valjok
Удален
|
    
А ещё говорят, что качество переходит в количество. Это к вопросу о вообразить/представить немыслимый обект. Где-то в середине этого филосовского трактата внешняя ссылка удалена как раз говорится о двух типа мышления: содержательное это - "интеллектуальное созерцание" объекта во всей его красе, в то время как символическое - информация об отдельных признаках.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 июля 2005 0:28 | IP
|
|
dm
Удален
|
Цитата: valjok написал 9 июля 2005 23:28
А ещё говорят, что качество переходит в количество. Это к вопросу о вообразить/представить немыслимый обект.
Студенты сначала новое понятие не понимают, а потом к нему привыкают... 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 10 июля 2005 2:08 | IP
|
|
gvk 
Модератор
|
SCERB
К тому что написал про спин хотел бы добавить, что физик (в отличии от математика) должен очень тщательно проанализировать эксперимент, где новое понятие появляется. В данном случае, спин появился как интерпретация эффекта Штерна-Герлаха сделанного в 1922г. С классической точки зрения в градиентном магнитном поле пучок должен быть "размыт" и образовать колокообразное распреление. Ширина колокола должна быть пропорциональна градиенту поля. Штерна и Герлаха увидели две точки, понять которые было не возможно в рамках классики.
Ваш вопрос несколько отклоняет нас от темы, но заостряет внимание на отличии в методах "понимания" физика и математика. Здесь должен заметить что математическое описание спина (спинор) появилось на 9 лет раньше в работах замечетельного французского математика Эли Картана. Он открыл их исходя из чисто абстрактной идеи Римана что метрика может быть любой. Картан предположил элементарную псевдоевклидову метрику (+,-). Причем предложил рассматривать такое пространство что скалярный квадрат в нем равен нулю.
Векторы в таком пространстве имеют 'длину' равную нулю. В случае реального пространсва их компоненты должны быть комплексны. Они то и называются спиноры.
dm
Так что, имхо, правильный подход к обучению студента, желающего изучить современную математику, это с самого начала пробовать выработать в нем привычку видеть, что вектор и функционал на функционалах на векторах - это одно и то же. Например, решая задачи и т.д.
Такой подход называют 'аксиоматическим' и он несколько шокирует студентов. Может я ошибаюсь, но с моей точки зрения лучше использовать на начальном этапе не слово 'функционал' а 'линейная функция многих переменных' . Ведь функционал - это просто число которое линейно ставится в соотвестсвие набору компонент вектора?
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 10 июля 2005 17:53 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Глубокоуважаемые коллеги, большое вам всем спасибо за ваши ответы. Они очень содержательные. В некотором смысле общение на форуме заменяет и дополняет "непосредственное" общение с коллегами.
Мне кажется, в обучении студентов, при введении понятия спина, ссылка на опыт Штерна-Герлаха должна быть обязательной.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 июля 2005 13:10 | IP
|
|
dm
Удален
|
gvk
Здесь должен заметить что математическое описание спина (спинор) появилось на 9 лет раньше в работах замечетельного французского математика Эли Картана. Он открыл их исходя из чисто абстрактной идеи Римана что метрика может быть любой.
Если я правильно понимаю, исторически Картан всё-таки внешняя ссылка удалена не из произвольности метрики на пространстве спиноров, а из описания группы вращений пространства с метрикой произвольной сигнатуры.
Картан предположил элементарную псевдоевклидову метрику (+,-). Причем предложил рассматривать такое пространство что скалярный квадрат в нем равен нулю.
Еще одно небольшое уточнение. Метрика с сигнатурой (+,-) и метрика, в которой скалярный квадрат нулевой, - это метрики на разных пространствах. Первая - на аналоге пространства-времени, вторая - на вспомогательном коплексном пространстве спиноров.
Такой подход называют 'аксиоматическим' и он несколько шокирует студентов.
Нет-нет. Какой же это аксиоматический подход?
При аксиоматическом подходе сообщается голый перечень аксиом и определений БЕЗ каких-либо мотивировок или интерпретаций, а затем начинают вытаскиваться, как у фокусника из шляпы, какие-то утверждения, которые не понятно, почему должны быть кому-то интересны и каков их смысл и смысл их доказательств. И задачи, которые при таком подходе решаются, - это формальные упражнения на импликацию и эквивалентность.
Я же говорил о том, чтобы у студентов вырабатывался определенный тип интуиции - интуиции по отношению к поведению тех или иных математических объектов. Для этого нужно вместе с формальным определением сообщать как можно больше различных интерпретаций этого понятия и мотивировок введения определения именно таким образом. (Что из этого делать раньше - давать формальное определение или рассматривать интерпретации - имхо, вопрос удобства, в разных случаях может быть удобно либо так, либо так.) Рассматривать как можно большее число примеров, взаимосвязей с другими вопросами и т.д. В процессе решения большого числа задач у студентов и должна вырабатываться эта интуиция.
И другого способа научиться современной математике и вслед за ней современной теорфизике, насколько я понимаю, нет. Большинство математических понятий не допускают возможности изображения на картинке (примеры в предыдущих моих постах). Но всюду, где это только возможно, конечно, следует иллюстрировать математические соображения картинками. Другое дело, что, начиная с какого-то момента, реальная математическая ситуация будет расходиться с той, которую на картинке подсказывает студентам их классическая геометрическая интуиция. Вот, об опасности чего я говорил.
Может я ошибаюсь, но с моей точки зрения лучше использовать на начальном этапе не слово 'функционал' а 'линейная функция многих переменных' .
"Функционал" короче. (И точнее было бы "линейная функция многих или бесконечного числа переменных". )
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 июля 2005 15:30 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Прошу прощения, в спешке отъезда прошлый пост получился фрагментарным.[
b]dm
Если я правильно понимаю, исторически Картан всё-таки исходил не из произвольности метрики на пространстве спиноров, а из описания группы вращений пространства с метрикой произвольной сигнатуры.
Здесь имел ввиду несколько другое. Риман первый явно сформулировал метрические отношения пространства посредством, так сказать, отвлеченных формул, на которые, правда, наложены определенные требования свойств реальных пространств известных в его время (положительность метрики, ее симметрия, независимость от сдвигов и тд).
Картан исходил из этой же идеи, но понимание метрики и, следовательно, пространства в его время были уже другие. Тогда уже прекрасно знали что метрический
тензор может быть неопределен. Далее, хорошо было известно что векторные пространства могут быть комплексными. Все это очевидно лежит в основе подхода Картана. Он детально анализировал простейшие группы преобразований, которые оставляют неопределенную метрику неизменной (то что называли групы движений), продолжая работу Софуса Ли и пытаясь найти все возможные группы (или свойства симметрии) этих пространств. Рассматривая вращения в неопределенной метрике он обнаружил особую роль векторов не равных нулю, но не имеющих направлений (изотропные вектора). Такие вектора существуют в реальном пространстве только в неопределенной метрике, в положительной или отрицательной они отсутствуют. Его заслуга состоит в том, что и в этих вещественных векторных пространствах он успешно ввел изотропные вектора, (при этом разумеется одна из компонент реального вектора должна быть мнимой ).
И таким образом он пришел к спинорам.
Еще одно небольшое уточнение. Метрика с сигнатурой (+,-) и метрика, в которой скалярный квадрат нулевой, - это метрики
на разных пространствах. Первая - на аналоге пространства-времени, вторая - на вспомогательном коплексном пространстве спиноров.
С математической точки зрения, это разные пространства. И они описываются в математических учебниках, как разные, не связанные между собой пространства (точнее, связанные, так сказать абстрактным изоморфизмом ). Но с точки зрения физики, эти пространства тесно связаны, т.к. характеризуют состояния одного и того же объекта. Первое пространство характеризует внешнее состояние электрона (состояние в пространстве), второе его же внутреннее состояние. Это примерно так же, как характеризовать положение твердого тела - центр масс характеризуется его положением в пространстве, а его ориентация характеризуется углами поворота относительно осей пространства. Поэтому спинор вообще-то полностью характеризует состояние одного физического объекта как внутреннее так и внешнее, в пространственно-временном области. Так он и появляется в решении, скажем, уравнения Дирака. Но Ваше замечание фактически подчеркивает, что спинор - не обычный вектор, а математическая структура, описывающая поведение частицы со внутренней степенью свободы.
Вообще говоря, теория спиноров одна из самых интересных и интригующих.
На счет аксиоматичности, Вы правы. Здесь вопрос скорее о том чтобы сложные математические понятия всегда трактовалась в понятиях более простых и, по возможности, связанных с реальностью. "Функионал" - короче, но на самом деле, по рабоче-крестьянски, это ведь просто число. Вопрос о математических терминах - очень интересный сам по-себе.
Удивительно, например, почему математическая структура 'группа' назывется группой, а не 'трамваем', а так же откуда произошли математические понятия 'кольцо', 'поле' и др. Математики стиля бурбаки обычно отвечают так - никакого смысла в этих названиях нет и дают абстрактное определения, но математики, которые эти термины ввели когда-то, обладали интуицией и имели ввиду всегда какую-то конкретную ассоциацию в реальности.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 16 июля 2005 18:27 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Алгебраический объект "лупа" назван Андрианом Албертом в честь железнодорожного кольца в Чикаго.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 18 июля 2005 14:35 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Разве "лупа"? Кажется называется "луп" (loop) что означает петля.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 18 июля 2005 16:49 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Коллеги, думаете приведённое здесь выше определение мощности имеет хоть какой-то смысл, что-то означает?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 24 июля 2005 14:10 | IP
|
|
dm
Удален
|
Цитата: Guest написал 24 июля 2005 13:10
...приведённое здесь выше определение мощности имеет хоть какой-то смысл...?
Какой-то смысл имеет. Сформулировано ли абсолютно строго - нет. Хотя в случае, когда работают только с подмножествами некоторого фиксированного множества (достаточно широкого для целей задачи), этого подхода к формализации должно хватать. (Это было лирическое отступление от сабжа топика.)
(Сообщение отредактировал dm 24 июля 2005 14:15)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 июля 2005 15:13 | IP
|
|
|
Форум
Дифференциальная геометрия и тензорный анализ
