dm
Удален
|
    
sms
...определить вектор нельзя, за исключением последовательного аксиоматического подхода: набор вещей с такими-то перечисленными свойствами есть вектор.
Согласен по отношению не только понятия "вектор", но и любого другого в математике. 
Иначе надо давать строгие определения следующему: направленный, отрезок, набор, и тд. Не думаю, что это возможно.
Наверно, Вы преувеличиваете...
В определении 1 из поста направленный отрезок - это просто упорядоченная пара точек аффинного пространства, причем предполагаются выполненными стандартные аксиомы аффинного пространства.
Упорядоченная пара обычно определяется так:
(a,b)={a, {a,b} }.
Аналогично можно определить упорядоченный набор...
Таких понятий, кстати, намного больше , чем принято считать уже в начальном курсе. (Дифференциал, мощность,...)
Дифференциал - это просто линейное отображение L (если существует):
f(x+h)-f(x)=L(x)*h+o(||h||), h->0.
Можность - класс эквивалентности даного множества (из некоторого достаточно широкого семейства множеств, но во избежание противоречий содержащего не все множества - точнее см. аксиоматику) по отношению эквивалентности "быть равномощными". Равномощные множества, отношение, отношение эквивалентности, класс эквивалентности и т.д. формализуются также стандартно...
А с точки зрения первоначального обучения-наверное, достаточно знать, что это направленный отрезок и уметь правильно перемножать матрицы, чтобы не путать столбец со строкой. Формализм здесь сразу не только не нужен, но и большой грех.
Смотря насколько "первоначальное обучение"...
Для школьника - наверно, да.
Но для студента-математика даже 1-го курса грехом будет не показать возможность формализации основных понятий. Иначе студенты могут привыкнуть оперировать понятиями, точного смысла которых они не понимают, и использовать утверждения, точных формулировок которых они привести не в состоянии...
Кроме того, пространство матричных столбец-векторов - это только одна из возможных реализаций конечномерного векторного проостранства.
В дифференциальной геометрии, где касательные векторы к многообразию - это операторы d/dx, d/dy, ... , таким пониманием уже не обойтись.
gvk
...координаты вектора меняются! О какой инвариантности вы говорите?
Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется.
Вопрос: Что инвариантно в понятии вектора и тензора? Что имел ввиду Риччи говоря об их абсолютности?
Трудов Риччи не читал...  Мне кажется, во времена Эйнштейна говорили не об инвариантности, а о ковариантности тензорных уравнений.
Но можно получить и инвариантность - надо тензорное уравнение свернуть с нужным количеством векторов и ковекторов - получим скалярное уравнение, которое инвариантно.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 июля 2005 19:13 | IP
|
|
gvk 
Модератор
|
dm
Статей Риччи не так уж много. Самая первая опубликована в Bulletin des Sciences Maihematiques v. XVI, (1892), ее изложение, отшлифованное и дополненное, - это совместная статья Риччи и Леви-Чивита. Она появилась в 1901 году в Math. Ann. v.54 (доступна в сети на анг. как Hermann R. (ed.) Ricci and Levi-Civita's tensor analysis papers [1975].djvu).
На неё то и ссылался Эйнштейн в первых работах по общей теории относительности (ОТО). Но самое лучшее изложение, с моей точки зрения, это книга-шедевр Леви-Чивиты THE ABSOLUTE DIFFERENTIAL CALCULUS
(не знаю переведена ли она на русский, но на анг. текст в сети). В этой книге есть почти все (вплоть до СТО и ОТО), что нужно для студентов изучающих тензорный анализа, хотя она написана в 1925.
Как показывает опыт, вопрос об инвариантности для студентов не прост. Например, на вопрос: "Инвариантны ли следующие два алгебраических (скалярных) уравнения (разные они или одинаковые):
x^2+y^2-1=0,
x^2+2*a*x+2*b*y+y^2-1+a^2+b^2=0"
большинство студентов отвечают отрицательно и аргументируют примерно так: "Вид этих уравнений -
разный, значит они не инвариантны."
И в общем то они правы, если фразу приведенную вами ("Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется" ) понимать буквально. Часто по виду трудно сказать что одно уравнение
является инвариантным аналогом другого. Между тем, второе получено из первого простым сдвигом системы координат.
Существует определенная техника нахождения простейшего (говорят 'канонического') вида скалярных и тензорных (дифференциальных) уравнений. Часто ее называют "нахождение симметрий данного уравнения".
Вы правы касательно инвариантных свойств вектора. Вектор можно свернуть с любым ковектором и получится скаляр, т.е. инвариантный объект. Но если свернуть его с ковектором к данному вектору, то получится квадрат длины данного вектора, т.е. физически понятная и инвариантная величина характеризующая данный вектор (длина направленного отрезка в любой
системе координат одна и та же).
Да, во времена Эйнштейна много говорили о ковариантности тензорных уравнений, но его первая заслуга в том (об этом уместно
поговорить, т.к. этим летом, ровно 100 лет назад вышла его знаменитая работа "К электродинамике движущихся тел" ), что он показал неинвариантность квадрата вектора элемента длины нашего трехмерного пространства ds^2=dr^2. До этого все
считали что элемент длины направленного отрезка в нашем пространстве является точным инвариантом или, другими словами,
элемент длины dr является вектором.
Оказалось, что инвариантом является другая величина: ds^2=dr^2-c^2*dt^2 где dt можно считать временем прохождения
света от начала до конца отрезка dr, с - скорость света. (В книгах по СТО пишут наоборот ds^2 = c^2*dt^2 - dr^2, но это не меняет сути дела).
Т.е. истинным вектором является величина (dr, cdt) с совершенно невообразимым скалярным произведением (метрикой)
(-,-,-,+).
Являясь сторонником взгляда "Математика это часть физики" (В. Арнольд), хотел задать вопрос студентам-математикам:
Почему говорят о "ковариантности тензорных уравнений", а не о "контравариантности тензорных уравнений"?
Откуда появляется метрики в тензорных уравнениях? ")
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 6 июля 2005 21:22 | IP
|
|
dm
Удален
|
gvk
Получавется, я читал из классиков физики только статьи Эйнштейна...
большинство студентов отвечают отрицательно и аргументируют примерно так: "Вид этих уравнений - разный,
Я неточно выразился. Когда я писал
Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется.
я имел в виду, что существуют инвариантные обозначения, и в них уравнения, естественно, не меняются. Например, уравнения Эйнштейна
R_(mu,nu) - (1/2)*R*g_(mu,nu) = - C*T_(mu,nu)
в числах будут выглядеть по-разному в разных системах координат (системах отсчета). Но существует инвариантная запись
R - (1/2)*R*g = - C*T.
Конечно, это ничто иное, как математический способ записи всего класса уравнений в каждой из систем координат. Правда, это не очень удобный для конкретных вычислений способ записи...
Для приведенных Вами квадрик тоже есть инвариантные обозначения - векторные. В них можно видеть, что это по сути одна и та же кривая в сдвинутых относительно друг друга декартовых системах координат.
Являясь сторонником взгляда "Математика это часть физики" (В. Арнольд)
Пожалуй, комментировать взгляды В.И.А. особо не буду...
Очень многое из его публицистики осмысленно, хотя он и склонен к некоторому эпатажу...
Имхо, тезис "математика - одна из естественных наук" следует понимать не как то, что всерьез у математики и физики общий объект исследования или методы, или цели, или что они должны быть одинаковыми, а как то, что в математических исследованиях, как правило, очень вредно полностью забывать о мотивировках постановок проблем...
Почему говорят о "ковариантности тензорных уравнений", а не о "контравариантности тензорных уравнений"?
Думаю, в данном контексте применительно к уравнениям это одно и то же...
Откуда появляется метрики в тензорных уравнениях? ")
Не вполне понимаю вопрос...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 июля 2005 22:55 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
dm
Я неточно выразился. Когда я писал
Числа меняются, но вид скалярного, векторного, тензорного уравнения в таких обозначениях не меняется.
Ну вы же не студент, так что имеете полное право ошибаться , как, впрочем, и я.
Пожалуй, комментировать взгляды В.И.А. особо не буду... Очень многое из его публицистики осмысленно, хотя он и склонен к некоторому эпатажу...
Конечно, форма выражения взглядов несколько 'экстровагантная', но по-существу - правильная. Можно сказать и по-другому: Математика - наука экспериментальная, в том смысле что она имеет в своем основании реальность, а не просто чисто умственные конструкции.
В подтверждение продолжим про вектора. Действительно, в контексте всех рассмотренных примеров говорить о "ковариантности тензорных уравнений", или "контравариантности тензорных уравнений" - одно и тоже. И это по той простой причине, что везде подразумевается наличие метрического тензора (его еще называют - фундаментальным), с помощью которого можно поднять и опустить индексы, т.е. превратить вектор из ковариантного в контравариантный. Но откуда берется метрический тензор? (Это и есть последний вопрос в моем предыдущем посте.)
И вот здесь, если мы обратимся к линейным пространствам, как они определены были в математике после 20-х годов прошлого века, то обнаружим, что векторные пространства вообще не имеют никаких инструментов для измерения чего либо (в чистом векторном пространстве не определено скалярное произведение!). Это есть результат открытия квантовой механики, где длины и импульсы не могут быть одновременно точно измерены. Вообразить себе пространства без метрики очень трудно. Именно поэтому не понятно что такое сопряженное пространсво (предпочитаю и рекомендую использовать термин - дуальное), если нет метрики.
Иначе говоря, наличие той или иной метрики в векторном пространстве зависит от эксперимента. Она (метрика) не вытекает и не может вытекать из каких либо математических аксиом, а есть отражение нашей реальности. Этому было подтверждение в открытии СТО, ОТО и квантовой механики.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 7 июля 2005 18:36 | IP
|
|
dm
Удален
|
gvk
Можно сказать и по-другому: Математика - наука экспериментальная, в том смысле что она имеет в своем основании реальность, а не просто чисто умственные конструкции.
Всё зависит от того, что такое "реальность"...
И не составляют ли "просто чисто умственные конструкции" часть реальности в том или ином смысле... Кроме того, то, что на сегодняшний день воспринимается как "просто чисто умственные конструкции" может завтра стать частью физической реальности.
Я имел в виду, что у математики и физики различные (хотя и часто пересекающиеся или соприкасающиеся) объекты изучения, методы исследования и цели. И что для математики губительно как полностью игнорировать физические мотивировки и интерпретации, так и двигаться вперед, всё время догматически озираясь на них. Во всем нужна золотая середина...
Но откуда берется метрический тензор? (Это и есть последний вопрос в моем предыдущем посте.)
Естественно, это скорее физический вопрос, чем математический.
векторные пространства вообще не имеют никаких инструментов для измерения чего либо (в чистом векторном пространстве не определено скалярное произведение!).
Конечно.
Вообразить себе пространства без метрики очень трудно.
Если бы это было действительно слишком сложно, мы не смогли бы успешно работать в линейных топологических пространствах, что в очень многих математических исследованиях на сегодняшний день ничуть не менее важны, чем нормированные пространства или пространства со скалярным произведением.
Именно поэтому не понятно что такое сопряженное пространсво (предпочитаю и рекомендую использовать термин - дуальное), если нет метрики.
Ну почему же? Сопряженное пространство - это пространство линейных функционалов на исходном пространстве. Пока что метрика ни при чем. Просто без скалярного произведения нет способа (естественным образом) отождествить векторы с линейными функционалами.
(Сообщение отредактировал dm 8 июля 2005 3:39)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 июля 2005 19:33 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Вообще говоря, в первую очередь мне надо было бы попытаться подумать о самодвойственности БЧХ кодов, но жара, книг под рукой нет и лень.
Я понимаю, что я пишу немного не в тему.
Об отношениях математиков и "естественников", использующих или развивающих математику.
Хотел бы отметить некоторую разницу в подходах математиков и физиков-теоретиков к математическим вопросам.
Статьи большинства математиков по математике можно читать, не опасаясь, что они ошиблись. Математики делают меньше, но лучше.
Физики-теоретики, начав заниматься математикой, часто излагают очень свежие идеи, но они иногда так спешат удивить мир своими открытиями, что часто перед отправкой в печать забывают элементарно просмотреть статью на предмет описок.
Они этого не боятся. Ну и что, ведь это же гипотеза.
Математики как бы вторичны по сравнению с физиками, но с другой стороны они являются как бы их "чистильщиками".
Приведу пример. Немного выше говорилось о пространстве Минковского. Минковский преподавал Эйнштейну математику, а позже немного "почистил" математическую часть теории своего ученика-"не-отличника".
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 июля 2005 20:53 | IP
|
|
dm
Удален
|
SCERB
мне надо было бы попытаться подумать о самодвойственности БЧХ кодов...
Боуз, Чоудхури и Хоквингем ждут?...  (внешняя ссылка удалена...)
Я понимаю, что я пишу немного не в тему.
Ничего... Думаю, уважаемый gvk нас с Вами с нашим философски-методическим  'ом быстро вернет к векторам-тензорам...
Хотел бы отметить некоторую разницу в подходах математиков и физиков-теоретиков к математическим вопросам.
Было бы странно, если бы их не было... (как и в вопросах, что есть реальность и т.д. и т.п.)
Статьи большинства математиков по математике можно читать, не опасаясь, что они ошиблись.
Это Вам просто до сих пор везло... 
Математики делают меньше, но лучше.
Я думаю, что попытки математиков, которые до этого никогда этого не далали, заниматься физикой на первых порах ничуть не менее забавны, чем первые попытки физиков начать профессионально заниматься математикой...
Математики как бы вторичны по сравнению с физиками, но с другой стороны они являются как бы их "чистильщиками".
Иногда да. Но думать, что так обстоят дела всегда, имхо, было бы слишком большим упрощением...
А вообще сейчас для развития математики важна взаимосвязь не только с физическими, но и "компьютерными" науками...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 июля 2005 4:07 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
я немного опоздал присоединиться, но с удовольствием послежу за дискусией
dm
А как только появляется скалярное произведение, это уже можно делать
Въ имеете в виду теорему Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве?т.к. именно так у нас будет взаимооднозначное соответствие между векторами
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 июля 2005 20:03 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
dm
Сопряженное пространство - это пространство линейных функционалов на исходном пространстве. Пока что метрика ни при чем. Просто без скалярного произведения нет способа (естественным образом) отождествить векторы с линейными функционалами.
Имел ввиду не определение, а геометрическое представление сопряженного пространства.
Это правильное обьяснение для студентов-математиков. Для студентов-физиков, желающих представить себе геометрически дуальное пространство, такое объяснение не проходит. Надо как- то по другому.
Они говорят: Вот есть многообразие (кривая, поверхность, etc.). Тангенциальная плоскость (линия) в какой-то точке - это пространство векторов. Мы не понимаем ни форм, ни функционалов. Нарисуйте мне пространство ковекторов.
Как вы поступите?
На счет соотношения математики и естественных наук - важно только что они друг другу нужны (все остальное ненужная философия ).
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 8 июля 2005 22:05 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Глубокоуважаемый gvk,
мне кажется, студенты должны понимать, что не везде в математике есть "царские" пути. Даже студенты-физики, которые изучают математику.
Ну например, я знаю математиков-геометров, которые умеют "ползать" по 4-х мерным многобразиям в пространстве Лобачевского. Но они годы потратили, чтобы научиться.
Кстати, а как можно представить себе электрон? Он частица или волна (волновой пакет)? Или более мне непонятный вопрос. А как представить спин, ну, например, того же электрона?
Меня учили так. Электрон обладает спином. И все.
Мне было бы очень интересно услышать Ваше мнение.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 15:38 | IP
|
|
|
Форум
Дифференциальная геометрия и тензорный анализ
