Guest
Новичок
|
    
Как доказать, что функция f(x)=SUM{k=1;oo} abs(x-r_k)/(3^k) дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных, где r_k - рациональные числа отрезка [0;1], x принадлежит [0;1] (abs - это модуль)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 нояб. 2005 23:42 | IP
|
|
gvk 
Модератор
|
Хорошая задачка. Где такие дают?
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 2 нояб. 2005 16:49 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
ВМК ННГУ. Согласен, что она довольно интересная. Только вот уже всю голову над ней сломал!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 2 нояб. 2005 21:22 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Guest:
...где r_k - рациональные числа отрезка [0;1]...
Больше ничего об r_k не известно?? Ети r_k фиксированы или как...?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 11:29 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
r_k - просто как-то пронумерованные рациональные точки. Разумеется, при конкретном k - это конкретное рациональное число
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 12:37 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: Strannik написал 4 нояб. 2005 11:37
r_k - просто как-то пронумерованные рациональные точки. Разумеется, при конкретном k - это конкретное рациональное число
Хорошо. r_k - все множество рациональных чисел в [0,1] пробегают ?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 12:43 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
Да
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 17:53 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Мажорируем нашу функцию-ряд рядом SUM{k=1;oo} 1/(3^k)=3/2 , т.е. у нас равномерная сходимость. Пусть f_k(x)=abs(x - r_k). Чтоб дифференцировать почленно f_k(x) должны быть непрерывно-дифференцируемы.
Пусть дифференцируем в рациональной точке x_0 из [0,1]. T.k. x_0 рациональна => она будет одной из r_k, пусть x_0=r_i.Но функция f_i(x) недифференцируема в точке r_i.
Ну а в иррациональных таких проблем нет
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 19:30 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
Да, ряд сходится равномерно, но теорема гласит, что если ряд сходится равномерно на отрезке, каждая функция дифференцируема НА ОТРЕЗКЕ и ряд из производных сходится, то функция диффененцируема НА ОТРЕЗКЕ, а не на произвольном множестве точек! То есть эта теорема здесь неприменима, так как каждая из функций на отрезке [0;1] недифференцируема!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 20:34 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
То есть эта теорема здесь неприменима, так как каждая из функций на отрезке [0;1] недифференцируема!
Ето не так!(или я не так понял  )
Функции, входящие в суммы, недифференцируемы каждая в своей рациональной точке.
Проблема вот в чем:
дифференцируем частичные суммы ряда в точке r_i , т.е. дифференцируем каждую функции суммы. Но вот уже S_i (и все остальные суммы значит ) нельзя будет дифференцировать в точке r_i, т.к. входящая в нее функция f_i(x) недифференцируема в точке r_i.
(Сообщение отредактировал Genrih 5 нояб. 2005 19:06)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 5 нояб. 2005 19:26 | IP
|
|
Форум
Недифференцируемость в рациональных тчк функции в виде ряда
