dm
Удален
|
    
Indigo
Цитата: Indigo написал 2 сен. 2005 17:31
Как я понимаю, на этом форуме есть как минимум два профессиональных математика - gvk и dm.
Было бы замечательно, если бы они нашли время прочитать тред и высказать свое мнение. 
К сожалению, и уважаемый gvk, и я достаточно занятые люди... Только сейчас нашел время прочесть.
Самое забавное заключается в том, что если выбросить все философские и методические предпосылки Guest'а, то то, что останется, можно непротиворечивым образом интерпретировать математически в стандартных терминах. Правда, насколько это интересно, это уже другой вопрос.
Indigo
Guest a.k.a. dmd a.k.a. Дмитрий Ежов
Оговорюсь сразу, что проверял выкладки только для "квадратичного" случая (не "кубического" и не общего "степенного").
Итак, сама интерпретация. В независимости от функции f(x)=ax^2+bx+с рассматриваются просто числовые последовательности {f_i}, {x_i}, {a_i}, {b_i}, удовлетворяющие равенству:
f_i-f_j=a_j*(x_i-x_j)^2+b_j*(x_i-x_j) при всех i>j (*)
(причем предполагается, что x_i /= x_j при i /= j).
То есть последвательность (f_i) является функцией (в обычном смысле как отображение) от последовательностей (x_i), (a_i), (b_i), определенной на множестве троек последовательностей ((x_i),(a_i),(b_i)), для которых уравнение (*) имеет решение относительно последовательности (f_i). То есть
(f_i)=Ф((x_i),(a_i),(b_i))
(или, если хочется считать последовательности (a_i), (b_i) параметрами, а не переменными, то (f_i)=Ф((x_i)) ).
Теперь становится понятно, почему действительно нельзя считать f_i значениями какой-то числовой функции в точках x_i. Если раскрутить рекуррентность в (*), то
f_i = f_0 + sum_(j=1)^i (a_j*(x_i-x_j)^2+b_j*(x_i-x_j)).
То есть f_i действительно зависит от всех x_j при j=1,...,i , а не только от x_i . И подстановка f_i=f(x_i) приводила бы практически сразу к противоречию.
И Guest выводит необходимое условие, которому должны удовлетворять последовательности (x_i), (a_i), (b_i), чтобы уравнение (*) имело решение относительно последовательности (f_i). ( (*) - это такая себе сильно переопределенная система уравнений.) А именно:
a_i=a для всех i (т.е. постоянна)
b_i-b_j=2*a*(x_i-x_j), i>j.
Причем эти условия в некоторой записи выглядят в точности, как если бы мы дифференцировали исходную числовую функцию f (коэффициенты оказываются производными и т.д.)
И здесь возникает вопрос, будут ли эти условия достаточными для разрешимости (*). То есть не получится ли так, что мы еще какие-то из соотношений (*) покомбинируем и получим еще какие-то нетривиальные соотношения на (x_i), (a_i), (b_i). То есть не получится ли так, что область определения функции Ф( . , . , . ) окажется достаточно бедной.
Ответ нет, поскольку у нас есть пример летящего камня
y(t)=y(0)+v(0)*t+(g/2)*t^2
v(t)=v(0)+g*t
y(t)-y(s)=v(s)*(t-s)+(g/2)*(t-s)^2
v(t)-v(s)=g*(t-s)
g=const
Наверно, и в общем "степенном" случае достаточность условий тоже проверяется.
Далее, некорректно говорить что максимум в точке (x_i,f_i), поскольку f_i не есть значение функции в точке x_i. Будем говорить, что для Ф( . ) локальный максимум на тройке ((x_j),(f_j),i) из последовательности иксов, соответствующей последовательности эфов и индекса, когда
f_i>f_(i-1)
f_i>f_(i+1)
x_(i-1)<x_i<x_(i+1).
Как уже и объяснил Indigo, есть ошибка в выводе условия b_i=0. На самом деле выведено только, что
max(-b_(i-1),b(i+1))<b_i<min(b_(i-1),-b_(i+1)), b_(i-1)>0, b_(i+1)<0.
В том, что только одно из значений, которые выдают формулы, является корнем кубического уравнения, нет ничего удивительного. Guest ведь всюду переходит к следствиям, так что где-то приобретаются посторонние вещественные корни.
Ну и теперь скептическая часть. Анализ ведь был изобретен для упрощения вычислений. То, что раньше занимало несколько страниц, с помощью анализа можно посчитать в несколько строчек. Честно говоря, не уверен, что такой "алгебраический" метод можно далеко развить. Да и картина только усложняется...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 сен. 2005 17:16 | IP
|
|
Indigo
Удален
|
dm
... и тут пришел лесник и всех выгнал из избушки(с)
Спасибо огромное.
Мне, честно говоря, такая интерпретация в голову не приходила.
Все равно многого не понимаю, но все равно спасибо.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 сен. 2005 22:31 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
внешняя ссылка удалена
обещанное решение кубического уравнения, переходящее в решение квадратного при равенстве нулю соответствующего коэффициента, выполнено в ноутбуке Математики 5.2
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 23 марта 2006 20:36 | IP
|
|
latnikta
Новичок
|
Прошу прокоментировать данное решение:
Автор: Жорж Васильевич Чалик
$x^3+a_1 x^2+a_2 x+a_3=0$
$\{a_1;a_2;a_3\} \in K$ , $\{x_1;x_2;x_3\}$ - корни
Введем обозначения:
$a=\sqrt{\frac{2}{3}a^2_1-2a_2}$
$b=ia^{-3}\left(3\sqrt{6}\cdot a_3+\sqrt\frac{3}{2}a^2a_1-\frac{1}{3}\sqrt\frac{2}{3}\cdot a^3_1)$
$c=\left(b+\left(b^2+1\right)^\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}$
В этих обозначениях:
$x_1=\frac{a}{\sqrt{6}}\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\cdot c+e^{-i\frac{\pi}{6}}\cdot c^{-1}\right)-\frac{a_1}{3}$
$x_2=-\frac{a}{\sqrt{6}}\left(e^{-i\frac{\pi}{6}}\cdot c+e^{i\frac{\pi}{6}}\cdot c^{-1}\right)-\frac{a_1}{3}$
$x_3=\frac{a_1}{\sqrt{6}}\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\cdot c+e^{i\frac{\pi}{2}}\cdot c^{-1}\right)-\frac{a_1}{3}$
Если a=0, то подстановкой $x=y-\frac{a_1}{3}$ уравнение сводится к виду: $y^3+a=0$
(Сообщение отредактировал latnikta 25 нояб. 2009 4:07)
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 20 нояб. 2009 19:19 | IP
|
|
ninasus
Новичок
|
используй правило Декарта для определения знака корней, и метод Штурма для определения количества действительных корней
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: март 2012 | Отправлено: 30 марта 2012 15:45 | IP
|
|
kahraba
Долгожитель
|
ninasus, ты хотя бы на дату смотри, а то так можно дойти до написания совета на надгробной плите.
|
Всего сообщений: 896 | Присоединился: август 2011 | Отправлено: 31 марта 2012 10:27 | IP
|
|
|
Форум
Формула решения куб.уравнения не методом Кардано
