Sergei
Новичок
|
    
Всем добрый день. Уважаемые, не сочтите за труд помочь...
В настоящее время изучаю помехоустойчивые, столкнулся с некоторыми трудностями...
Есть такая теорема, которая гласит, что если k-мерное подпространство n-мерного пространства имеет ортогональное дополнение, то размерность этого ортогонального дополнения равна n-k.
В книге Блейхута есть доказательство это теоремы, которое я выложил тут: внешняя ссылка удалена
Мне непонятно абсолютно - откуда автор взял, что вектор v из подпространства ортогонального дополнения может быть записан как произведение матрицы G на разложение вектора в базисных векторах n-мерного пространства: v=GbT.
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: июль 2009 | Отправлено: 3 июля 2009 14:24 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Автор и не утверждает этого. Он говорит о том, что любой вектор из пространства столбцов есть линейная комбинация этих столбцов.
Обратите внимание на то, что после матричного уравнения
Gv^T = 0 (которое представляет собой линейную однородную систему уравнений) оказательство можно было закончить одним предложением. Размерность пространства решений линейной однородной системы равно n - rankG = n-k.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 3 июля 2009 16:03 | IP
|
|
Sergei
Новичок
|
Спасибо за ответ, но я сейчас не об уравнении GvT=0 (с ним-то как раз все понятно), а про уравнение v=GbT (см. чуть ниже в документе), где (дословно) "вектор b представляет собой некоторую линейную комбинацию базисных векторов".
P.S. про доказательство с рангами мне тоже известно, я хочу понять именно указанное доказательство.
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: июль 2009 | Отправлено: 3 июля 2009 16:45 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
v=GbT - это не уравнение. Это просто представление любого вектора из пространства, порождённого столбцами матрицы G. То что вектор b есть линейная комбинация базисных - никто не спорит.
P.S. Для меня непривычно только запись векторов строкой.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 3 июля 2009 17:35 | IP
|
|
Sergei
Новичок
|
Простите, а каких базисных? Из пространства столбцов матрицы G или из n-мерного пространства, которому принадлежат оба подпространства?
Про запись, я думаю, тут дело в том, что нормальной формой зиписи вектора негласно считается матрица-строка, а для того, чтобы при умножении получилась линейная комбинация столбцов G и коэффициентов разложения по базису матрицу b транспонируют.
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: июль 2009 | Отправлено: 3 июля 2009 17:56 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Из n-мерного пространства.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 3 июля 2009 17:59 | IP
|
|
Sergei
Новичок
|
А мне казалось - раз он принадлежит пространству столбцов G, то он должен быть линейной комбинацией столбцов матрицы G... И как вообще его связать его базисом n-мерного пространства?
По-моему, справедливо равенство:
v=g1b1+g2b2+...+gnbn,
где g1, g2, ..., gn - столбцы G, а b1, b2, ..., bn - коэффициенты линейной комбинации.
А при чем тут тогда вектор n-мерного пространства? Вот это и есть главная загвоздка... Если не трудно, поясните пож.
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: июль 2009 | Отправлено: 3 июля 2009 18:26 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Вы совершенно правы: b1, b2, ..., bn - коэффициенты линейной комбинации и одновременно вектор из n-мерного пространства.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 3 июля 2009 19:24 | IP
|
|
Sergei
Новичок
|
Тогда абсолютно непонятно следующее: если столбцы G - векторы, а b - также вектор, то их скалярное произведение должно давать скалярное значение. А здесь почему-то вектор v получается...
Линейная комбинация - это по определению сумма произведений векторов на скаляры. Поэтому матрица b должна быть набором скалярных значений. Как это объяснить?
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: июль 2009 | Отправлено: 3 июля 2009 20:44 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
b - строка (вектор), состоит из b1, b2, ..., bn .
Недаром там стоит bT - транспонированная строка, т.е столбец. Когда умножаете GbT, то получаете v=g1b1+g2b2+...+gnbn, где g1, g2, ..., gn - столбцы G.
Возможно, Вам как и мне непривычна запись векторов строкой.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 3 июля 2009 21:04 | IP
|
|
|
Форум
Размерность ортогонального дополнения
