Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Аппроксимация функций многих переменных
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Mazut


Удален

 Еще со "школы" хорошо известны методы аппроксимации (интерполяции) непрерывных (дифференцируемых) функций одного аргумента, но когда возникло желание аппроксимировать функцию, скажем 2-х переменных, оказалось, что это чуть ли не иная дисциплина (уж по крайней мере в учебниках по мат.ан-у этого не видно...) Хотелось бы выслушать мнения "знатаков" прежде чем засеть в библиотеке.
Что нашли:
1) Вроде как функцию нескольких переменных можно аппроксимировать сплайнами (последовательно, - что очень неприятно).
2) Есть что-то похожее на сферические гармоники, -  но написано так, что плакать хочется.
Было бы очень интересно найти ФОРМУЛЫ (желательно через интеграл), с помощью которых можно аппроксимировать функцию в R^n. Функция НЕПРЕРЫВНАЯ (не обяз. дифф.), задана на параллелепипеде (стороны весьма маленькие, и можно уменьшать). Необходимо заменить данную функцию аналитической (модельной). Вид значения не имеет лишь бы можно было как-то описать (хоть "столбиками/пирамидами" как при интегрировании)...

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 авг. 2005 15:39 | IP
Guest



Новичок

А чем метод наименьших квадратов плох? Если по условиям задачи подходит, то получить формулы полиномиальной аппроксимации функции многих переменных несложно. :-)

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 авг. 2005 18:55 | IP
Mazut


Удален

Guest написал(а)

А чем метод наименьших квадратов плох?.

Тем, что полиномиальная аппроксимация, - априори гладкая. В целом, необходимо аппроксимировать функцию на весьма малом множестве. Если функция достаточно гладкая, то ее можно разложить в ряд Тейлора (производные, - численно). Это не проблема.  
 Вся беда в том, что функция может иметь разрывы и тогда полиномы вряд ли помогут. Более того аппроксимация многочленами (даже для функции одного аргумента) является весьма неточной (поэтому то и появились сплайны).

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 сен. 2005 17:01 | IP
Guest



Новичок

Тогда отбой.
Раз не сглаживание (в чем то синоним аппроксимации в ее узком смысле).

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 сен. 2005 17:47 | IP
dm


Удален

Как насчет фрактальной аппроксимации?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 сен. 2005 18:14 | IP
Guest



Новичок

Вообще то, я скорее всего дилетант, но
Mazut писал
"Необходимо заменить данную функцию аналитической.."
Фрактальная аппроксимация это алгоритмическое вычисление аппроксимированной функции?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 сен. 2005 18:32 | IP
gvk


Модератор

Mazut
Вы кажется путаете методы интерполяции которые практически применяется не к ФУНКЦИЯМ, а к набору ТОЧЕК (экспериментальных данных или иным образом полученных дискретных данных) и представлений функций рядами.
Для последних в анализе изначально существует теорема Вейерштрасса, согласно которой любую непрерывную функцию на конечном интервале можно со сколь угодно высокой точностью представить в виде полинома определенной степени.  Если у вас функция разрывная, то там появляются проблемы со сходимостью рядов. Эти задачи рассматриваются в фунциональном анализе.
Если у вас не функция, а набор точек, то здесь-то и возникают методы интерполяции
- как провести через эти точки кривую-
или аппроксимации -
как провести кривую вообще, не обязательно через эти точки, но наилучшим способом описывающую данный набор- (здесь часто говорят о регрессии (regression)). Это хорошо развитый раздел численного анализа.  Там есть не только аппроксимации кривыми, но и аппроксимации поверхностями.



 

Всего сообщений: 830 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 1 сен. 2005 18:50 | IP
Mazut


Удален

gvk писал(а):

Вы кажется путаете методы интерполяции которые практически применяется не к ФУНКЦИЯМ, а к набору ТОЧЕК (экспериментальных данных или иным образом полученных дискретных данных) и представлений функций рядами.


Да вроде как нет... Меня не интересует интерполяция, как видно и по названию темы (хотя интерполяция тесным образом связана с аппроксимацией, а в некоторой литературе эти понятия смешивают...) Вся беда в том что функция не задана явно, потому и возникает желание заменить ее чем-то просто-вычисляемым.
Абсолютно верно: можно задать функцию  таблицей, а затем интерполировать для отсутствующих значений (как во многих случаях и делается). Это не совсем удобно, отсюда и желание  использовать иной (более развитый?) аппарат (типа рядов Фурье для одномерного случая).

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 сен. 2005 17:06 | IP
Mazut


Удален

 К сожалению (или к счастью...) не могу назвать себя  "ходячей энциклопедией". Другими словами я не силен в фрактальной геометрии.
 Представлять функцию фракталами теоретически можно, но на мой вгляд польза от них - чисто эстетическая. Рисунки красивые, но как это использовать... Вобщем, мне они вряд ли помогут. Хотя... Если кто-то сможет убедить в их полезности...

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 сен. 2005 17:22 | IP
dm


Удален


Цитата: Mazut написал 2 сен. 2005 16:22
Представлять функцию фракталами теоретически можно, но на мой вгляд польза от них - чисто эстетическая. Рисунки красивые, но как это использовать...


Алгоритмы фрактального сжатия изображений - это и есть по сути фрактальная аппроксимация функций.
Правда, в Вашем случае всё зависит от того, насколько явный вид коэффициентов нужен.

Если аппроксимируемая функция разрывна, то есть еще и рациональная аппроксимация.


...желание  использовать иной (более развитый?) аппарат (типа рядов Фурье для одномерного случая).

Что мешает работать с рядами Фурье (или в более общей ситуации с рядами по элементам базиса всплесков (вейвлетов)) и в многомерном случае?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 сен. 2005 17:40 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com