Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        теорема Геделя о неполноте
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

valjok


Удален

Каким же образом доказывается теорема Геделя о неполноте формальных систем? Идея доказательства заключается в том, чтобы построить пример формулы, которая была бы недоказуема и, вместе с тем, содержательно истинна. Таковой являлась бы формула, содержательный смысл которой заключается в том, что она утверждает свою собственную недоказуемость, т.е. невыводимость из аксиом рассматриваемой формальной системы.

Далее идёт построение этой формулы. Но мне кажется, что возникает противоречие: формула верна и ложна одновременно, значит - исчисление протеворечиво. Может быть просто математика "неправильная"? Прочтя вот это http://ivanem.chat.ru/godel1.htm , я так и не понял, может ли человек решить неразрешимую задачу?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 июля 2005 23:11 | IP
valjok


Удален

В догонку, вопрос по дискретке.

В отличае от арифметики, более простая аксиоматическая теория, логика предикатов  - свободна от противоречий. То есть согласно теореме о полноте Гейгеля - она полна и непротивотечива. Читаю дальше, подходим к теории алгоритмов, "не найдётся алгоритма, который для произвольной формулы убеждался бы в её истинности или ложности", (с) Чёрч 1936 г. Но позвольте, в полной теории, можно доказать все истенные и ложные утверждения (замкнутые формулы)! Это связано как-то с тем, что исчисление предикатов первого порядка является неразрешимой элементарной теорией для матструктуры М в отличае от булевой алгебры? Совсем запутался.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 0:40 | IP
SCERB


Удален

Насколько я помню, теорема Геделя о неполноте говорит что  формальная арифметика  (система аксиом и правил вывода. индукция, кажется, допускается инфинитная, но точно помню, что не допускается трансфинитная) неполная теория, то есть, существуют формулы о которых формальная арифметика не может сказать, истинны они или ложны.

Насколько помню, если к правилам вывода добавить трансфинитную индукцию, то такая формальная система станет полной (это уже не теорема Геделя, а кого то из математиков, имя которого, увы, сейчас припомнить не могу).

Теорема Геделя показывает ограниченность применения аксиоматизаций в математике.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 июля 2005 15:22 | IP
Unnamed


Новичок

valjok

Далее идёт построение этой формулы. Но мне кажется, что возникает противоречие: формула верна и ложна одновременно, значит - исчисление протеворечиво.

Такого противоречия, вроде-то там нет. Но вот такой подход мне действительно не нравится. Мне кажется, что утверждения (высказывания (мы будем рассматривать только абсолютные)), замкнутые (рекурсивно) сами на себе – на собственной верности (верностью будем называть качество высказывания быть истинным или ложным), на самом деле существовать не могут – т.е. такие фразы – это никакие не высказывания вовсе. Допущение подобных высказываний, на мой взгляд, приводит примерно к таким же плачевным результатам, как допущение вольных обращений со множествами в наивной теории множеств.

Для того, чтобы опознать такое псевдовысказывание, полезно бывает раскрыть то, что я называю контекстом высказывания (который обычно кроется как бы в свёрнутом виде, а потому часто ускользает из виду в силу того, что не босается в глаза).

Рассмотрим примеры (некоторые из них есть в ссылке). Для равнозначных высказываний будем использовать знак “<=>”.

1) Высказывание A1: «Данное высказывание ложно» <=> «Высказывание A1 ложно» <=> (раскрываем контекст) «Является ложью высказывание о том, что A1» <=> (раскрываем A1) «Является ложью высказывание о том, что «Является ложью высказывание о том, что «...»»» (бесконечная рекурсия).

Как видно, данное псевдовысказывание лишено смысла, т.к. бесконечно ссылается на само себя. Хотя, на первый взгляд, может показаться, что оно является-таки нормальным высказыванием (если смотреть на неприведённое высказывание, где бессмысленность ещё неочевидна), только вот определить его истинность не представляется возможным: если оно истинно, то получается, что оно ложно, и наоборот.

2) Высказывание A2: «Я не верю в истинность этого высказывания» <=> «Я не верю в то, что A2» <=> (раскрываем A2) «Я не верю в то, что «Я не верю в то, что «...»»» (бесконечаная рекурсия).

Опять же налицо отсутствие осмысленности у A2. И в то же время, можно попробовать придать ему некий смысл. Тогда снова получится белиберда (что неудивительно, т.к. смысла у него всё-таки нет). Если я верю в истинность A2, то я верю, в то, что не верю в истинность A2. Если же я не верю в истинность A2, то A2, очевидно, истинно, т.е. я должен в A2 поверить. В приведённой ссылке упоминался какой-то бред о раздвоении «Я», но иначе как бредом я это назвать не могу (в целом материал мне понравился, к тому же я читал раньше «Тени разума» Пенроуза, но вот там, где автор пишет про субъекта (3-я страница почти целиком), – бред ещё тот – если интересно, могу в форуме «Свободное общение» высказать свою критику). Хотя бы потому, что я могу сформулировать подобные псевдовысказывания так, что никакие раздвоения и т.п. не помогут (например: «Никаким макаром я не верю в A2 – т.е. ни я сам и никакое моё «раздвоенное Я» не может поверить в A2!»).

3) Высказывание A3: «Никто и ничто не может достоверно установить истинность данного высказывания» <=> «Никто и ничто не может достоверно установить истинность того, что A3» <=> (раскрываем A3) «Никто и ничто не может достоверно установить истинность того, что «Никто и ничто не может достоверно установить истинность того, что «...»»» (бесконечная рекурсия).

Снова бессмыслица. А теперь представим, что смысл всё-таки есть (в очередной раз забудем про то, что мы вывели, и посмотрим на изначальную формулировку). Можно сказать, что истинность или ложность любого высказывания устанавливает Реальность. Но, помимо Реальности, есть также другие объекты (Реальность – это как бы некий фундаментальный объект, устанавливающий правильность всех высказываний), которые могут достоверно устанавливать верность какой-то группы высказываний. Данное высказывание утверждает, что ни Реальность, ни какой-либо другой устанавливающий правильность высказываний объект не сможет достоверно установить истинность этого высказывания.

Рассмотрим два случая:
1) если A3 истинно, то Реальность уже устанавливает, что A3 истинно, но само A3 это запрещает (поскольку запрещает установление истинности кем-либо и чем-либо);
2) если A3 ложно, то, согласно A3, кто-то или что-то обязательно должно достоверно установить его истинность, что невозможно, т.к. A3 всё-таки ложно.

В обоих случаях противоречие. А вот стоит нам только убрать из рассматриваемых объектов Реальность (полагать, что «никто и ничто» в A3 – это любой объект, отличный от Реальности), как первый случай уже проходит. И теперь все эти остальные (кроме Реальности) объекты можно на здоровье обзывать «дураками». А можно выкинуть ещё побольше объектов – дабы «дураков» и «знатоков» было столько, сколько нам нужно. Вот и будем мы рассматривать формулы, утверждающие собственную недоказуемость – в рамках той системы, которую мы намереваемся обозвать тупой, разумеется. Но не является ли допущение формул с подобным содержательным смыслом ошибочным?

(Сообщение отредактировал Unnamed 15 июля 2005 17:40)

Всего сообщений: 44 | Присоединился: март 2005 | Отправлено: 15 июля 2005 17:32 | IP
Guest



Новичок

Мда...
Почитал http://ivanem.chat.ru/godel1.htm
Выходит, что там в рамках данной формальной теории доказали недоказуемую формулу. Не бред ли это?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 15 июля 2005 17:51 | IP
Indigo


Удален


Цитата: Guest написал 15 июля 2005 16:51
Не бред ли это?



Еще хуже! Это - философия...

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 июля 2005 18:16 | IP
SCERB


Удален

Господа, при построении невыводимой в формальной арифметике (аксиомы и правила вывода) формулы Гедель использовал идею парадокса лжеца.

А именно:на Крите все жители лжецы. Критянин Вася говорит "я лжец". Так как Вася  критянин, то он действительно лжец. Но так как он лжец и говорит, что он лжец, то получается, что он говорит правду.

Насколько мне известно, теорема Геделя принята многими математиками, в том числе и Давидом Гильбертом.

Это важная и интересная теорема, которую надо знать, понимать, но никак не паниковать, что в математике что-то нехорошо.

Если и выявятся противоречия, проколы, не переживайте, все будет хорошо, найдется кому латать дыры.

Свою силу и истинность математика подтверждает практикой.

Если бы расчеты были неверными, то компьютеры не работали бы, самолеты и космические корабли не летали бы, а балерины не танцевали бы на радость зрителям.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 16 июля 2005 16:00 | IP
SCERB


Удален

" Прочтя вот это http://ivanem.chat.ru/godel1.htm , я так и не понял, может ли человек решить неразрешимую задачу?"

Что значит неразрешимую задачу?
Для первоклассника квадратное уравнение неразрешимая задача.

Если же понимать под неразрешимой задачей, например, постулат Евклида о параллельных прямых, то нельзя.

Если Вы добавите в систему аксиом Евклида его 5-й постулат, то получите геометрию Евклида, если добавите аксиому о параллельных в форме Лобачевского (некоторое отрицание 5-го постулата Евклида), то получите геометрию Лобачевского (гиперболическую геометрию).





(Сообщение отредактировал SCERB 16 июля 2005 15:19)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 16 июля 2005 16:17 | IP
valjok


Удален



Рассмотрим примеры (некоторые из них есть в ссылке). Для равнозначных высказываний будем использовать знак “<=>”.

1) Высказывание A1: «Данное высказывание ложно» <=> «Высказывание A1 ложно» <=> (раскрываем контекст) «Является ложью высказывание о том, что A1» <=> (раскрываем A1) «Является ложью высказывание о том, что «Является ложью высказывание о том, что «...»»» (бесконечная рекурсия).

Как видно, данное псевдовысказывание лишено смысла, т.к. бесконечно ссылается на само себя. Хотя, на первый взгляд, может показаться, что оно является-таки нормальным высказыванием.




Всё так, только похоже, что без рекурсий в математике неьзя, например супремум:


По мнению Рассела, все парадоксы возникают из-за одной логической ошибки, названной им принципом порочного круга. Этот принцип можно сформулировать так: «Если для того, чтобы определить множество, необходимо использовать все множество, такое определение не имеет смысла». Пуанкаре предложил для этого специальный термин «непредикативное определение». Как бороться с непредикативными определениями, было непонятно. С одной стороны, такие определения могут приводить к парадоксам, но, с другой стороны, как переформулировать определения, чтобы они не были непредикативными?

В качестве непредикативного определения можно привести определение наименьшей верхней границы. Рассмотрим множество всех x, таких, что 3<x<5. Верхними границами называются числа, превосходящие все числа данного множества. Среди них существует наименьшая – это число 5. Таким образом, наименьшая верхняя граница определена через класс верхних границ, содержащий ее саму, но сформулировать его иначе не удавалось.

Взято с http://www.abitu.ru/researcher/issl_work/sh1553/kurs2004/a_1lhmgr.html


Цитата: Indigo написал 15 июля 2005 20:16

Цитата: Guest написал 15 июля 2005 16:51
Не бред ли это?



Еще хуже! Это - философия...



Доказывали-то математики, Гёдель /= Гегель. Хотелось бы пояснений на вторую часть вопроса о невозможности доказать тождественную истинность любой формулы исчисления предикатов, к философии он пока не имеет отношения. Почему Гёдель говорит - можно, Чёрч - нельзя?

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 16 июля 2005 16:59 | IP
valjok


Удален


Но так как он лжец и говорит, что он лжец, то получается, что он говорит правду.


Значит, в действительности он лжёт и поэтому говорит не правду. Вот от непонимания и паника. Как можно при доказательстве играть на парадоксах? Уж очень хочется знать, лжёт он или нет на самом деле, каким экспериментом это можно проверить? Существование всемогущего бога можно опровергнуть таким парадоксом, а с Ивановым как быть, который и в самом деле может доказать, что доказать не может?


Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 16 июля 2005 17:15 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com