SCERB
Удален
|
    
Но насколько я помню, объединение счетного числа счетных множеств может быть несчетным, теорема Кантора, диагональный процесс.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 апр. 2005 17:41 | IP
|
|
Unnamed
Новичок
|
Извиняюся за глупый вопрос :-)
Равномощно ли множество всех действительных чисел множеству всех его подмножеств?
|
Всего сообщений: 44 | Присоединился: март 2005 | Отправлено: 24 апр. 2005 18:52 | IP
|
|
dm
Удален
|
SCERB
Не может. Вы путаете объединение с декартовым произведением.
Unnamed
Вопрос не глупый, а стандартный. Ответ: нет.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 24 апр. 2005 20:32 | IP
|
|
Unnamed
Новичок
|
Вопрос не глупый, а стандартный. Ответ: нет.
Просто на время мне показалось, что мне удалось придумать способ установить взаимооднозначное соответствие между этими множествами (хотя я и думал «что за фигня? не может такого быть! :-)»)
Способ заключался в следующем. Пусть дано произвольное подмножество действительных чисел M. Будем рассматривать новое подмножество действительных чисел P, все элементы которого получены из всех элементов M по следующему правилу:
p = (m+2)/4, если |m|≤1
p = (1/m+3)/4, если m>1
p = (1/m+1)/4, если m<–1,
где p принадлежит P, m принадлежит M.
Как видно, для любого p, принадлежащего P, выполнено неравенство:
0<p<1
(собственно, ради чего и совершалось вышеуказанное преобразование M во множество P).
Задача заключается в том, чтобы каждое число из множества P как-то “запихнуть” в одно-единственное число r (принадлежащее множеству действительных чисел R) так, чтобы можно было бы глядя на r для любого действительного x указать, входит ли x во множество P или нет. Разрешение этой задачи предполагалось осуществить следующим образом.
Будем составлять число r из двоичных знаков в двоичной позиционной системе счисления (так проще). Числа, принадлежащие множеству P, также будем брать в двоичной записи. Составление числа будет происходить пошагово – добавлением в его конец двоичных знаков (тем самым число будет уточняться с каждым шагом). Т.к. все числа p (принажлежащие P) лежат в интервале (0; 1), то любое из них можно записать в виде
0,d1d2d3d4...dn...,
где dn – n-й двоичный знак после запятой в двоичной записи числа.
Шаг 1-й.
Если среди чисел в P есть хотя бы одно, двоичная запись которого начинается с
0,0, то записываем
r = 0, 1;
в противном случае записываем
r = 0, 0;
Шаг 2-й
Если среди чисел в P есть хотя бы одно, двоичная запись которого начинается с
0,1, то дописываем в конец нашего r цифру 1
(r = 0, c11);
в противном случае дописываем цифру 0
(r = 0, c10).
Шаг 3-й.
Если среди чисел в P есть хотя бы одно, двоичная запись которого начинается с
0,00, то дописываем в конец нашего r цифру 1
(r = 0, c1c21);
в противном случае дописываем цифру 0
(r = 0, c1c20).
Шаг 4-й.
Если среди чисел в P есть хотя бы одно, двоичная запись которого начинается с
0,01, то дописываем в конец нашего r цифру 1
(r = 0, c1c2c31);
в противном случае дописываем цифру 0
(r = 0, c1c2c30).
Шаг 5-й.
Если среди чисел в P есть хотя бы одно, двоичная запись которого начинается с
0,10, то дописываем в конец нашего r цифру 1
(r = 0, c1c2c3c41);
в противном случае дописываем цифру 0
(r = 0, c1c2c3c40).
и т.д. (т.е. берутся 0,11; 0,000; 0,001; 0,010; 0,011; 0,100; 0,101; 0,110; 0,111; 0,0000; ...)
Процесс пошагового добавления знаков происходит бесконечно. В результате получается некое действительное число r. Для того чтобы теперь узнать, входит ли некое действительное число x в подмножество P, воспользуемся обратной процедурой, т.е. будем пошагово проверять соответствие первых t знаков нашего x t знакам всех чисел из P, где t будем неограниченно увеличивать (каждый раз на 1). Если вдруг на каком-то k-ом шаге выяснится, что чисел из P, имеющих первыми k знаками первые k знаков числа x, нет, то наше x в P не входит. Если же ни при каких конечных t выявить “несовпадений” не удаётся, то на первый взгляд может показаться, что число x входит P (во всяком случае мне так поначалу показалось).
Однако если вспомнить про последовательности, сходящиеся к какому-либо числу, то легко видеть, что число, к которому сходится последовательность, на любом шаге проверки обязательно будет совпадать со значениями последовательности из достаточно малой окрестности данного числа. Следовательно, способ никуда не годный :-)
|
Всего сообщений: 44 | Присоединился: март 2005 | Отправлено: 24 апр. 2005 22:37 | IP
|
|
SCERB
Удален
|
dm, Вы абсолютно правы, в тереме Кантора используется декартово произведение счетных множеств. Общение на форуме очень полезно.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 апр. 2005 13:50 | IP
|
|
sms
Удален
|
dm имеет в виду, что справедлива такая теорема:
множество всех подмножеств произвольного множества всегда имеет мощность большую, чем исходное множество. Так что это верно не только для действительных чисел, а просто всегда.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 апр. 2005 20:54 | IP
|
|
|
Форум
Множества
