Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Формула решения куб.уравнения не методом Кардано
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

http://optytrace.100free.com/in.zip
или
http://rapidshare.de/files/4327182/in.zip.html

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 26 авг. 2005 13:41 | IP
Indigo


Удален

Вот смотрите, цитирую первый же абзац Вашего труда:


Рассмотрим квадратичный закон изменения функции f в зависимости от аргумента x.
Обычно такую зависимость записывают в виде

f(x)=ax^2+bx+c

Примем как постулат, что такая запись не достаточна для анализа изменений по
рассматриваемому закону.




Что такое "измененения по рассматриваемому закону"? Изменения чего? Функции? Аргумента? Фаз луны?

Что такое "анализ изменений по рассматриваемому закону"?

Что значит, что запись "недостаточна для анализа изменений по рассматриваемому закону"?

Какое право мы имеем при решении задачи, поставленной в более широкой аксиоматике (задача -о нахождении корней уравнения), вводить какие-то дополнительные постулаты в ходе самого решения? Это уже решение совершенно другой задачи.



Будем рассматривать изменения x и f как изменения между их
“мгновенными состояниями”, обозначаемыми индексами 1,2,3,4,…




Что такое "мгновенные состояния"?
Индексы - это индексы при какой/каких переменной/переменных?




Т.е. изменения могут
происходить от состояния 1 к состоянию 2, от 2 к 3, от 1 к 3, от 3 к 4, от 2 к 4, и т.д., но
никогда в сторону уменьшения индекса, хотя сам владелец индекса при этом может
меняться как в большую так и в меньшую стороны.



Кто же этот таинственный "владелец индекса", и где у него "большая", а где - "меньшая" сторона?



Это важный момент, и термин
“мгновенные состояния” здесь играет значительную роль, хотя возможно и требует
некоторого уточнения или другого названия.




Давайте уточнять.




Еще примем как постулат, что коэффициенты
a и b так же меняются от состояния к состоянию, ибо ни кто не говорил, что они
неизменны.



Если Вы пишете формулу

f(x)=ax^2+bx+c

то тем самым неявно подразумевается, что a,b,c - это некоторые численные параметры, а не переменные величины.
Тогда уж пишите f(a,b,c,x)=ax^2+bx+c.




Наше исследование как раз должно нам показать, изменяются коэффициенты
при степенях аргумента или нет, и если меняются, то как. И это второй важный момент,
ниже будет показано, что изменения коэффициентов при степенях аргумента несут в себе
дифференциальный характер исходного изменения функции f.




Вот тут остановитесь и определитесь - Вы ИЛИ рассматриваете обычный квадратный трехчлен с параметрами a,b,c, ИЛИ функцию четырех переменных f(a,b,c,x).
В первом случае коэффициенты не меняются по определению.
Во втором вопрос о том, КАК они меняются, попросту не имеет смысла.






Свободный член c мы
проигнорируем, т.к. он равноценен f и представляет собою одно из начальных состояний
f, которое отражено соответствующим начальным индексом.



см. выше.

Понимаете, в чем дело - возможно, в Ваших рассуждениях и есть какое-то рациональное зерно, но лично для меня оно теряется за такими вот невнятными формулировками. К тому же я даже не являюсь математиком, но хорошо представляю, как это раздражает профессионалов. Постарайтесь сначала строго все оформить, и гарантирую - это вызовет куда большую доброжелательность и готовность помочь.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 29 авг. 2005 23:22 | IP
Guest



Новичок



Что такое "измененения по рассматриваемому закону"? Изменения чего? Функции? Аргумента? Фаз луны?


Черным по белому написано "изменения функции f в зависимости от аргумента x", что тут непонятного?



Что такое "анализ изменений по рассматриваемому закону"?


Анализ он и в Африке анализ, анализируют чтоб что-то узнать о качественных характеристиках исходного закона изменения



Что значит, что запись "недостаточна для анализа изменений по рассматриваемому закону"?


Это вводный постулат, без предварительных объяснений, но все дальнейшее изложение является объяснением, почему он был введен.



Какое право мы имеем при решении задачи, поставленной в более широкой аксиоматике (задача -о нахождении корней уравнения), вводить какие-то дополнительные постулаты в ходе самого решения? Это уже решение совершенно другой задачи.


Задача была определена с самого начала - провести анализ, не было задачи искать корни, но если метод анализа естественным образом позволил их найти, то это  только дополнительный плюс методу анализа, самому подходу к анализу. Посмотрите внимательно, как они были найдены - на основе качественного вывода, что и есть анализ.



Что такое "мгновенные состояния"?


Возможно не стоило мне вводить этот термин, может надо было просто говорить, что изменения происходят от состояния к состоянию. Абстрактная точка на кривой движения является мгновенным снимком движения - как это внятно и доходчиво объяснить, и стоит ли?



Индексы - это индексы при какой/каких переменной/переменных?


При той, при которой он проставлен - при каждой.



Кто же этот таинственный "владелец индекса", и где у него "большая", а где - "меньшая" сторона?


Да Вы просто придираетесь к словам без попытки вникнуть в их содержание.



Если Вы пишете формулу
f(x)=ax^2+bx+c
то тем самым неявно подразумевается, что a,b,c - это некоторые численные параметры, а не переменные величины.
Тогда уж пишите f(a,b,c,x)=ax^2+bx+c.


В этом месте сама суть изложения. Если Вы не догоняете, что скорость в нелинейном движении изменяется, и при этом само движение не зависит от скорости, это скорость - характеристика движения, то я не знаю, как еще такое объяснять. В приведенной записи "b" - скорость изменения "f" в зависимости от "x".  "f" зависит от "b" совсем не так, как зависит от "x", т.к. "x" - это настоящий аргумент, а "b" - характеристика изменения, его скорость, но она тоже меняется. В это надо просто внимательно вникнуть.



Вот тут остановитесь и определитесь - Вы ИЛИ рассматриваете обычный квадратный трехчлен с параметрами a,b,c, ИЛИ функцию четырех переменных f(a,b,c,x).
В первом случае коэффициенты не меняются по определению.
Во втором вопрос о том, КАК они меняются, попросту не имеет смысла.


В предлагаемом подходе коэффициенты меняются, они изменялись всегда, весь анализ построен на изучении того, как они меняются, нужно отдавать себе в этом отчет. Производные и первообразные - это меняющиеся коэффициенты степенного ряда.



Понимаете, в чем дело - возможно, в Ваших рассуждениях и есть какое-то рациональное зерно, но лично для меня оно теряется за такими вот невнятными формулировками. К тому же я даже не являюсь математиком, но хорошо представляю, как это раздражает профессионалов. Постарайтесь сначала строго все оформить, и гарантирую - это вызовет куда большую доброжелательность и готовность помочь.


Мои формулировки станут максимально прозрачны, надо только попытаться уловить суть алгебраических изменений. И совсем не нужна для вводного изложения какая-то стогость оформления, наоборот, здесь именно необходимо объяснение "на пальцах". Потому что не возможно не заметить, что мало кто отдает себе отчет, какими инструментами он пользуется в анализе, и что они фактически означают.

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 авг. 2005 9:04 | IP
Indigo


Удален





Что такое "измененения по рассматриваемому закону"? Изменения чего? Функции? Аргумента? Фаз луны?





Черным по белому написано "изменения функции f в зависимости от аргумента x", что тут непонятного?




"Изменения" f в зависимости от x полностью описываются формулой f(x)=ax^2+bx+c.
Скорость этих изменений - это производная функции f'(x)=2ax+b.
Не стоит умножать сущности без нужды.






Какое право мы имеем при решении задачи, поставленной в более широкой аксиоматике (задача -о нахождении корней уравнения), вводить какие-то дополнительные постулаты в ходе самого решения? Это уже решение совершенно другой задачи.





Задача была определена с самого начала - провести анализ, не было задачи искать корни, но если метод анализа естественным образом позволил их найти, то это  только дополнительный плюс методу анализа, самому подходу к анализу. Посмотрите внимательно, как они были найдены - на основе качественного вывода, что и есть анализ.




Что-то Вы не ответили на вопрос.
Вроде бы в классическом анализе о квадратичной функции известно все, причем даже не надо получать специальное образование - достаточно средней школы
Если Вы вводите какие-то еще постулаты в ходе решения/анализа, Вы вообще-то должны:

1. Адекватно сформулировать Ваш постулат. Поверьте на слово, фраза "запись не достаточна для анализа изменений" - не является постулатом. И мне очень сложно представить формализацию этого "постулата".

2. Проверить, не получилась ли полученная система (классический анализ + Ваш постулат) противоречивой. В которой, как известно, можно доказать любое утверждение.

3. У Вас получились какие-то результаты. Надо проверить, верны ли они без введения данного постулата, в более широкой системе.

У Вас не сделано ни одного шага.






Что такое "мгновенные состояния"?




Возможно не стоило мне вводить этот термин, может надо было просто говорить, что изменения происходят от состояния к состоянию. Абстрактная точка на кривой движения является мгновенным снимком движения - как это внятно и доходчиво объяснить, и стоит ли?




Отлично, появилась некая кривая.
Если Вы говорите о кривой, то должны указать, в какой системе координат эта ваша кривая?

Квадратичная парабола в прямоугольной декартовой в R^2, где точки кривой имеют вид (x,f(x))? О ней известно ВСЕ ученику средней школы.

Некий рельеф в R^5, заданный точками вида (a,b,c,x,f(a,b,c,x))? О нем известно все выпускнику ВУЗа, где преподавалась высшая математика.



Да Вы просто придираетесь к словам без попытки вникнуть в их содержание.



Не горячитесь.
Я пока пытаюсь определить, стоит ли вникать вообще.

Написано у Вас много. Не исключено, что  среди этого есть и правильные вещи.

Так как я совсем недавний выпускник специального заведения для клинических дебилов, то текст мне читать значительно легче, чем значки-циферки-буковки.

Я читаю текст и нахожу там глупости.

Мне интересно: они появились там из-за того, что Вы просто не знаете, как правильно это записать (это не страшно и даже не предосудительно), из-за невнимательности или из-за того, чтобы "объяснить" еще более глупые глупости среди выкладок?






Если Вы пишете формулу
f(x)=ax^2+bx+c
то тем самым неявно подразумевается, что a,b,c - это некоторые численные параметры, а не переменные величины.
Тогда уж пишите f(a,b,c,x)=ax^2+bx+c.



В этом месте сама суть изложения. Если Вы не догоняете, что скорость в нелинейном движении изменяется, и при этом само движение не зависит от скорости, это скорость - характеристика движения, то я не знаю, как еще такое объяснять.



Знаю, что изменяется. Функция скорости - это производная от функции перемещения. Школьный курс математики я еще худо-бедно помню .
А вот Вы так и не ответили на вопрос.



В приведенной записи "b" - скорость изменения "f" в зависимости от "x".  



Скорость изменения f в зависимости от x - это функция g(x) = 2ax+b.



"f" зависит от "b" совсем не так, как зависит от "x", т.к. "x" - это настоящий аргумент, а "b" - характеристика изменения, его скорость, но она тоже меняется. В это надо просто внимательно вникнуть



Или b - это параметр - тогда он не меняется.
Или b - это аргумент - но тогда это такой же аргумент, как и x.



В предлагаемом подходе коэффициенты меняются, они изменялись всегда, весь анализ построен на изучении того, как они меняются, нужно отдавать себе в этом отчет.



Если Вам не сложно, опишите это на нормальном математическом языке, а не на русском.



Производные и первообразные - это меняющиеся коэффициенты степенного ряда.



Вас не затруднит записать этот степенной ряд?



И совсем не нужна для вводного изложения какая-то стогость оформления, наоборот, здесь именно необходимо объяснение "на пальцах".



Если Вы хотите, чтобы на математическом форуме Вас поняли и посмотрели вашу работу - наверное, все-таки нужна.
Вот как раз Ваше объяснение "на пальцах" мне совершенно непонятно.



Потому что не возможно не заметить, что мало кто отдает себе отчет, какими инструментами он пользуется в анализе, и что они фактически означают.


Это очень плохо. Не берите с таких негодяев пример.

---


Читаю дальше (пока только текст):



При этом он имеет в каждой точке своей траектории меняющуюся скорость. Всем
известный квадратичный закон движения камня описывает СТАРТОВЫЕ условия.



Всем известный квадратичный закон движения камня описывает ВСЕ движение камня вплоть до момента грюка о землю, а не стартовые условия.

Далее в конце этой же страницы у Вас, по-видимому, получилось четыре корня у квадратного уравнения.

Дальше у вас получаются неравенства
b_{2}+b_{1}>0
b_{2}-b_{1}<0
b_{3}+b_{2}<0
b_{3}-b_{2}<0


Решив эти две системы неравенств (сократив b_{2} ), получим b_{1}>0 и b_{3}<0 , из чего следует
необходимость условия b_{2}=0 (равенство нулю первой производной в точке экстремума).



Неправда.
b_{1}=2
b_{2}=1
b_{3}=-2
удовлетворяют системе, при этом b_{2}<>0




Конечно, это не самое строгое определение условий экстремальности. Целью изложенного
было показать общий принцип возможности исследования функций “чистой алгеброй”.



Конечно, не самое строгое. Вы дальше будете "исследовать" многочлены 3-й степени, у которых точки, в которых производная равняется нулю, но которые не являются экстремальными - просто на каждом шагу.




Из этого сам собою напрашивается вывод, что могут существовать такие кубические
формы, у которых в приведенном уравнении постоянный коэффициент (3ca_{1} - b_{1}^2) - равен нулю. Этим свойством можно воспользоваться для поиска решения кубического
уравнения.



Два вопроса.
1. Вы сознательно употребляете термин "кубическая форма" для многочлена 3-й степени от одной переменной, который содержит и свободный член, и члены 1-й степени?
2. Что будем делать с "формами", у которых этот коэффициент не равен нулю?



Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 авг. 2005 11:39 | IP
Guest



Новичок



"Изменения" f в зависимости от x полностью описываются формулой f(x)=ax^2+bx+c.
Скорость этих изменений - это производная функции f'(x)=2ax+b.
Не стоит умножать сущности без нужды.


Вот смотрите. У Вас в этом абзаце три предложения. Вы применили оператор "штрих" во втором предложении, возможно даже не задумываясь, насколько сложен путь от Вашего первого предложения до второго. В рамках классического анализа между ними теория пределов и предельный переход над приращением - очень не простые категории, надеюсь это понятно. Я не оспариваю правомочность применения оператора производной, это конечно все правильно и справедливо. Но статья писалась как раз по причине, озвученной в третьем предложении, а именно "Не стоит умножать сущности без нужды". Ибо определение скорости выполнимо в три элементарных действия - посмотрите внимательно и непредвзято, плиз.



Или b - это параметр - тогда он не меняется.
Или b - это аргумент - но тогда это такой же аргумент, как и x.


Это скорость, зависящая от аргумента. С позиций классики это конечно неизменный параметр, но в рамках статьи он с самого начала обозначен как меняющийся коэффициент. Поэтому спорить тут бесполезно.





В предлагаемом подходе коэффициенты меняются, они изменялись всегда, весь анализ построен на изучении того, как они меняются, нужно отдавать себе в этом отчет.


Если Вам не сложно, опишите это на нормальном математическом языке, а не на русском.


Вся статья и посвящена этому описанию.



Вас не затруднит записать этот степенной ряд?


Любая функция является степенным рядом.



Далее в конце этой же страницы у Вас, по-видимому, получилось четыре корня у квадратного уравнения.


Не четыре, а два. Они равны парами, смотрите внимательно.



Неправда.
b_{1}=2
b_{2}=1
b_{3}=-2
удовлетворяют системе, при этом b_{2}<>0


Я настаиваю на нестрогости изложения. В строгом возможно надо было ввести еще условие равенста изменений аргумента вокруг исследуемой точки, или еще что-то, не важно. А здесь просто здравый смысл должен был показать, что имелось ввиду. Хотя Вы правы, стоит уточнить.

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 авг. 2005 15:09 | IP
Indigo


Удален



Вот смотрите. У Вас в этом абзаце три предложения. Вы применили оператор "штрих" во втором предложении, возможно даже не задумываясь, насколько сложен путь от Вашего первого предложения до второго.






Знаете, я вообще никогда особо не задумываюсь, когда говорю/пишу о производной квадратного трехчлена.





В рамках классического анализа между ними теория пределов и предельный переход над приращением - очень не простые категории, надеюсь это понятно.



Если предельный переход и "теория пределов" для Вас - это "очень не простые категории", то имхо стоит сначала понять классический математический анализ (в котором по сути других принципиальных методов, кроме предельного перехода, и нет), а затем выдумывать свой?
Беру свои слова назад в случае, если Вы - школьник не старше 10-го класса.



Ибо определение скорости выполнимо в три элементарных действия - посмотрите внимательно и непредвзято, плиз.



Я, наверное, идиот и чего-то не понимаю в Ваших рассуждениях.

Почему, ну из каких-таких предпосылок Ваш параметр b, какой бы он ни был - это скорость тела, которое движется по квадратичному закону?





Или b - это параметр - тогда он не меняется.
Или b - это аргумент - но тогда это такой же аргумент, как и x.





Это скорость, зависящая от аргумента.



Так, кое-что выяснилось.
Коэффициенты - это еще какие-то функции от x.
Следовательно, b:=b(x).
Подозреваю, что a:=a(x) и c:=c(x).
Так?

Тогда на самом деле Ваша функция имеет такой вид:

f(x)=a(x)x^2+b(x)x+c(x)

Так?

Так это НЕ квадратичная зависимость f от x, а хрен-знает-какая. И о корнях КВАДРАТНОГО (а далее -кубического) уравнения в таком случае говорить нельзя.



Поэтому спорить тут бесполезно.



Такой фразой, вместо привычного Q.E.D., следовало бы оканчивать доказательства в учебнике по женской логике



Любая функция является степенным рядом.




Мощное заявление.
Это не так.



Не четыре, а два. Они равны парами, смотрите внимательно.



Да, прошу прощения. Это действительно так.





Неправда.
b_{1}=2
b_{2}=1
b_{3}=-2
удовлетворяют системе, при этом b_{2}<>0



Я настаиваю на нестрогости изложения.


Это не "нестрогость изложения", это ошибка на уровне шестого класса средней школы.



В строгом возможно надо было ввести еще условие равенста изменений аргумента вокруг исследуемой точки, или еще что-то, не важно.


Ну-ну.

Хорошо, во мне проснулся азарт прочитать Вашу статью по-хорошему и задать пару десятков вопросов.
Начнем с первой страницы.
Итак:



Свободный член c мы
проигнорируем, т.к. он равноценен f и представляет собою одно из начальных состояний
f, которое отражено соответствующим начальным индексом.



Итак, с - константа. Хорошо.
a и b зависят от х. Отлично. Будем писать: a(x), b(x).

Далее, Вы рассматриваете некоторые "состояния" x_{1}, x_{2}, f_{1}, f_{2}, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}.
Вопросы:

1. Правильно ли я понимаю, что a_{1}:=a(x_{1}), b_{1}:=b(x_{1}), a_{2}=a(x_{2}), b_{2}:=b(x_{2})?

2. Верно ли, что
f_{1}=a_{1}x_{1}^2+b_{1}x_{1}+c ,
f_{2}=a_{1}x_{2}^2+b_{1}x_{2}+c ?

Пока остановлюсь.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 авг. 2005 18:46 | IP
dm


Удален


Цитата: Guest написал 30 авг. 2005 14:09
Любая функция является степенным рядом.


Очень любопытно...

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 авг. 2005 19:18 | IP
Guest



Новичок





Любая функция является степенным рядом.


Мощное заявление.
Это не так.


Хотелось бы, чтоб мы понимали друг друга. Имелась в виду такая любая - которую можно анализировать, которую можно разложить в ряд, у которой определимы производные. Пусть не на всей области определения, то  по крайней мере на той ее части, на которой производные определимы. Если определимы, значит на этой части функция разлагается в ряд, и значит она степенной ряд. Давайте не цепляться к словам.



Итак, с - константа. Хорошо.
a и b зависят от х. Отлично. Будем писать: a(x), b(x).
Далее, Вы рассматриваете некоторые "состояния" x_{1}, x_{2}, f_{1}, f_{2}, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}.
Вопросы:
1. Правильно ли я понимаю, что a_{1}:=a(x_{1}), b_{1}:=b(x_{1}), a_{2}=a(x_{2}), b_{2}:=b(x_{2})?
2. Верно ли, что
f_{1}=a_{1}x_{1}^2+b_{1}x_{1}+c ,
f_{2}=a_{1}x_{2}^2+b_{1}x_{2}+c ?


Нет. Так не правильно писать. В предложенном синтаксисе функция может зависеть от аргумента только как зависимость ИЗМЕНЕНИЯ функции от ИЗМЕНЕНИЯ аргумента, но не как Вы написали - зависимость единственного состояния функции от состояния аргумента. А вот коэффициенты входят в функцию именно как "мгновенные состояния". Улавливаете? И при этом ИЗМЕНЕНИЯ коэффициентов естественным образом зависят от ИЗМЕНЕНИЯ аргумента в той форме, как это описано. Нужно уловить эти различия. Изменение - это разность между состояниями, оно же приращение, отражается двумя индексами,  а состояние - одним индексом. В классической форме записи f(x) действуют те же самые правила, но только это не конкретизируется так подробно, и многими эти тонкости недопонимаются. Под f здесь надо понимать разность между f и нулем, т.е. это изменение от состояния нуля до состояния f, с x аналогично. Из-за того, что детали состояний не конкретизируются, из внимания выпадает много полезной для анализа информации, исправлению этой ситуации и посвящена статья.

А вообще, начните с конца. Проверьте численно предложенное в конце решение куб.уравнения при помощи excel файла. Если не доверяете моему excel файлу, то составте свой, это не сложно. И если счет будет правильным, то ответьте себе на вопрос - как можно в чем-то ошибаться и при этом получить такую сложную форму решения? Только не ищите три действительных значения, такое и формула Кардано не считает, т.к. тогда под квадратнм корнем отрицательность. Формулой с радикалами можно вычислить только одно действительное значение корня, остальные два будут мнимыми. От самой формулы решения, конечно, ни какого проку нету, корни обычно ищут численными методами. Привел ее только чтоб привлечь внимание к методу, и надеюсь эта пиарность будет простительна.

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 31 авг. 2005 7:09 | IP
dm


Удален


... у которой определимы производные. Если определимы, значит на этой части функция разлагается в ряд, и значит она степенной ряд. Давайте не цепляться к словам.


Это неверно в принципе! И это не придирки к словам. Вы пришли на математический форум. Будьте любезны изъясняться точнее. И не только в этом моменте. Есть же общие критерии математической строгости. А о философских моментах вообще лучше на математическом форуме промолчать - они только мешают.

(Сообщение отредактировал dm 31 авг. 2005 15:41)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 авг. 2005 16:39 | IP
Guest



Новичок



Это неверно в принципе! И это не придирки к словам. Вы пришли на математический форум. Будьте любезны изъясняться точнее. И не только в этом моменте. Есть же общие критерии математической строгости. А о философских моментах вообще лучше на математическом форуме промолчать - они только мешают.


Ok

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 31 авг. 2005 17:59 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com