gvk 
Модератор
|
    
По поводу терминов интересно отметить следующее. Термин вектор (и скаляр) был впервые введен Вильямом Гамильтоном в 1844 году в той же самой работе где он развивает идею кватернионов (чисел обобщающих понятие комплексного числа). Вот что он пишет
On account of the facility with which this so called imaginary expression, or square root of a negative quantity, is constructed by a right line having direction in space, and having x, y, z for its three rectangular axes, he has been induced to call the trinomial expression itself, as well as the line which it represents, a VECTOR. A quaternion may thus be said to consist generally of a real part and a vector. The fixing a special attention on this last part, or element, of a quaternion, by giving it a special name, and denoting it in many calculations by a single and special sign, appears to the author to have been an improvement in his method of dealing with the subject: although the general notion of treating the constituents of the imaginary part as coordinates had occurred to him in his first researches.
и далее
It is, however, a peculiarity of the calculus of quaternions, at least as lately modified by the author, and one which seems to him important, that it selects no one direction in space as eminent above another, but treats them as all equally related to that extra-spacial, or simply SCALAR direction, which has been recently called "Forward."
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 24 июля 2005 17:08 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Ещё немного о мощности.
Вспоминаю такую историю: когда я был студентом, один очень умный преподаватель (реально, без ехидства) читал нам спецкурс по тфдп. Механически говорит, думает про свое. Получилось: мощность есть то общее , что имеют множества равной мощности. В этот момент он очнулся, рассмеялся и сказал-ребята, простите, бред конечно, мощность-это первичное неопределяемое понятие.
Чуть серьёзней. Мне кажется, что есть первичные неопределяемые понятия (это далеко не только те три которые честно объявляются первичными: число, множество, отображение, и других таких немало), но для которых легко можно определить, что два объекта связаны этим понятием. Я студентам привожу такой сначала несерьёзный пример: не знаю, что такое любовь и определить ни в коем случае не берусь (для этого был словарь марксистско-ленинской философии, там определяли), но каждому понятно, что Вася любит Машу с первой парты, то есть они связаны этим понятием.
Не знаю, что такое мощность, но легко определить, когда множества равномощны, или одно имеет большую мощность.
Думаю, что в рамках стандартного курса нельзя строго определить дифференциал (до введения дифференциальных форм), но легко можно частное дифференциалов-производную.
Вот такая выработалась точка зрения, возможно и не самая лучшая, но достаточно практичная.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 25 июля 2005 21:35 | IP
|
|
sms
Удален
|
предыдущий был мой пост, извините.
Сабж его стал обсуждение общих математических понятий-так ведь?
Скаляр-это число, а не вектор (там где можно спутать и есть и те и те)- это недостаточная точка зрения?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 июля 2005 21:41 | IP
|
|
dm
Удален
|
sms
Получилось: мощность есть то общее , что имеют множества равной мощности.
Не знаю, что такое мощность, но легко определить, когда множества равномощны, или одно имеет большую мощность.
Мне кажется, что я уже ответил в своем посте, что при аккуратной формализации замкнутого круга не возникает.
Мне кажется, что есть первичные неопределяемые понятия
Есть, конечно. 
это далеко не только те три которые честно объявляются первичными: число, множество, отображение
Можно выбирать их первичными, а можно число и отображение определять через множество.
Думаю, что в рамках стандартного курса нельзя строго определить дифференциал (до введения дифференциальных форм)
А зачем дифференциальные формы? Дифференциал - это линейное отображение, такое что ... и т.д.
Вот такая выработалась точка зрения, возможно и не самая лучшая, но достаточно практичная.
Этот подходод приемлем для студентов-инженеров, во многих, наверно, случаях для студентов-физиков. Но для студентов-математиков было бы грехом со стороны лектора не показать хотя бы возможность формализации. Иначе:
Цитата:
студенты могут привыкнуть оперировать понятиями, точного смысла которых они не понимают, и использовать утверждения, точных формулировок которых они привести не в состоянии...
Скаляр-это число, а не вектор (там где можно спутать и есть и те и те)- это недостаточная точка зрения?
В некоторых случаях недостаточная. Например, координата вектора - число, но не скаляр. Смешанное произведение трех векторов - число, но не скаляр (а псевдоскаляр).
(Сообщение отредактировал dm 26 июля 2005 1:16)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 июля 2005 2:14 | IP
|
|
sms
Удален
|
А частное дифференциалов-это один линейный оператор поделить на другой линейный оператор?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 июля 2005 13:28 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Цитата: sms написал 26 июля 2005 6:41
предыдущий был мой пост, извините.
Сабж его стал обсуждение общих математических понятий-так ведь?
Скаляр-это число, а не вектор (там где можно спутать и есть и те и те)- это недостаточная точка зрения?
Нет, предмет обсуждения это вектора, скаляры и тензоры. Но коль скоро речь пошла о множествах (sets), то должен отметить, что тот-же Гамильтон стал впервые использовать термин 'set', правда в несколько другом смысле, чем позднее Кантор. Гамильтон называл множеством (set) то, что мы сейчас называем набором n- чисел ("n-tuple") с определенными свойствами, или просто говоря вектором. Термин "множество" ("set") он стал использовать в книге Lectures on Quaternions вышедшей в 1853 в Лондоне. НО (и dm правильно это заметил (!)), понятие "скаляр" или "вектор" не сводится к понятию числа или набора чисел. Здесь нужны еще определенные свойства преобразований системы координат. А система координат, как Вы понимаете, это возможность описывать наш мир с помощью чисел. Таким образом "скаляр", "вектор", "тензор" - это математические понятия позволяющие описывать реальный мир.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 28 июля 2005 18:57 | IP
|
|
dm
Удален
|
sms
Цитата: sms написал 28 июля 2005 12:28
А частное дифференциалов-это один линейный оператор поделить на другой линейный оператор?
В одномерном случае (с некоторой вольностью) можно и так сказать. (Линейный оператор -дифференциал поделить на линейный оператор - единичный оператор. Поскольку векторы сейчас - это числа, то аргументы сокращаются. Лол.)
В многомерном случае тоже можно аналогичное замутить, если очень хочется. (Произведение матрицы на вектор "поделить" на вектор, чтобы осталась голая матрица.) Хотя это и достаточно экзотический способ изъясняться.
В общем случае, мне кажется, о производной не говорят. Или говорят в том же смысле, что и о дифференциале, т.е. как о линейном операторе. Так называемая сильная производная (т.е. производная Фреше в отличие от слабой производной, т.е. производной Гато).
Вообще, я говорил к тому, что о дифференциале с достаточной степенью строгости можно говорить и до введения внешней алгебры дифференциальных форм на многообразии.
(Сообщение отредактировал dm 28 июля 2005 19:45)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 июля 2005 20:44 | IP
|
|
sms
Удален
|
Если дифференциал-это линейный оператор, то из какого пространства в какое он действует? Чем является?
Кстати, мысль, что дифф нельзя определить строго в рамках обычного студенческого курса, не мне принадлежит, а Лузину.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 июля 2005 20:58 | IP
|
|
sms
Удален
|
Сейчас читаю книгу, которая считается классикой анализа.
Roger Webster. Convexity. 1994.
На первой странице написано:
The word scalar is used as a synonym for real number.
Книгу можно в интернете найти.
Высказанная здесь другая точка зрения мне знакома и нисколько не раздражает, но видно не является пока общепринятой, и слава богу. И выдавать её за такую не нужно.
Можно и другие примеры:
Садовничий, с.72. Скаляр-элемент поля. (Для числовых полей значит просто число).
Мусхелишвили-(общепризнанный лучший по подробности и аккуратности учебник аналитической геометрии ) с.23: под скаляром мы будем подразумевать число...
Наверное, в достаточно узком сообществе алгебраистов есть установившаяся своя более тщательная и изощрённая версия определения скаляра. Наверное, она там нужна и полезна-не мне судить, я современную алгебру плохо знаю, к огромному сожалению. Но она не является общепринятой среди большинства работающих математиков-только и всего.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 июля 2005 21:25 | IP
|
|
sms
Удален
|
dm:
1. В этом форуме можно сделать так, чтобы не набирать адресата поста руками, как сделано на руборде? Или я просто не умею?
2. Мощность-это класс эквивалентности...
Дмитрий, правда думаете, что это хорошее определение? С его помощью можно решать самые простые задачи?
Мне кажется, такие определения просто затыкают дыру, для отчета. Честнее сказать, что данное понятие неопределяемое.
3. Я не сталкивался, что можно определять число и отображение через множество без введения других первичных понятий. Посоветуйте, где можно посмотреть в общепризнанных местах, пожалуйста.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 июля 2005 21:50 | IP
|
|
|
Форум
Дифференциальная геометрия и тензорный анализ
