Maybe
Удален
|
    
attention, пожалуйста :-)
Со вторым попытаюсь. Условие не совсем понятно-во втором уравнении. В какой там степени 3x?
(3x^2y) - (y^3) = 4 К.кв. 3 , так?
Расставь скобки поточнее...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 апр. 2006 0:42 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Maybe написал 23 апр. 2006 22:37
...
Решаем и получаем t1= 1, t2=-1/4
t2 отбрасываем, т.к. x^2 положительно и пполучаем
x1,2 = +- 1
Подставляем во второе ур. системы и получаем:
y1,2 = +- (1/3)
Проверьте, может где и ошиблась... 
Ну тут точнее написать так x1,2 = +- 1, y1,2 = -+ (1/3),
т.к. x и y должны иметь разные знаки.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 апр. 2006 1:41 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: attention написал 24 апр. 2006 12:04
Помогите решить систему уравнений:
(X^3) - 3X(Y^2) = 4,
3Y(X^2) - (Y^3) = 4*К.кв.(3);
т. е. 4 умноженное на корень квадратный из 3.
Идея такая. Домножить второе ур. системы на мнимую единицу. Тогда систему можно записать так
(X^3) + 3X*(Yi)^2 = 4,
3(X^2)*(i*Y) + (i*Y)^3 = i*4*sqrt(3);
Сложим уравнения
(X^3) + 3X*(Yi)^2 + 3(X^2)*(i*Y) + (i*Y)^3 = 4+i*4*sqrt(3), или,
(X+iY)^3=8*[cos(pi/3)+i*sin(pi/3)];
Вычтем из 1-го ур. системы второе
(X^3) + 3X*(Yi)^2 - 3(X^2)*(i*Y) - (i*Y)^3 = 4-i*4*sqrt(3), или,
(X-iY)^3=8*[cos(pi/3) - i*sin(pi/3)];
Получили новую систему
(X+iY)^3=8*[cos(pi/3)+i*sin(pi/3)],
(X-iY)^3=8*[cos(pi/3) - i*sin(pi/3)]; теперь применяя форм. Муавра выражаете (X+iY) и (X-iY). Из каждого ур. получим по 3 точки (X;Y). Точки, удовлетв. сразу обоим уравнениям и будут решением исходной системы.
(Сообщение отредактировал MEHT 25 апр. 2006 7:22)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 25 апр. 2006 7:22 | IP
|
|
attention 
Долгожитель
|
MENT, спасибо тебе за решение!
Но я с ним не совсем согласен. Комплексной подстановкой я его решал так: второе уравнение системы умножил на мнимую единицу, затем вычел его из первого,--
получил (X - Yi)^3=4 --i* 4sqrt(3).
Пусть X=Re(Z), Y=lm(Z), a Z=X-Yi, т. е. Х--вещественная часть комплексного числа Z, а Y--мнимая его часть.
Z^3 = 4 --i*4sqrt(3);
Z^3 = 8*(cos(p/3) + i*sin(p/3));
Z^3 = 2*(cos(p/9+2pk/3) + i*sin(p/9+2pk/3), где k = 0, 1, 2.
В результате получил три пары корней системы:
X1 = 2cos(p/9) и Y1 = -2sin(p/9);
X2 = 2cos(5p/9) и Y2 = -2sin(5p/9);
X3 = 2cos(11p/9) и Y3 = -2sin(11p/9).
Воспользовался тем, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, и
то, что в подстановке X был положительным, а Y--отрицательным.
В частности, в твоём варианте решения мне не ясно почему в тригонометрической записи комплексного числа в углах
cos и sin присутствует i (мнимая единица?).
Мне кажется, что исходную систему можно было не преобразовывать к системе (!) с комплексными переменными, т. к. можно свести отыскание корней исходной системы к отысканию Re(Z) и lm(Z) комплексного числа Z.
Но меня мучает другое--преподша сказала, что эту систему можно решить, не переходя в комплексную область. Моё
мнение--нельзя. Как бы это доказать в пределах ВУЗовского курса элементарной математики.
Буду рад любым подсказкам!
(Сообщение отредактировал attention 27 апр. 2006 10:52)
(Сообщение отредактировал attention 27 апр. 2006 10:57)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 25 апр. 2006 9:18 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Ну вообщем да, уравнения
(X+iY)^3=8*[cos(pi/3)+i*sin(pi/3)],
(X-iY)^3=8*[cos(pi/3) - i*sin(pi/3)] имеют равные тройки решений, поэтому можно рассмотреть любое из них.
Но меня мучает другое--преподша сказала, что эту систему можно решить, не переходя в комплексную область.
Ну тогда методом подгонки под уже полученное решение можно придумать какую-нибудь тригонометрич. замену, а далее применять соотв. формулы.... может что и получиться...
P.S. ...хотя на первый взгляд сомнительно, что что либо получиться... скорее всего что так оно и есть...
(Сообщение отредактировал MEHT 25 апр. 2006 14:50)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 25 апр. 2006 14:45 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Так всё же, почему в углах присутствует i ?!
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 25 апр. 2006 15:28 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: attention написал 25 апр. 2006 15:28
Так всё же, почему в углах присутствует i ?!
Ну что вы, она там вовсе неприсутствует 
pi - это не произведение, а обозначение числа "пи". 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 25 апр. 2006 18:32 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
attention ,
ничего хорошего что-то не выходит...
Ты заметил, что если сложить оба уравнения системы, то получим куб разности
(x-y)^3 = 4+4*sqrt(3)
(sqrt - это квадратнй корень)
отсюда можно выразить, допустим, y. Получим y= x- корень 3й степени из (4+4*sqrt(3)).
Потом выразим x из 2го уравнения системы ( чтобы совсем избавиться от х ). Получим x= sqrt ( ( 4*sqrt(3)+Y^3)/3*Y).
Теперь, если подставить это значение x в равенство
y= x- корень 3й степени из (4+4*sqrt(3)), то получим уравнение с одной переменной у.
Думаю, если его решить, то найдем Y. А потом X найти будет уже не так сложно...
Но я расчетов еще не делала...Может и ты попробуешь, если еще не проверял этот способ...:-)
(Сообщение отредактировал Maybe 27 апр. 2006 0:46)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 апр. 2006 22:43 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Maybe написал 26 апр. 2006 22:43
attention ,
ничего хорошего что-то не выходит...
Ты заметил, что если сложить оба уравнения системы, то получим куб разности
(x-y)^3 = 4+4*sqrt(3)
Maybe, нет, у attention все верно (только лишь недопечатал мнимую единицу при 4sqrt(3) в правой части уравнения). Если просто сложить оба уравнения куб разности неполучится...
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 27 апр. 2006 9:15 | IP
|
|
Maybe
Удален
|
МЕНТ, Да , вы правы...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 апр. 2006 10:56 | IP
|
|
|
Форум
Нелинейные системы уравнений
