Guest
Новичок
|
    
Спасибо ОГРОМНОЕ!!!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 25 янв. 2008 11:25 | IP
|
|
Olegka
Новичок
|
  
Помогите отобразить на верхнюю полуплоскость часть плоскости С, лежащую над объединением следующих линий: полупрямых (-беск;-1] , [1;+беск) и части единичной окружности с центром в начале координат, лежащей в нижней полуплоскости.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: январь 2008 | Отправлено: 25 янв. 2008 11:44 | IP
|
|
Tanechka
Новичок
|
Помогите пожалуйста, экзамен на носу, а решить не получается 2 примера:
1) Найти образ области D плоскости С при отображении:
w=z/(1-z)^2 |z|<1
2)Интеграл от 0 до бесконечности от sin^4(x)/(x^2)
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: январь 2008 | Отправлено: 25 янв. 2008 14:17 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
1)
|z|<1 - единичный круг, его граница задаётся параметрически
x=cos(t), y=sin(t), 0<t<2*pi, или
z=cos(t)+i*sin(t)=e^(i*t).
Граница образа определится подстановкой z=e^(i*t) в w=z/(1-z)^2.
После преобразований получите
w = (1/2)*[1/(cos(t)-1)], где cos(t)=[e^(i*t) + e^(-i*t)]/2.
При 0<t<2*pi видно, что область |z|<1 функцией w вырождается на полупрямую:
-oo < Re(w) < -1/4.
2) Интеграл
J=int[sin^4(x)/(x^2)]dx
берёте по частям:
J=int[sin^4(x)/(x^2)]dx = [-(1/x)*sin^4(x)] - int[-4*sin^3(x)*cos(x)/x]dx =
{где в каждом слагаемом проставляются пределы от нуля до плюс бесконечности}
= int[4*sin^3(x)*cos(x)/x]dx.
Используя соотношения
sin(x)*cos(x) = sin(2*x)/2,
sin^2(x)=[1-cos(2*x)]/2,
подынтегральное выражение преобразуется как
4*sin^3(x)*cos(x)/x = sin(2*x)*[1-cos(2*x)]/x = sin(2*x)/x - sin(4*x)/(2*x).
Следовательно, для интеграла получим:
J=int[sin(2*x)/x]dx - int[sin(4*x)/(2*x)]dx =
= int[sin(s)/s]ds - (1/2)*int[sin(t)/t]dt,
где сделана замена s=2*x, t=4*x,
и, переобозначая переменную интегрирования,
J=(1/2)*int[sin(t)/t]dt
Интеграл int[sin(t)/t]dt по пределам от нуля до плюс бесконечности равен pi/2 (доказательство можно найти у Лаврентьева, Шабата в "Методах функций комплексного переменного", либо же в любом другом пособии по ТФКП или анализу).
Окончательно J=pi/4.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 26 янв. 2008 1:55 | IP
|
|
llorin1
Участник
|
Цитата: MEHT написал 26 янв. 2008 1:55
При 0<t<2*pi видно, что область |z|<1 функцией w вырождается на полупрямую:
-oo < Re(w) < -1/4.
Полупрямая (-\infty,-1/4) является образом окружности |z|=1 при отображении w. Значит, оно отображает круг |z|<1 на внешность луча (-\infty,-1/4), т.е. его дополнение C\(-\infty,-1/4).
Цитата: Olegka написал 25 янв. 2008 11:44
отобразить на верхнюю полуплоскость часть плоскости С, лежащую над объединением следующих линий: полупрямых (-беск;-1] , [1;+беск) и части единичной окружности с центром в начале координат, лежащей в нижней полуплоскости.
Посмотрите -w, где w есть функция Жуковского.
(Сообщение отредактировал llorin1 27 янв. 2008 12:51)
|
Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 26 янв. 2008 22:10 | IP
|
|
Elizaveta080492
Новичок
|
Помогите, пожалуйста, решить пример:
Отобразить на верхнюю полуплоскость сектор |z|<R, 0<argz<pi*a (0<a<=2).
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: декабрь 2012 | Отправлено: 19 дек. 2012 22:44 | IP
|
|
|
Форум
ТФКП
