M0rFium
Удален
|
    
Есть систему ДУ:
dy/dt=(1-a)y
dk/dt=L+(dy/dt)^2
Как исследовать ее на устойчивость? И вообще - устойчивость решения и устойчивость системы - одно и то же, или нет?
Спасибо!
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 янв. 2006 0:28 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
  
Бывают разные типы устойчивости.
Чаще всего говорят от устойчивости РЕШЕНИЯ по Ляпунову.
Для линейных систем можно говорить и об устойчивости системы по Ляпунову, потому что все решения либо одновременно устойчивы, либо одновременно неустойчивы.
Вашу систему можно просто решить и сделать вывод об устойчивости.
y(t)=C1 e^{(1-a)t}
k(t)=C2+Lt+C1^2 (1-a) e^{2(1-a)t}/2
Отсюда делаем вывод, что a>=1.
Если это условие не выполняется, то имеет место неустойчивость.
(Сообщение отредактировал Trushkov 12 янв. 2006 14:52)
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 янв. 2006 11:39 | IP
|
|
M0rFium
Удален
|
Спасибо большое! У меня как раз в одном из случаев а=0.8, так что там система будет неустойчива.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 янв. 2006 12:43 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Еще бывает устойчивость СИСТЕМЫ по Лагранжу, которая имеет место, если все решения системы ограничены.
Для данной системы устойчивость по Лагранжу, как нетрудно видеть, требует еще условия L=0.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 12 янв. 2006 14:55 | IP
|
|
russians
Начинающий
|
Исследовать на устойчивость точки покоя системы:
x = y + x^3
y = -x+y^3
А как такие исследуются на устойчивость?..
(Сообщение отредактировал russians 5 фев. 2008 18:04)
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: ноябрь 2006 | Отправлено: 5 фев. 2008 18:00 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
1) Какая особая точка будет, если отбросить нелинейные слагаемые?
2) Какие особые точки могут получаться при добавлении гладких нелинейных слагаемых?
3) Приведите систему к уравнению dy/dx=..., найдите симметрию и сделайте вывод, какая точка из тех, которые в ответе на вопрос пункта 2, может остаться.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 5 фев. 2008 20:01 | IP
|
|
russians
Начинающий
|
А при ответе на первый вопрос, когда отбрасываем и пишем характеристическое уравнение, мы вместо недостающих нули ставим? И отбрасываемые нам понадобятся потом? Раскладывать sin cos e^x и тому подобные надо будет?
2) Какие особые точки могут получаться при добавлении гладких нелинейных слагаемых?
а как на них хар. ур писать???
(Сообщение отредактировал russians 5 фев. 2008 20:11)
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: ноябрь 2006 | Отправлено: 5 фев. 2008 20:11 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Вы, вообще, предмет учили???!!!
В пункте 1) надо рассмотреть систему
x'=y
y'=-x
и исследовать на устойчивость любым знакомым вам способом.
2) При добавлении нелинейных слагаемых характеристическое уравнение не меняется, но не все типы особых точек сохраняются при добавлении нелинейности.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 5 фев. 2008 20:20 | IP
|
|
russians
Начинающий
|
На первом пункте я понимаю, как писать хар. ур. для исследования собственных значений на устойчивость... Просто я застал только системы с линейными слагаемыми. Не писать же для случая
x = y + x^3
y = -x+y^3
характеристическую матрицу:
|1-k 1|
|-1 1-k| это бред...
(Сообщение отредактировал russians 5 фев. 2008 20:37)
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: ноябрь 2006 | Отправлено: 5 фев. 2008 20:37 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Блин!
Я Вам написал три пункта, которые помогут Вас решить задачу.
Еще раз.
1) Какая особая точка будет, если отбросить нелинейные слагаемые?
2) Какие особые точки могут получаться при добавлении гладких нелинейных слагаемых?
3) Приведите систему к уравнению dy/dx=..., найдите симметрию и сделайте вывод, какая точка из тех, которые в ответе на вопрос пункта 2, может остаться.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 5 фев. 2008 20:44 | IP
|
|
Форум
Исследование на устойчивость ДУ
