dm
Удален
|
    
gvk
Можно сказать и по-другому: Математика - наука экспериментальная, в том смысле что она имеет в своем основании реальность, а не просто чисто умственные конструкции.
Всё зависит от того, что такое "реальность"... 
И не составляют ли "просто чисто умственные конструкции" часть реальности в том или ином смысле... Кроме того, то, что на сегодняшний день воспринимается как "просто чисто умственные конструкции" может завтра стать частью физической реальности.
Я имел в виду, что у математики и физики различные (хотя и часто пересекающиеся или соприкасающиеся) объекты изучения, методы исследования и цели. И что для математики губительно как полностью игнорировать физические мотивировки и интерпретации, так и двигаться вперед, всё время догматически озираясь на них. Во всем нужна золотая середина...
Но откуда берется метрический тензор? (Это и есть последний вопрос в моем предыдущем посте.)
Естественно, это скорее физический вопрос, чем математический.
векторные пространства вообще не имеют никаких инструментов для измерения чего либо (в чистом векторном пространстве не определено скалярное произведение!).
Конечно.
Вообразить себе пространства без метрики очень трудно.
Если бы это было действительно слишком сложно, мы не смогли бы успешно работать в линейных топологических пространствах, что в очень многих математических исследованиях на сегодняшний день ничуть не менее важны, чем нормированные пространства или пространства со скалярным произведением.
Именно поэтому не понятно что такое сопряженное пространсво (предпочитаю и рекомендую использовать термин - дуальное), если нет метрики.
Ну почему же? Сопряженное пространство - это пространство линейных функционалов на исходном пространстве. Пока что метрика ни при чем. Просто без скалярного произведения нет способа (естественным образом) отождествить векторы с линейными функционалами.
(Сообщение отредактировал dm 8 июля 2005 3:39)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 июля 2005 19:33 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Вообще говоря, в первую очередь мне надо было бы попытаться подумать о самодвойственности БЧХ кодов, но жара, книг под рукой нет и лень.
Я понимаю, что я пишу немного не в тему.
Об отношениях математиков и "естественников", использующих или развивающих математику.
Хотел бы отметить некоторую разницу в подходах математиков и физиков-теоретиков к математическим вопросам.
Статьи большинства математиков по математике можно читать, не опасаясь, что они ошиблись. Математики делают меньше, но лучше.
Физики-теоретики, начав заниматься математикой, часто излагают очень свежие идеи, но они иногда так спешат удивить мир своими открытиями, что часто перед отправкой в печать забывают элементарно просмотреть статью на предмет описок.
Они этого не боятся. Ну и что, ведь это же гипотеза.
Математики как бы вторичны по сравнению с физиками, но с другой стороны они являются как бы их "чистильщиками".
Приведу пример. Немного выше говорилось о пространстве Минковского. Минковский преподавал Эйнштейну математику, а позже немного "почистил" математическую часть теории своего ученика-"не-отличника".
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 июля 2005 20:53 | IP
|
|
dm
Удален
|
SCERB
мне надо было бы попытаться подумать о самодвойственности БЧХ кодов...
Боуз, Чоудхури и Хоквингем ждут?...  (внешняя ссылка удалена...)
Я понимаю, что я пишу немного не в тему.
Ничего... Думаю, уважаемый gvk нас с Вами с нашим философски-методическим  'ом быстро вернет к векторам-тензорам...
Хотел бы отметить некоторую разницу в подходах математиков и физиков-теоретиков к математическим вопросам.
Было бы странно, если бы их не было... (как и в вопросах, что есть реальность и т.д. и т.п.)
Статьи большинства математиков по математике можно читать, не опасаясь, что они ошиблись.
Это Вам просто до сих пор везло... 
Математики делают меньше, но лучше.
Я думаю, что попытки математиков, которые до этого никогда этого не далали, заниматься физикой на первых порах ничуть не менее забавны, чем первые попытки физиков начать профессионально заниматься математикой...
Математики как бы вторичны по сравнению с физиками, но с другой стороны они являются как бы их "чистильщиками".
Иногда да. Но думать, что так обстоят дела всегда, имхо, было бы слишком большим упрощением...
А вообще сейчас для развития математики важна взаимосвязь не только с физическими, но и "компьютерными" науками...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 июля 2005 4:07 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
я немного опоздал присоединиться, но с удовольствием послежу за дискусией
dm
А как только появляется скалярное произведение, это уже можно делать
Въ имеете в виду теорему Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве?т.к. именно так у нас будет взаимооднозначное соответствие между векторами
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 июля 2005 20:03 | IP
|
|
gvk 
Модератор
|
dm
Сопряженное пространство - это пространство линейных функционалов на исходном пространстве. Пока что метрика ни при чем. Просто без скалярного произведения нет способа (естественным образом) отождествить векторы с линейными функционалами.
Имел ввиду не определение, а геометрическое представление сопряженного пространства.
Это правильное обьяснение для студентов-математиков. Для студентов-физиков, желающих представить себе геометрически дуальное пространство, такое объяснение не проходит. Надо как- то по другому.
Они говорят: Вот есть многообразие (кривая, поверхность, etc.). Тангенциальная плоскость (линия) в какой-то точке - это пространство векторов. Мы не понимаем ни форм, ни функционалов. Нарисуйте мне пространство ковекторов.
Как вы поступите?
На счет соотношения математики и естественных наук - важно только что они друг другу нужны (все остальное ненужная философия ).
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 8 июля 2005 22:05 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
Глубокоуважаемый gvk,
мне кажется, студенты должны понимать, что не везде в математике есть "царские" пути. Даже студенты-физики, которые изучают математику.
Ну например, я знаю математиков-геометров, которые умеют "ползать" по 4-х мерным многобразиям в пространстве Лобачевского. Но они годы потратили, чтобы научиться.
Кстати, а как можно представить себе электрон? Он частица или волна (волновой пакет)? Или более мне непонятный вопрос. А как представить спин, ну, например, того же электрона?
Меня учили так. Электрон обладает спином. И все.
Мне было бы очень интересно услышать Ваше мнение.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 15:38 | IP
|
|
gvk
Модератор
|
Вы абсолютно правы, что не все можно вообразить и представить. Но нужно развивать физическую интуицию значительно дальше наших классических возможностей представления.
Как это сделать? Давайте посмотрим на вашем примере.
"Электрон обладает спином. И все." - знания этого явно недостаточно. Надо понимать, во первых, что спин это некая внутренняя степень свободы, здесь есть дальнее родство с классическим явлением вращения, которое есть тоже внутренняя степень свободы твердого тела. Надо так же освоится с физическим понятием действия и понимать что не случайно момент количества движения и действие имеют одинаковую размерность (удивительная изобрететельность Природы!). Наконец надо понять всю глубину Планковского открытия, что существует минимальная величина действия и таким образом минимальная величина момента количества движения. Кроме того, нужно продумать как спин может взаимодействовать с полями, те нужно прорешать и продумать десятки разных задач и идей. И вообще, нужно находить ответы на любые вопросы касательно спина, какие только вам могут прийти в голову.
И тогда вы привыкните к понятию спина и у вас появится физическая интуиция в этом вопросе.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 9 июля 2005 18:10 | IP
|
|
valjok
Удален
|
Кстати, а как можно представить себе электрон? Он частица или волна (волновой пакет)?
------
волна чего? физики не знают ответа, известны некоторые характеристики. С одной стороны его радиус должен быть 0 и это понятно если вы вспомните, что пакет это плотность вероятности, а эл-н как и фотон - точечные частицы, имеёщие точечные координаты (с точностью до времени измерения). Но нулувой радиус r=0 чему-то там противоречит (связано со скоростью распространеия взаимодействия (с), а также бесконечностью плотносей заряда и массы пропорциональных m/r^2) поэтому полагают что само пространство - дискретно на планковских масштабах. Из этих краёв недавно вышла так называемая дискретная физика - ещё одна теория всего, призваная чисто с математических позиций объяснить всю физику. Сам я нуль во всём этом, просто в тему вашего разговора об умозрительности математики.
Меня учили так. Электрон обладает спином. И все.
-------
Нам ещё сообщили какими спинами он может обладать. С одной стороны говорят: есть серьёзные основания пологать, не помню какие именно, что классический аналог спина - вращение вокруг своей оси (существуют другие характеристики эл-на в атоме, например орбитальный момент - обращение вокруг ядра). С другой стороны замечают, что все эти квантомеханические характеристики не имеют классического аналога (может быть имеется ввиду что чёткого движения по орбитам как такового не присходит на самом деле). Но это уже на другом форуме наверное надо спрашивать.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 18:34 | IP
|
|
valjok
Удален
|
Но это уже на другом форуме наверное надо спрашивать.
-------
И тут уже всё обяснили. Вот увидеть, понюхать, пощупать, полизать электрон это вряд ли получится, впрочем как и энергию.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 18:39 | IP
|
|
dm
Удален
|
Genrih
Въ имеете в виду теорему Рисса
В бесконечномерном случае да. В конечномерном всё несколько проще.
gvk
Имел ввиду не определение, а геометрическое представление сопряженного пространства.
"Видеть" некоторую математическую конструкцию не всегда значит видеть её на картинке. В процессе работы с объектом вырабатывается определенная интуиция. Эта интуиция и есть "видение".
Попробуйте "нарисовать" сопряженное пространство к какому-нибудь бесконечномерному пространству. Собственно, L_p и есть "картинка" для сопряженного к L_q (1/p+1/q=1, 1<=q<+oo). Удобнее же говорить о функциях (с точностью до равенства почти всюду), чем о линейных функционалах на функциях.
Аналогично, как "нарисовать" пополнение пространства непрерывных функций с среднеквадратичным рассторянием? (Нарисовать пополнение интервала - отрезок - не проблема.) Здесь "картинка" - это и есть L_2. Удобнее же говорить о квадратично-интегрируемых функциях (с точностью до равенства почти всюду), чем о классах эквивалентности фундаментальных последовательностей непрерыных функций по какому-то отношению эквивалентности.
Для студентов-физиков, желающих представить себе геометрически дуальное пространство, такое объяснение не проходит. Надо как- то по другому.
Они говорят: Вот есть многообразие (кривая, поверхность, etc.). Тангенциальная плоскость (линия) в какой-то точке - это пространство векторов.
Попробуйте это проделать даже в четырехмерном случае. Еще лучше случае пространства-времени. Любая картинка сейчас будет плохой, "ненастоящей", поскольку апеллирует к евклидовой, а не псевдоевклидовой интуиции.
Нарисуйте мне пространство ковекторов.
Кстати, я видел у внешняя ссылка удалена и, кажется, внешняя ссылка удалена наглядное изображение ковекторов как семейства параллельных гиперплоскостей. При этом значение ковектора на векторе - это "сколько раз" ковектор пересекает вектор. Забавно, что это работает как раз даже в чисто дифференциальном случае, когда метрики на многобразии еще не вводится. Хотя, имхо, это и не намного более наглядно.
Так что, имхо, правильный подход к обучению студента, желающего изучить современную математику, это с самого начала пробовать выработать в нем привычку видеть, что вектор и функционал на функционалах на векторах - это одно и то же. Например, решая задачи и т.д.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 18:46 | IP
|
|
|
Форум
Дифференциальная геометрия и тензорный анализ
