний - и нулевых в частности.

Почему вдруг для нулевых расстояний должно нарушится условие ортогональности? Почему при домножении элементов матрицы орт. пр-ния на отличный от единицы коэффициент сама матрица должна оставаться ортогональной?
Можете показать по определению?


Точная ссылка ЕфимовН.В. "Высшая геометрия" 1961г. (или 1971г.)
Не знаю как там Ильин и Позняк, но учебник по арифметике для 1го класса еще не то напишет.



Ещё неизвестно, что следует отнести к "учебнику по арифметике"...
Хотя бы потому, что мною были приведены ссылки на два источника, подтверждающих мои слова (если пожелаете - могу привести ещё несколько), Вы же пока что приводите один-единственный источник...


(Сообщение отредактировал MEHT 13 марта 2008 0:22)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 13 марта 2008 0:19 | IP
MEHT



Долгожитель

Ознакомился с предлагаемой Вами книгой.
В самом деле книга отличная - подробнейщим образом излагаются многие вещи... Благодарю за ссылку.

И, вместе с тем, там нет и намёка на все те вещи, которые Вы так красноречиво пытаетесь тут излагать. А именно...


1.  Хочу напомнить, что однородные преобразования Лоренца выглядят:
                      X1’=а(q11X1+q12X2+q13X3 + q14X4)
                      X2’=а(q21X1+q22X2+q23X3+ q24X4)                    
                      X3’=а(q31X1+q32X2+q33X3+ q34X4)
                      X4’=а(q41X1+q42X2+q43X3+ q44X4)
Где  qij  - образуют матрицу с определителем отличным от 0,
а#0 – некоторое число.

 Заметим, что именно эти преобразования, а не с рассчитанными коэффициентами, полученными через определение инварианта, но которые общеизвестны и обычно их (почему-то)  называют преобразованиями Лоренца.


Нет же!
Читайте внимательней 200-е утверждение (стр. 470-471). Там сказано, что без утверждения 196 (стр. 466-468), в котором накладываются условия на матрицу Q приведённых аффинных преобразований, сами преобразования ещё ничего не задают. Без этого условия - это не лоренцевы преобразования.

Читайте - там всё оооочень подробно описано... вплоть до упомянутого мной выше свойства ортогональности (det(A))^2=1.

Кстати, об общем виде таких (аффинных) преобразований в этой же самой книге говориться и ранее - абзац под номером 187 (стр. 454-457) и абцаз 188 (стр. 457). Можете ознакомиться.

Также нет там и такого:

... Так как мы видим постоянный множитель входит в преобразования по определению). Ясно что постоянный множитель изначально входит в группу преобразований, ...



(Сообщение отредактировал MEHT 13 марта 2008 18:25)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 13 марта 2008 1:40 | IP
ielkin


Новичок

Индексы запишем в квадратных скобках, например -  [ik]
Знак суммы – сигма большая по ik заменена на S[ik]

Давайте докажем, что B*IB=I, где элементы матрицы B: b[ik]=aq[ik], если  q[ik] – элементы матрицы Q – матрицы преобразований Лоренца.
При этом преобразования В – рассматриваем на поверхности изотропного конуса.
 Тогда мы знаем, что:
                       x[1]’^2+x[2]’^2+x[3]’^2-x[4]’^2=
(1)                       =a^( x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2-x[4]^2)=
                     = x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2-x[4]^2=0
обозначим d[11]=d[22]=d[33]=+1; d[44]=-1, d[ik]=0, если i не равно k, при этом i;k=1,2,3,4   и   m;n=1,2,3,4
перепишем левую часть (1)
            x[1]’^2+x[2]’^2+x[3]’^2-x[4]’^2= S[ik]d[ik]x’x[k]’=
(2)         =S[ik]d[ik](aS[m]q[im]x[m])(aS[n]q[kn]x[n])=
            =a^2S[mn](S[ik]d[ik]q[im]q[kn])x[m]x[n]
перепишем в виде двойной суммы правую часть
(3)x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2-x[4]^2 = S[mn]d[mn]x[m]x[n]
 из (1) следует равенство (2) и (3), тогда
      a^2S[ik]d[ik]q[im]q[kn] = d[mn]
Матрица Q* получается из Q транспонированием, тогда
(4)S[ik](aq[mi]*)d[ik](aq[kn]) = d[mn], ясно, что в матричном виде это выглядит, как:
                  B*IB=I – условие ортогональности выполнено.
Ч.т.д.


-----
ielkin

Всего сообщений: 33 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 13 марта 2008 18:27 | IP
MEHT



Долгожитель

Не углубляясь в Ваши выкладки, сразу хочу обратить внимание на следующее. Если в матричном равенстве
B*IB=I
вынести за скобки коэффициент а, получим
(a^2) Q*IQ=I.
Известно, что Q*IQ=I, следовательно
(a^2) Q*IQ=I,
(a^2) I=I,
a^2=1, ну и окончательно
a=+-1.
Т.е. выбор коэффициента а при выполнении условия Q*IQ=I не произволен.

Добавлено:
А теперь углубляясь в Ваши выкладки.
Будет лучше, если я кратко повторю их в более наглядном виде.



Тут вправе задать вопрос: правомочен ли этот последний переход от двойных сумм по альфа и бета к равенству для соответствующих матричных элементов при этих суммах? И если правомочен, то при каких условиях он правомочен?
Например, при a=0 вообще очевидно, что этот переход ошибочен - ведь тогда получается I должна совпадать с нулевой матрицей, что абсурдно.

Таким образом, нужно ответить на следующий вопрос.



---
Ну и в довесок. В частности, для подобранного Вами коэффициента

Таким образом, матрица В не ортогональна по определению.

(Сообщение отредактировал MEHT 14 марта 2008 5:44)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 13 марта 2008 18:42 | IP
ielkin


Новичок

Извините, но мне не пришло сообщение об ответе (наверно я забыл оствить запрос на ответ)

Два вопроса:
1. Откуда видно, что элементы Y с индексом y  линейно независимы. (Мне кажется, что линейно зависимы)
Другой вопрос следствие первого
2. Если они л.з. , то условие, как Вы указали на 468 может быть изменено.




(Сообщение отредактировал ielkin 12 апр. 2008 11:34)

-----
ielkin

Всего сообщений: 33 | Присоединился: февраль 2008 | Отправлено: 12 апр. 2008 11:32 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com