Guest
Новичок
|
   
У меня тут 2 задачи по линейке. Двойственные. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЬ!!!
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 10 июня 2008 20:18 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Где Ваши задачи?
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 11 июня 2008 17:47 | IP
|
|
dantes
Новичок
|
Пожалуйста помогите решить задачу. В евклидовом пространстве размерности 3 дана матрица Грама 3*3 некоторого базиса(конкретные числа, просто не пишу). Найти ортонормированный базис. Как решать, скажите алгоритм плиз.
|
Всего сообщений: 29 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 17 июня 2008 17:38 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Координаты векторов ортонормированного базиса в "старом" базисе это собственные векторы матрицы Грамма нормированные так, что сумма квадратов их координат, умноженная на соответствующее собственное число матрицы Грамма, рана единице.
К сожалению, трудно без формул.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 июня 2008 11:08 | IP
|
|
marika
Новичок
|
Люди! Помогите! Кто- нить! Решите задачу по линейке!
пусть G=Z*Z, H=3Z*Z, Является ли H нормальной подгруппой G, идеалом G относит.покомпонентных операций сложения и умножения, найти G/H.Уверенна, это совсем не сложно для знающих людей!
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 26 июня 2008 13:47 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
помогите решить.
1элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
1.даны четыре вектора a (a1.a2.a3)b(b1.b2.b3) c(c1.c2.c3) и d(d1.d2.d3) в некой базизе. показать, что векторы а,б,с образуют базиз, и наити координаты вектора д в этом базизе.
а= (0.5.1)б=(3.2.-1)с=(-1.1.0)д=(-15.5.6)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 окт. 2008 15:50 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
стандартная задача, что именно не получается?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 окт. 2008 19:04 | IP
|
|
angel77
Новичок
|
Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующие задания:
1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
L1 = < a1, a2, a3 > и L2 = < b1, b2, b3 > , если :
a1 = (1, 2, 1) T b1= (2, 3, -1) T
a2 = (1, 1, -1) T b2 = (1, 2, 2) T
a3 = (1, 3, 3) T b3 = (1, 1, - 3) T
2). Разложить вектор X на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a1, a2, a3 , а другой ортогонален к этому подпространству.
X = (-3, 5, 9, 3) T
a1 = (1, 1, 1, 1) T a2 = (2, - 1, 1, 1) T a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T
3) Если линейный оператор фи; , действующий в пространстве L n , имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2, … en, соответствующих собственным числам лямда1, лямда2, …..лямда n, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид с диагональными элементами, равными собственным числам.
Для заданной матрицы оператора найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.
матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1
4). Линейный оператор фи переводит векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.
Найти матрицу оператора фи в том же базисе, в котором заданы координатами все векторы:
a1 = (1, 2, -3) Ta2 = (0, 1, 2) T a3 = (1, 0, 4) T
b1= (1, 1, 1) T b2 = (1, 2, 1) T b3 = (0, 1, 1) T
5). Преобразовать к каноническому виду ортогональным преобразованием квадратичную форму и выписать преобразование координат
x12 + 2x22 + 3x32 - 4x1x2 - 4x2x3
Заранее спасибо за любую помощь
Я читала учебники по этой теме, но так ничего и не поняла, вот если бы был примерчик...
Например, первое задание:
линейные подпространства L1 и L2 и нужно найти L1 пересечение l2 базис =e размерность m
L1+L2 базис (e f g) размерность (m+l+k)
но я все равно недопонимаю как это сделать
(Сообщение отредактировал angel77 7 окт. 2008 11:00)
|
Всего сообщений: 37 | Присоединился: март 2008 | Отправлено: 7 окт. 2008 10:58 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Т - это насколько я понимаю операция транспонирования.
1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
L1 = < a1, a2, a3 > и L2 = < b1, b2, b3 > , если :
a1 = (1, 2, 1) T b1= (2, 3, -1) T
a2 = (1, 1, -1) T b2 = (1, 2, 2) T
a3 = (1, 3, 3) T b3 = (1, 1, - 3) T
Из трёх векторов a1, a2, a3 только два из них являются линейно независимыми (а1 есть сумма а2 и а3), следовательно размерность L1 равна двум. Аналогично с L2 - все вектора b1, b2, b3 - лин. независимы, следовательно размерность пространства = 3.
Базисом L1 могут быть любые два вектора из а1, а2, а3.
Базисом L2 может быть выбран базис из b1, b2, b3.
Суммой L1 и L2 будет являтся L2 т.к. L1 содержится в нём.
Пересечением L1 и L2 будет являтся L1.
2). Разложить вектор X на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a1, a2, a3 , а другой ортогонален к этому подпространству.
X = (-3, 5, 9, 3) T
a1 = (1, 1, 1, 1) T a2 = (2, - 1, 1, 1) T a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T
Разложим X на cумму
X = X1 + X2, причём
X1 = x1*k1 + x2*k2 + x3*k3
(разложение вектора X1 по базису подпространства),
X2*a1 = X2*a2 = X2*a3 = 0
(ортогональность вектора X2 каждому из базисных векторов подпространства).
Неизвестными будем считать компоненты вектора X2. Тогда последние равенства можно расписать на систему 7 линейных уравнений, где неизвестными будут 4 компоненты вектора X2 и три величины k1, k2, k3.
Решив эту систему Вы найдёте искомые координаты вектора X2; координаты X1 найдутся как составляющие вектора (X-X2).
3) Если линейный оператор фи; , действующий в пространстве L n , имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2, … en, соответствующих собственным числам лямда1, лямда2, …..лямда n, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид с диагональными элементами, равными собственным числам.
Для заданной матрицы оператора найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.
матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1
Тут Вы сами уже всё написали. Нужно найти собственные значения и собственные вектора записанной матрицы. Совокупность собственных векторов образует базис (если одному из собственных значений соотв. несколько соб. векторов, то в качестве базисного вектора берём их линейную комбинацию).
В этом базисе матрица будет иметь диагональный вид, на диагональные элементы проставляем найденные собственные значения.
4). Линейный оператор фи переводит векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.
Найти матрицу оператора фи в том же базисе, в котором заданы координатами все векторы:
a1 = (1, 2, -3) Ta2 = (0, 1, 2) T a3 = (1, 0, 4) T
b1= (1, 1, 1) T b2 = (1, 2, 1) T b3 = (0, 1, 1) T
Задаём матрицу оператора фи размера 3 на 3 (обозначим через А).
Требуется определить её элементы (9 неизвестных).
Для их определения нужно разрешить систему из 9 линейных уравнений
b1 = А*а1, b2 = А*а2, b3 = А*а3.
(Каждое матричное равенство соответствует трём уравнениям.)
По сути нужно всё это аккуратно расписать в виде одной системы, а далее решить стандартно.
С позиции вычислений это конечно очень громозко, зато сам алгоритм вычисления довольно простой.
5). Преобразовать к каноническому виду ортогональным преобразованием квадратичную форму и выписать преобразование координат
x12 + 2x22 + 3x32 - 4x1x2 - 4x2x3
Записываете матрицу квадратичной формы. Для Вашей она будет такой
1 -2 0
-2 2 -2
0 -2 3
Эту матрицу следует привести к диагональному виду.
Для этого находим собственные вектора этой матрицы, нормируем их, а далее каждый из найденных собственных вектор-столбцов записываем в одну матрицу (чтобы собственные вектора-столбцы были стоблцами этой матрицы) - эта матрица будет искомой матрицей перехода.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 8 окт. 2008 4:40 | IP
|
|
angel77
Новичок
|
Значит, в первом задании базис пересечения a=(a1,a2), а размерность 2, базис суммы b=(b1,b2,b3), а размерность 3?
(Сообщение отредактировал angel77 13 окт. 2008 9:36)
|
Всего сообщений: 37 | Присоединился: март 2008 | Отправлено: 8 окт. 2008 13:56 | IP
|
|
|
Форум
Задачи по линейной алгебре
