Guest
Новичок
|
    
Уважаемые математики!
Нам нужен ваш совет, касающийся свойств решения одного интегрального уравнения с сингулярным ядром, но полностью вырожденным символом. Дискуссия, начатая на Мехмате,
внешняя ссылка удалена
пока не привела к удовлетворительным результатам.
Заранее спасибо за помощь.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 17 окт. 2006 17:31 | IP
|
|
sms
Удален
|
Если заменить в этом уравнении коэффициент 1 при функции u(w) на произвольную функцию a(w), а коэффициент -1\i перед интегралом на другую произвольную функцию b(w), то получится более общее уравнение с двумя произвольными функциями. Оно решено в относительно явном виде в Красной Книге : Килбас А.А., Маричев О.И., Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, С. 443-444.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 18 окт. 2006 21:36 | IP
|
|
sms
Удален
|
(Продолжение) Представление решения зависит от пространства, в котором мы его ищем.
О плохом: в этом уравнении есть одно-единственное условие для того, чтобы всё работало: a^2+b^2=/0, а нас оно как раз и не выполнено!!! (1-1=0). Это означает, что мы вляпались на спектр сингулярного опера на конечном интервале во всех мыслимых приличных простанствах.
О хорошем: но отсюда вытекает, что можно предложить такой метод решения, вроде регуляризации. Заменим в начале уравнения u(w) на (1+Е)u(w)+ ...
Теперь условие разрешимости из красной книги выполнено. Решаем. Если нужно численно, то берем маленькое Е. Нужно точно-пытаемся перейти к пределу E=>0
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 18 окт. 2006 21:44 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Большое спасибо за проявленное внимание к нашему вопросу.
Обсуждение начнём всё-таки с "плохого": 8--)
Цитата: sms написал 18 окт. 2006 21:44
О плохом: в этом уравнении есть одно-единственное условие для того, чтобы всё работало: a^2+b^2=/0, а у нас оно как раз и не выполнено!!! (1-1=0). Это означает, что мы вляпались на спектр сингулярного опера на конечном интервале во всех мыслимых приличных простанствах.
Про то, что мы вляпались в спектр конечного оператора Гильберта, а именно в его собственное значение равное единице, нам уже сообщили на Мехмате. Там же приведено множество собственных функций того же оператора Гильберта, соответствующих собственному значению равному нулю. Однако никто не смог пока привести примера хоть одной конкретной собственной функции, соответсвующей $\lambda = 1$. Таким образом мы не имеем в руках даже решений для случая, когда наше интегральное уравнение однородное. Если Вы можете привести хоть один конкретный пример однородного решения, то мы будем Вам очень благодарны.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 18 окт. 2006 23:47 | IP
|
|
sms
Удален
|
Привести не могу, не умею.
Кстати, не факт, что эта точка спектра есть собственное значение и собственные функции вообще существуют. Она может быть более сложно устроена.
Разумеется, нужно договориться в каком пространстве всё рассматривать, спектр меняется от одного к другому.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 19 окт. 2006 13:06 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: sms написал 19 окт. 2006 13:06
Привести не могу, не умею.
Кстати, не факт, что эта точка спектра есть собственное значение и собственные функции вообще существуют. Она может быть более сложно устроена.
Разумеется, нужно договориться в каком пространстве всё рассматривать, спектр меняется от одного к другому.
-- На Мехматовском форуме пространство было оговорено: мы рассматриваем конечный оператор Гильберта в $L_2(-1, 1)$. Именно ввиду того, что до сих пор никто не смог указать нам собственные функции точки спектра $\lambda = 1$, я склоняюсь к мнению, что в единице конечный оператор Гильберта имеет ОСТАТОЧНЫЙ спектр! Это значит, что резольвента существует, но ограничена лишь на линейном подпространстве, не являющимся плотным в $L_2(-1, 1)$.
Ваше мнение? :---)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 19 окт. 2006 23:27 | IP
|
|
sms
Удален
|
Сразу-точно не знаю.
Возможно-это плохой класс. В Красной Книге написано, что решения имеют особенности на концах x=-1,+1. Эль два может не катить. Не зря в КК на с. 443 рассматриваются только классы Гёльдера на открытом интервале. В эль два когда можно, то проще было бы.
Если это нужно всерьёз-можно обратиться к Анатолию Александровичу Килбасу. Вряд ли кто-то знает больше и глубже. Нужна наводка - дам.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 20 окт. 2006 14:45 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
--Разумеется это нужно всерьёз. Просто я временно не хочу тревожить никого из "сильных мира сего", пока на поверхностном уровне не будет выяснено, что простого решения (в две строчки) не существует. Поэтому попробуем перейти к "хорошему"...
Цитата: sms написал 18 окт. 2006 21:44
О хорошем: но отсюда вытекает, что можно предложить такой метод решения, вроде регуляризации. Заменим в начале уравнения u(w)+... на (1+Е)u(w)+ ...
Теперь условие разрешимости из красной книги выполнено. Решаем. Если нужно численно, то берем маленькое Е. Нужно точно-пытаемся перейти к пределу E=>0
Возможно ли переходом к пределу $E\to +0$ решить задачу об аналитическом вычислении резольвенты конечного оператора Гильберта в точке $\lambda = 1$ его остаточного спектра? Казалось бы, опираясь на классические результаты (в том числе и из КК) можно было бы получить ряд Лорана по параметру:
$$
(H - (1+E) I)^{-1}= C_{-1}/E + C_0 + C_1*E + C_2*E^2 + ...
$$
где $C_{-1}, C_0, C_1, ...$ -- некоторые линейные интегральные операторы. После чего устовие разрешимости нашего уравнения по правой части $f$ будет:
$$
C_{-1} f = 0
$$
а значение точной резольвенты на соответсвующей ей области определения вычислялось бы точно по формуле:
$$
(H - I)^{-1} f = C_0 f
$$
Допускаете ли Вы принципиальную возможность такого пути решения?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 23 окт. 2006 0:46 | IP
|
|
sms
Удален
|
Про резольвенту: затрудняюсь ответить, так как не совсем доказанные предположения используем. То, что спектр остаточный, то что по Е именно полюс первого порядка (почему?).
Зато повнимательнее почитав Мусхелешвили кажется нашёл нужную ссылку, где это уравнение должно быть решено:
Гахов Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Коши/Дифференциальные уравнения, т.11, № 4, 1966, 533-543.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 окт. 2006 21:54 | IP
|
|
sms
Удален
|
Там есть ссылки, когда символ обращается в нуль в одной или нескольких точках. Уже тогда трудно. У нас случай символа тождественно равного нулю. Для него есть ссылка, что выше.
Ещё хотелось бы сделать замечание про название-конечное Гильберта. Насколько я знаю, оно не общепринятое. На оси-это пр. Гильберта, на полуоси-Стильтьеса, а это просто сингулярный интеграл на отрезке. Частный случай С.И. на разомкнутом контуре.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 26 окт. 2006 21:58 | IP
|
|
|
Форум
Сингулярное уравнение не нормального типа
