gvk 
Модератор
|
    
Читая вопросы и ответы на одном из англоязычных физ-мат форумах, обнаружил что многие студенты не имеют четкого понимания вопроса о том что есть вектор вообще и ковариантный или контравариантный вектор, в часности? Более конкретные вопросы:
1. Является ли радиус-вектор вектором в математическом понимании?
2. Является ли сила гравитационного притяжения ковариантным или контравариантным вектором?
Не знаю получится ли содержательная дискуссия по этому поводу на рускоязычном форуме, но хотелось бы ее видеть.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 1 июля 2005 17:48 | IP
|
|
sms
Удален
|
Вектор-это направленный отрезок, не правда ли?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 июля 2005 22:13 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Для школы такое понимание - достаточно. А как насчет ответа на вопрос: что есть ковариантный вектор? .
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 1 июля 2005 22:30 | IP
|
|
dm
Удален
|
gvk
Дело в том, что в математике есть разные определения понятия "вектор", что в некоторых случаях может приводить к разным понятиям 'вектор'. Можно, конечно, смотреть, как эти определения соотносятся друг сдругом. Вот навскидку несколько:
1) Вектор - направленный отрезок, т.е. в аффинном пространстве выбираем две точки, соединяем, выбираем направление и готово. 
2) Наиболее абстрактное и, как следствие, общее определение. Вектор - элемент линейного пространства, т.е. элемент пространства произвольной природы, лишь бы был выполнен общеизвестный список аксиом. Ковектор - элемент сопряженного пространства к данному, т.е. линейный функционал на исходном пространстве. С этой точки зрения между обычными векторами и ковекторами нет принципиальной разницы - и те, и другие являются векторами в своих пространствах. И в рефлексивном случае (а конечномерный случай рефлексивный), если за векторы взять ковекторы, то их ковекторами будут исходные векторы и только они. Пока у нас нет скалярного произведения, нет "естественного" (в некотором смысле!) способа каждому вектору поставить в соответствие его ковектор, тем самым отождествив первые и вторые. А как только появляется скалярное произведение, это уже можно делать. И разница между вектором и соответствующим ему ковектором исчезает - это один и тот же объект с точностью до естественного изоморфизма (т.е. по общей договоренности неразличимые объекты).
3) Вектор - просто набор чисел, т.е. массив.
4) Вектор - набор чисел, зависящий от системы координат и преобразующийся при переходе из одной в другую по известному закону. Ковектор - соответственно закон не такой, а такой. Физики, как правило, мне кажется, работают именно с этим определением.
Наверняка и другие определения можно поприводить. Конечно, определения 2 и 4 - это фактически определения "одного и того же", но с обращением внимания на разные стороны понятия.
1. Является ли радиус-вектор вектором в математическом понимании?
Если Вы радиус-вектор выпускаете не из фиксированной точки пространства, а всегда из начала координат нынешней системы координат, то по определению 4 не будет. Ну что ж, обычно это никому не мешает?
(Лингвистика обычно плохо согласуется с логикой точных наук.)
2. Является ли сила гравитационного притяжения ковариантным или контравариантным вектором?
А какая разница? В лагранжевом формализме силы - это производные лагранжиана по координатам, т.е. ковекторы. Но никто Вам не мешает поднять индексы с помощью метрического тензора (т.е. нашего скалярного произведения) - получите векторы. Фактически это одни и те же объекты. Опустив индексы назад, получите исходные ковекторы.
Надеюсь, я не слишком философию тут развёл... 
(Сообщение отредактировал dm 2 июля 2005 3:06)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 июля 2005 4:02 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
dm
Да, вы абсолютно правы. К вашему обстоятельному (не философскому!) ответу трудно что добавить.
Может быть подчеркнуть важность понятия вектора и более общего понятия тензора (вектор - частный случай тензора) в современной физике как инвариантного объекта , т.е. объекта не зависимого от выбора той или другой системы координат.
Понятие тензора и инвариантности зародилось в XIX веке (Гаусс, Риман, Кристоффель). Риччи превратил эти понятия в отдельную математическую дисциплину, назвав ее Абсолютным дифференциальным исчислением (Absolute Differential Calculus). Слово 'абсолютный' означает независимый от координатной системы.
Здесь есть некий парадокс. Хотелось бы сделать паузу и посмотреть на реакцию студентов. Студенты знакомые с определением вектора (см п 2,4 уважаемого dm) сразу скажут: координаты вектора меняются! О какой инвариантности вы говорите?
Вопрос: Что инвариантно в понятии вектора и тензора? Что имел ввиду Риччи говоря об их абсолютности?
(Сообщение отредактировал gvk 3 июля 2005 1:48)
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 2 июля 2005 16:47 | IP
|
|
sms
Удален
|
Выскажу такое мнение-если иметь в виду абсолютно строгое и логически непротиворечивое определение-то, по-моему, определить вектор нельзя, за исключением последовательного аксиоматического подхода: набор вещей с такими-то перечисленными свойствами есть вектор. Иначе надо давать строгие определения следующему: направленный, отрезок, набор, и тд. Не думаю, что это возможно. Таких понятий, кстати, намного больше , чем принято считать уже в начальном курсе. (Дифференциал, мощность,...)
А с точки зрения первоначального обучения-наверное, достаточно знать, что это направленный отрезок и уметь правильно перемножать матрицы, чтобы не путать столбец со строкой. Формализм здесь сразу не только не нужен, но и большой грех.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 июля 2005 20:24 | IP
|
|
dm
Удален
|
sms
...определить вектор нельзя, за исключением последовательного аксиоматического подхода: набор вещей с такими-то перечисленными свойствами есть вектор.
Согласен по отношению не только понятия "вектор", но и любого другого в математике.
Иначе надо давать строгие определения следующему: направленный, отрезок, набор, и тд. Не думаю, что это возможно.
Наверно, Вы преувеличиваете...
В определении 1 из поста направленный отрезок - это просто упорядоченная пара точек аффинного пространства, причем предполагаются выполненными стандартные аксиомы аффинного пространства.
Упорядоченная пара обычно определяется так:
(a,b)={a, {a,b} }.
Аналогично можно определить упорядоченный набор...
Таких понятий, кстати, намного больше , чем принято считать уже в начальном курсе. (Дифференциал, мощность,...)
Дифференциал - это просто линейное отображение L (если существует):
f(x+h)-f(x)=L(x)*h+o(||h||), h->0.
Можность - класс эквивалентности даного множества (из некоторого достаточно широкого семейства множеств, но во избежание противоречий содержащего не все множества - точнее см. аксиоматику) по отношению эквивалентности "быть равномощными". Равномощные множества, отношение, отношение эквивалентности, класс эквивалентности и т.д. формализуются также стандартно...
А с точки зрения первоначального обучения-наверное, достаточно знать, что это направленный отрезок и уметь правильно перемножать матрицы, чтобы не путать столбец со строкой. Формализм здесь сразу не только не нужен, но и большой грех.
Смотря насколько "первоначальное обучение"...
Для школьника - наверно, да.
Но для студента-математика даже 1-го курса грехом будет не показать возможность формализации основных понятий. Иначе студенты могут привыкнуть оперировать понятиями, точного смысла которых они не понимают, и использовать утверждения, точных формулировок которых они привести не в состоянии...
Кроме того, пространство матричных столбец-векторов - это только одна из возможных реализаций конечномерного векторного проостранства.
В дифференциальной геометрии, где касательные векторы к многообразию - это операторы d/dx, d/dy, ... , таким пониманием уже не обойтись.
gvk
...координаты вектора меняются! О какой инвариантности вы говорите?
Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется.
Вопрос: Что инвариантно в понятии вектора и тензора? Что имел ввиду Риччи говоря об их абсолютности?
Трудов Риччи не читал...  Мне кажется, во времена Эйнштейна говорили не об инвариантности, а о ковариантности тензорных уравнений.
Но можно получить и инвариантность - надо тензорное уравнение свернуть с нужным количеством векторов и ковекторов - получим скалярное уравнение, которое инвариантно.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 июля 2005 19:13 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
dm
Статей Риччи не так уж много. Самая первая опубликована в Bulletin des Sciences Maihematiques v. XVI, (1892), ее изложение, отшлифованное и дополненное, - это совместная статья Риччи и Леви-Чивита. Она появилась в 1901 году в Math. Ann. v.54 (доступна в сети на анг. как Hermann R. (ed.) Ricci and Levi-Civita's tensor analysis papers [1975].djvu).
На неё то и ссылался Эйнштейн в первых работах по общей теории относительности (ОТО). Но самое лучшее изложение, с моей точки зрения, это книга-шедевр Леви-Чивиты THE ABSOLUTE DIFFERENTIAL CALCULUS
(не знаю переведена ли она на русский, но на анг. текст в сети). В этой книге есть почти все (вплоть до СТО и ОТО), что нужно для студентов изучающих тензорный анализа, хотя она написана в 1925.
Как показывает опыт, вопрос об инвариантности для студентов не прост. Например, на вопрос: "Инвариантны ли следующие два алгебраических (скалярных) уравнения (разные они или одинаковые):
x^2+y^2-1=0,
x^2+2*a*x+2*b*y+y^2-1+a^2+b^2=0"
большинство студентов отвечают отрицательно и аргументируют примерно так: "Вид этих уравнений -
разный, значит они не инвариантны."
И в общем то они правы, если фразу приведенную вами ("Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется" ) понимать буквально. Часто по виду трудно сказать что одно уравнение
является инвариантным аналогом другого. Между тем, второе получено из первого простым сдвигом системы координат.
Существует определенная техника нахождения простейшего (говорят 'канонического') вида скалярных и тензорных (дифференциальных) уравнений. Часто ее называют "нахождение симметрий данного уравнения".
Вы правы касательно инвариантных свойств вектора. Вектор можно свернуть с любым ковектором и получится скаляр, т.е. инвариантный объект. Но если свернуть его с ковектором к данному вектору, то получится квадрат длины данного вектора, т.е. физически понятная и инвариантная величина характеризующая данный вектор (длина направленного отрезка в любой
системе координат одна и та же).
Да, во времена Эйнштейна много говорили о ковариантности тензорных уравнений, но его первая заслуга в том (об этом уместно
поговорить, т.к. этим летом, ровно 100 лет назад вышла его знаменитая работа "К электродинамике движущихся тел" ), что он показал неинвариантность квадрата вектора элемента длины нашего трехмерного пространства ds^2=dr^2. До этого все
считали что элемент длины направленного отрезка в нашем пространстве является точным инвариантом или, другими словами,
элемент длины dr является вектором.
Оказалось, что инвариантом является другая величина: ds^2=dr^2-c^2*dt^2 где dt можно считать временем прохождения
света от начала до конца отрезка dr, с - скорость света. (В книгах по СТО пишут наоборот ds^2 = c^2*dt^2 - dr^2, но это не меняет сути дела).
Т.е. истинным вектором является величина (dr, cdt) с совершенно невообразимым скалярным произведением (метрикой)
(-,-,-,+).
Являясь сторонником взгляда "Математика это часть физики" (В. Арнольд), хотел задать вопрос студентам-математикам:
Почему говорят о "ковариантности тензорных уравнений", а не о "контравариантности тензорных уравнений"?
Откуда появляется метрики в тензорных уравнениях? ")
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 6 июля 2005 21:22 | IP
|
|
dm
Удален
|
gvk
Получавется, я читал из классиков физики только статьи Эйнштейна...
большинство студентов отвечают отрицательно и аргументируют примерно так: "Вид этих уравнений - разный,
Я неточно выразился. Когда я писал
Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется.
я имел в виду, что существуют инвариантные обозначения, и в них уравнения, естественно, не меняются. Например, уравнения Эйнштейна
R_(mu,nu) - (1/2)*R*g_(mu,nu) = - C*T_(mu,nu)
в числах будут выглядеть по-разному в разных системах координат (системах отсчета). Но существует инвариантная запись
R - (1/2)*R*g = - C*T.
Конечно, это ничто иное, как математический способ записи всего класса уравнений в каждой из систем координат. Правда, это не очень удобный для конкретных вычислений способ записи...
Для приведенных Вами квадрик тоже есть инвариантные обозначения - векторные. В них можно видеть, что это по сути одна и та же кривая в сдвинутых относительно друг друга декартовых системах координат.
Являясь сторонником взгляда "Математика это часть физики" (В. Арнольд)
Пожалуй, комментировать взгляды В.И.А. особо не буду...
Очень многое из его публицистики осмысленно, хотя он и склонен к некоторому эпатажу...
Имхо, тезис "математика - одна из естественных наук" следует понимать не как то, что всерьез у математики и физики общий объект исследования или методы, или цели, или что они должны быть одинаковыми, а как то, что в математических исследованиях, как правило, очень вредно полностью забывать о мотивировках постановок проблем...
Почему говорят о "ковариантности тензорных уравнений", а не о "контравариантности тензорных уравнений"?
Думаю, в данном контексте применительно к уравнениям это одно и то же...
Откуда появляется метрики в тензорных уравнениях? ")
Не вполне понимаю вопрос...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 июля 2005 22:55 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
dm
Я неточно выразился. Когда я писал
Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется.
Ну вы же не студент, так что имеете полное право ошибаться , как, впрочем, и я.
Пожалуй, комментировать взгляды В.И.А. особо не буду... Очень многое из его публицистики осмысленно, хотя он и склонен к некоторому эпатажу...
Конечно, форма выражения взглядов несколько 'экстровагантная', но по-существу - правильная. Можно сказать и по-другому: Математика - наука экспериментальная, в том смысле что она имеет в своем основании реальность, а не просто чисто умственные конструкции.
В подтверждение продолжим про вектора. Действительно, в контексте всех рассмотренных примеров говорить о "ковариантности тензорных уравнений", или "контравариантности тензорных уравнений" - одно и тоже. И это по той простой причине, что везде подразумевается наличие метрического тензора (его еще называют - фундаментальным), с помощью которого можно поднять и опустить индексы, т.е. превратить вектор из ковариантного в контравариантный. Но откуда берется метрический тензор? (Это и есть последний вопрос в моем предыдущем посте.)
И вот здесь, если мы обратимся к линейным пространствам, как они определены были в математике после 20-х годов прошлого века, то обнаружим, что векторные пространства вообще не имеют никаких инструментов для измерения чего либо (в чистом векторном пространстве не определено скалярное произведение!). Это есть результат открытия квантовой механики, где длины и импульсы не могут быть одновременно точно измерены. Вообразить себе пространства без метрики очень трудно. Именно поэтому не понятно что такое сопряженное пространсво (предпочитаю и рекомендую использовать термин - дуальное), если нет метрики.
Иначе говоря, наличие той или иной метрики в векторном пространстве зависит от эксперимента. Она (метрика) не вытекает и не может вытекать из каких либо математических аксиом, а есть отражение нашей реальности. Этому было подтверждение в открытии СТО, ОТО и квантовой механики.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 7 июля 2005 18:36 | IP
|
|
|
Форум
Дифференциальная геометрия и тензорный анализ
