Guest
Новичок
|
    
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, каким(и) способом(и)
найти нецелые и комплексные (если они существуют) корни следующей системы уравнений:
X^2+Y+Z=1,
X+Y^2+Z=1,
X+Y+Z^2=1.
Заранее благодарен!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 23 авг. 2006 18:41 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 23 авг. 2006 18:41
Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, каким(и) способом(и)
найти нецелые и комплексные (если они существуют) корни следующей системы уравнений:
X^2+Y+Z=1,
X+Y^2+Z=1,
X+Y+Z^2=1.
Заранее благодарен!
Можно рассуждать так.
Вычтем из первого ур. второе, а так же из первого 3-е, получим
x*(x-1)=y*(y-1),
x*(x-1)=z*(z-1), или
y^2 - y - x*(x-1) = 0,
z^2 - z - x*(x-1) = 0,
что является квадратным уравнением для y и z. Решения их имеют вид
y1=(1/2)*{1+sqrt[1+4*x(x-1)]},
y2=(1/2)*{1-sqrt[1+4*x(x-1)]},
z1=(1/2)*{1+sqrt[1+4*x(x-1)]},
z2=(1/2)*{1-sqrt[1+4*x(x-1)]}.
Из вида y и z можно утверджать, что
1)либо они совпадают, т.е. y=y1=z1=z или y=y2=z2=z,
2)либо имеет место равенство y=y1 и z=z2 или y=y2 и z=z1.
Рассмотрим случай, когда y=z=t=(1/2)*{1+-sqrt[1+4*x(x-1)]}
(t - вспомогательная переменная)
Система запишется как
x^2+2t=1,
x+t^2+t=1,
x+t+t^2=1,
или, выражая из 2-го x и подставляя его в 1-е
(1-t^2-t)^2+2*t=1,
1+t^4+t^2-2*t^2-2*t+2*t^3+2*t=1,
t^4+2*t^3-t^2=0,
(t^2)*(t^2+2*t-1)=0, и равенство распадается на два равенства
t=0 или t^2+2*t-1=0, т.е. возможны такие значения t:
t1=0, t2=+-sqrt(2)-1.
При рассмотрении первого значения получаем
x=1, y=z=0;
при рассмотрении второго значения получаем
x=y=z=+-sqrt(2)-1
В случае, когда y не равно z, аналогично можно получить
x=0, y=1, z=0, или
x=0, y=0, z=1.
Замечая, что начальная система нелинейных уравнений симметрична, можно сказать, что:
либо система имеет 3 корня, один из которых равен 1, а два других - нули,
либо ситема имеет три равных корня
sqrt(2)-1, или
-sqrt(2)-1.
(Сообщение отредактировал MEHT 25 авг. 2006 4:44)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 авг. 2006 21:20 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Вашу систему можно решить ещё так: пусть
I=(x^2+y+z-1, x+y^2+z-1, x+y+z^2-1), I - это идеал.
Далее рассмотрим базис Грёбнера идеала I по отношению к lex-упорядочению, который состоит из четырёх полиномов:
g1 = x+y+z^2-1,
g2 = y^2-y-z^2+x,
g3 = 2yz^2+z^4-z^2
g4 = z^6-4z^4+4z^3-z^2.
Полиномы g1 и g3 имеют одинаковое множество решений, но так как
g4 = z^6-4z^4+4z^3-z^2=z^2[(z-1)^2]*(z^2+2x-1)
зависит только от z, то возможными значениями z могут быть только корни полинома g4, т. е. 0; 1 и -1+-sqrt(2). Подставляя
их в g2 и в g3, можно определить возможные значения y; что в свою очередь позволит определить из g1 x. Таким образом, мы получаем, что исходная система имеет в точности 5 решений:
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1),
(-1+sqrt(2);-1+sqrt(2);-1+sqrt(2)),
(-1-sqrt(2);-1-sqrt(2);-1-sqrt(2)).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 25 авг. 2006 3:39 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: Guest написал 25 авг. 2006 3:39
Вашу систему можно решить ещё так: пусть
I=(x^2+y+z-1, x+y^2+z-1, x+y+z^2-1), I - это идеал.
Далее рассмотрим базис Грёбнера идеала I по отношению к lex-упорядочению, который состоит из четырёх полиномов:
g1 = x+y+z^2-1,
g2 = y^2-y-z^2+x,
g3 = 2yz^2+z^4-z^2
g4 = z^6-4z^4+4z^3-z^2.
Полиномы g1 и g3 имеют одинаковое множество решений, но так как
g4 = z^6-4z^4+4z^3-z^2=z^2[(z-1)^2]*(z^2+2x-1)
зависит только от z, то возможными значениями z могут быть только корни полинома g4, т. е. 0; 1 и -1+-sqrt(2). Подставляя
их в g2 и в g3, можно определить возможные значения y; что в свою очередь позволит определить из g1 x. Таким образом, мы получаем, что исходная система имеет в точности 5 решений:
(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1),
(-1+sqrt(2);-1+sqrt(2);-1+sqrt(2)),
(-1-sqrt(2);-1-sqrt(2);-1-sqrt(2)).
Извините, а в каком разделе математики так решают системы
нелинейных уравнений; пожалуйста, кто-нибудь подскажите
где можно найти соответствующий материал.
MEHT, большое Вам спасибо за достаточно подробное и ясное решение!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 авг. 2006 18:49 | IP
|
|
attention 
Долгожитель
|
Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О'Ши:
"Идеалы, многообразия и алгоритмы"
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 2 сен. 2006 18:55 | IP
|
|
llorin1
Участник
|
It's TRUE.
|
Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 2 сен. 2006 21:18 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
Не совсем по теме, но более подходящего раздела не нашла.
Буду очень признательна, если вы немного разъясните мне следующую задачу:
При каких значениях a и b функция
f(x) = X^2 при x <= 1
= a*X + b при x > 1
будет дифференцируемой в точке X=1?
Не пойму, в чем смысл? Как вообще доказать, что она дифференцируема в этой конкретной точке? На непрерывность проверить? А как?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 фев. 2007 23:01 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Для того, чтобы функция одной переменной была дифференцируема в некоторой точке необх. и достаточно, чтобы для этой функции в этой точке существовала производная. Находите произв. левой и правой частей, приравниваете - находите параметр а; из непрерывности функции в рассматриваемой точке - находите параметр b.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 18 фев. 2007 0:36 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
MEHT
Огромное человеческое спасибо за разъяснения :-)
Если вас это не заируднит, посмотрите, верно ли я решаю:
Нахожу производные:
(x^2)' = 2x
(a*x + b)' = a
Приравниваю, получаю 2x=a => x = 1/2*a
Проверяю функцию на непрерывность в точке x=1, т.е. проверяю, имеется ли конечный предел в этой точке.
При x=1 a=1/2
lim 1/2 * x + b имеет конечный предел при b не равном +/-
x->1
бесконечности, т.е. при b = const.
Заранее благодарна за помощь :-)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 18 фев. 2007 18:49 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Нет... нужно ведь найти сами параметры а и b.
Производные:
(x^2)' = 2x,
(a*x + b)' = a
в точке x=1 должны совпадать, откуда находим
a=2.
Теперь приравниваем значения функций в этой точке, т.е.
a + b = 1, откуда
b=-1.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 18 фев. 2007 19:31 | IP
|
|
|
Форум
Нелинейные системы уравнений
