Mazut
Удален
|
    
Еще со "школы" хорошо известны методы аппроксимации (интерполяции) непрерывных (дифференцируемых) функций одного аргумента, но когда возникло желание аппроксимировать функцию, скажем 2-х переменных, оказалось, что это чуть ли не иная дисциплина (уж по крайней мере в учебниках по мат.ан-у этого не видно...) Хотелось бы выслушать мнения "знатаков" прежде чем засеть в библиотеке.
Что нашли:
1) Вроде как функцию нескольких переменных можно аппроксимировать сплайнами (последовательно, - что очень неприятно).
2) Есть что-то похожее на сферические гармоники, - но написано так, что плакать хочется.
Было бы очень интересно найти ФОРМУЛЫ (желательно через интеграл), с помощью которых можно аппроксимировать функцию в R^n. Функция НЕПРЕРЫВНАЯ (не обяз. дифф.), задана на параллелепипеде (стороны весьма маленькие, и можно уменьшать). Необходимо заменить данную функцию аналитической (модельной). Вид значения не имеет лишь бы можно было как-то описать (хоть "столбиками/пирамидами" как при интегрировании)...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 авг. 2005 15:39 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
А чем метод наименьших квадратов плох? Если по условиям задачи подходит, то получить формулы полиномиальной аппроксимации функции многих переменных несложно. :-)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 авг. 2005 18:55 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
Guest написал(а)
А чем метод наименьших квадратов плох?.
Тем, что полиномиальная аппроксимация, - априори гладкая. В целом, необходимо аппроксимировать функцию на весьма малом множестве. Если функция достаточно гладкая, то ее можно разложить в ряд Тейлора (производные, - численно). Это не проблема.
Вся беда в том, что функция может иметь разрывы и тогда полиномы вряд ли помогут. Более того аппроксимация многочленами (даже для функции одного аргумента) является весьма неточной (поэтому то и появились сплайны).
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 сен. 2005 17:01 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Тогда отбой.
Раз не сглаживание (в чем то синоним аппроксимации в ее узком смысле).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 сен. 2005 17:47 | IP
|
|
dm
Удален
|
Как насчет фрактальной аппроксимации? 
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 сен. 2005 18:14 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Вообще то, я скорее всего дилетант, но
Mazut писал
"Необходимо заменить данную функцию аналитической.."
Фрактальная аппроксимация это алгоритмическое вычисление аппроксимированной функции?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 1 сен. 2005 18:32 | IP
|
|
gvk 
Модератор
|
Mazut
Вы кажется путаете методы интерполяции которые практически применяется не к ФУНКЦИЯМ, а к набору ТОЧЕК (экспериментальных данных или иным образом полученных дискретных данных) и представлений функций рядами.
Для последних в анализе изначально существует теорема Вейерштрасса, согласно которой любую непрерывную функцию на конечном интервале можно со сколь угодно высокой точностью представить в виде полинома определенной степени. Если у вас функция разрывная, то там появляются проблемы со сходимостью рядов. Эти задачи рассматриваются в фунциональном анализе.
Если у вас не функция, а набор точек, то здесь-то и возникают методы интерполяции
- как провести через эти точки кривую-
или аппроксимации -
как провести кривую вообще, не обязательно через эти точки, но наилучшим способом описывающую данный набор- (здесь часто говорят о регрессии (regression)). Это хорошо развитый раздел численного анализа. Там есть не только аппроксимации кривыми, но и аппроксимации поверхностями.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 1 сен. 2005 18:50 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
gvk писал(а):
Вы кажется путаете методы интерполяции которые практически применяется не к ФУНКЦИЯМ, а к набору ТОЧЕК (экспериментальных данных или иным образом полученных дискретных данных) и представлений функций рядами.
Да вроде как нет... Меня не интересует интерполяция, как видно и по названию темы (хотя интерполяция тесным образом связана с аппроксимацией, а в некоторой литературе эти понятия смешивают...) Вся беда в том что функция не задана явно, потому и возникает желание заменить ее чем-то просто-вычисляемым.
Абсолютно верно: можно задать функцию таблицей, а затем интерполировать для отсутствующих значений (как во многих случаях и делается). Это не совсем удобно, отсюда и желание использовать иной (более развитый?) аппарат (типа рядов Фурье для одномерного случая).
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 сен. 2005 17:06 | IP
|
|
Mazut
Удален
|
К сожалению (или к счастью...) не могу назвать себя "ходячей энциклопедией". Другими словами я не силен в фрактальной геометрии.
Представлять функцию фракталами теоретически можно, но на мой вгляд польза от них - чисто эстетическая. Рисунки красивые, но как это использовать... Вобщем, мне они вряд ли помогут. Хотя... Если кто-то сможет убедить в их полезности...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 сен. 2005 17:22 | IP
|
|
dm
Удален
|
Цитата: Mazut написал 2 сен. 2005 16:22
Представлять функцию фракталами теоретически можно, но на мой вгляд польза от них - чисто эстетическая. Рисунки красивые, но как это использовать...
Алгоритмы фрактального сжатия изображений - это и есть по сути фрактальная аппроксимация функций.
Правда, в Вашем случае всё зависит от того, насколько явный вид коэффициентов нужен.
Если аппроксимируемая функция разрывна, то есть еще и рациональная аппроксимация.
...желание использовать иной (более развитый?) аппарат (типа рядов Фурье для одномерного случая).
Что мешает работать с рядами Фурье (или в более общей ситуации с рядами по элементам базиса всплесков (вейвлетов)) и в многомерном случае?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 сен. 2005 17:40 | IP
|
|
|
Форум
Аппроксимация функций многих переменных
