Guest
Новичок
|
    
как доказать неравенство:
([(n+1)!]^n)*(2n+2)! > [(n+2)!]^(n+1) ?
как перейти от (2n)! к n! ??
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 14 нояб. 2006 11:48 | IP
|
|
klimanya
Новичок
|
Левая часть неравенства сводится к:
2*[(n!)^(n+1)]*(2n!)*(n+1)^2*(2n+1)
Правая часть:
[(n!)^(n+1)]*(n+1)^(n+1)*(n+2)^(n+1)
Остается их сравнить 
|
Всего сообщений: 36 | Присоединился: октябрь 2006 | Отправлено: 14 нояб. 2006 19:46 | IP
|
|
amigo
Начинающий
|
Цитата: Guest написал 14 нояб. 2006 11:48
как доказать неравенство:
([(n+1)!]^n)*(2n+2)! > [(n+2)!]^(n+1) ?
методом мат. индукции.
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 14 нояб. 2006 20:02 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
"Левая часть неравенства сводится к:
2*[(n!)^(n+1)]*(2n!)*(n+1)^2*(2n+1)..."
Не понятно,как это? Скорее она будет такой:
([n!]^n)*([n+1]^n)*2*(n+1)*(2n+1)*(2n)! Но это не решает проблемы
"остается их сравнить :-)"
Вот именно :-). Попробуй их сравни в таком виде...
Нужен способ перехода от (2n)! к n! или обратно...
чтобы неравенство стало очевидным.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 14 нояб. 2006 22:49 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Индукцией тут кажется сложновато будет... попробовал - не вышло... Можно еще попробовать через формулу Стирлинга.
Вот еще вариант:
([(n+1)!]^n)*(2n+2)! > [(n+2)!]^(n+1)
Сделаем замену t=(1+n), тогда
[(t!)^(t-1)]*[(2t)!] > [(t+1)!]^t, или
Левая часть:
[(t!)^(t-1)]*[(2t)!] = {[(t!)^t]/(t!)}*[(2t)!],
Правая часть:
[(t+1)!]^t = [(t+1)^t]*[(t!)^t].
Подставляем в неравенство, получим
{[(t!)^t]/(t!)}*[(2t)!] > [(t+1)^t]*[(t!)^t],
или, перенеся все в левую часть и вынося [(t!)^t] за скобки
[(t!)^t] * {[(2t)!]/(t!) - (t+1)^t]} > 0,
но [(t!)^t] положителен, следовательно
[(2t)!]/(t!) > (t+1)^t ;
Теперь можно применить такой приемчик - разделим левую и правую часть неравенства на t^t.
[(2t)!]/[(t!)*(t^t)] > [1 + (1/t)]^t, или расписав по сомножителям,
[1+(1/t)]*[1+(2/t)]*[t+(3/t)]*...*(1+(t/t)] > [1 + (1/t)]*[1 + (1/t)]*[1 + (1/t)].
В левой и правой части фигурирует по t сомножителей каждый из которых больше единицы, причем каждый из сомножителей левой части больше соотв. сомножителей правой, за исключением первой пары, которые совпадают, т.е.
[1+(2/t)] > [1 + (1/t)],
[t+(3/t)] > [1 + (1/t)],
[t+(4/t)] > [1 + (1/t)],
-----------------------
[t+(t/t)] > [1 + (1/t)],
а следовательно и произведение этих левых частей будет больше правых, что и доказывает неравенство.
Кстати, неравенство справедливо для t>1 что соответствует n>0; в противном случае от произведений останутся лишь два первых равных между собой соотношения [1+(1/1)].
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 нояб. 2006 0:35 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Классно!!! я не догадался (2n)!/n! расписать по сомножителям, а ведь это не так трудно, как сначала показалось. Для ясности покажу этот переход подробнее:
разложим [(2t)!]/[(t!)*(t^t)] = [1*2*3*....*t*(t+1)*(t+2)*....*(t+t)]/[(1*2*3*...*t)*(t^t)]=(1+1/t)*(1+2/t)*...*
*(1+t/t)
Да, действительно, отсюда ясно видно, что неравенство
([(n+1)!]^n)*(2n+2)! > [(n+2)!]^(n+1)
выполняется.
Кстати, о методе математической индукции.
Именно это неравенство нужно было доказать, чтобы доказать справедливость другого неравенства из Демидовича:
2!*4!*...*(2n)! > [(n+1)!]^n (N9)
по мми, если это неравенство справедливо, то должно быть справедливо и такое
2!*4!*...*(2n)!*(2n+2)! > [(n+2)!]^(n+1)
таким образом нужно было доказать,что
2!*4!*...*(2т)!*(2n+2)! > {{(n+1)!]^n]*(2n+2)! > [(n+2)!]^(n+1)
_______________________________
Таким образом МЕНТ решил девятую задачу из Демидовича, спасибо
:-)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 15 нояб. 2006 9:26 | IP
|
|
sms
Удален
|
Если в первом неравенстве поделить на (n+1)^(n+1),
то получится
(2n+2)!/(n+1)!>(n+2)^(n+1),
что очевидно.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 нояб. 2006 19:22 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Понятие очевидности, очевидно, не для всех одинаково и требует уточнения.
Очевидно то, что не может быть разложено на более фундаментальные составляющие.
А>А+1 - очевидно по определению
(2n+2)!/(n+1)!>(n+2)^(n+1) - где видно, что это очевидно?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 нояб. 2006 20:58 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
sms выдал короткое и оригинальное решение.
Ведь, факториал увеличивается намного бывстрее любой степенной функции. А тем более двойной факториал...круто.
Спасибо.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 нояб. 2006 21:08 | IP
|
|
sms
Удален
|
Очевидно в хорошем смысле этого слова.
Если расписать факториалы слева и сократить(проделайте!), то станет очевидно, что это произведение как раз (n+1) множителя, первый из которых есть (n+2), остальные ещё больше. А справа только (n+2) то же число раз.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 18 нояб. 2006 0:22 | IP
|
|
|
Форум
преобразования факториала
