Форум - 2.1.15 Числовые ряды

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.1.15 Числовые ряды
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

Roman Osipov

Долгожитель
Числовые ряды: теория и конкретные примеры.
Для вопросов сходимости есть соотв. тема!

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 19 апр. 2009 14:12 | IP

Svetik1989

Новичок

Погомогите решить)))заранее спасибо

(Сообщение отредактировал attention 21 фев. 2010 4:27)

Всего сообщений: 16 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 27 апр. 2009 12:01 | IP

Sergey91

Новичок
Помогите решить:

Для данного ряда записать последовательность его частных сумм, затем пользуясь непосредственно определением, доказать сходимость ряда и найти его сумму.
Задания приведены на картинке:

Всего сообщений: 14 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 21 мая 2009 20:27 | IP

Olegmath2

Полноправный участник
№1. Решение.

Sum{1_+бесконечность}(1/(4n^2-1)).

a_n=1/(4n^2-1)=1/((2n-1)*(2n+1))=A/(2n-1)+B/(2n+1).

Найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов неизвестные A и B из равенства:

1/((2n-1)*(2n+1))=A/(2n-1)+B/(2n+1), (*)

Умножим обе части равенства (*) на общий знаменатель всех дробей, фигурирующих в этом равенстве, т.е. на (2n-1)*(2n+1). Тогда получим равенство:

1=A*(2n+1)+B*(2n-1);

1=2An+A+2Bn-B;

1=(2A+2B)*n+(A-B);

0*n+1=(2A+2B)*n+(A-B);

У равных многочленов соответствующие коэффициенты равны. Следовательно,

{2A+2B=0, (1)
{A-B=1, (2)

(1) => 2A=-2B => A=-B, (3) => (2) => -B-B=1; -2B=1; B=-1/2 => (3) => A=1/2.
{A=1/2,
{B=-1/2.

Подставим найденные значения A и B в равенство (*):

a_n=1/((2n-1)*(2n+1))=(1/2)/(2n-1)-(1/2)/(2n+1), (4).

Запишем выражение для n-й частичной суммы данного ряда и преобразуем его, пользуясь равенством (4).

S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_(n-1)+a_n=

=1/2*(1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+…+1/(2n-3)-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1))=

=1/2*(1/1-1/(2n+1))=1/2-1/(2*(2n+1)) => S_n=1/2-1/(2*(2n+1)).

Теперь найдём сумму S данного ряда, используя определение:

S=lim{n->+бесконечности}(S_n)= lim{n->+бесконечности}(1/2-1/(2*(2n+1)))=1/2.

Ответ: S_n=1/2-1/(2*(2n+1)), S=1/2.

Задача №2 решается аналогичным образом. Для решения задачи №3 воспользуйтесь формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 21 мая 2009 21:47 | IP

belka 456

Новичок
Помогите решить

(Сообщение отредактировал attention 21 фев. 2010 4:27)

Всего сообщений: 7 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 8 июня 2009 16:33 | IP

Anatoly

Новичок
Добрый день, помогите с решением, пожалуйста

(Сообщение отредактировал attention 21 фев. 2010 4:28)

Всего сообщений: 2 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 11 июня 2009 23:56 | IP

Arhangel1990

Новичок
Помогите пожалуйста решить:
а)Sum{1_+бесконечность}1-cos(sqrt(n))/n^2+n-1
б)Sum{1_+бесконечность}1*3*5(2n-1)/3^n(n+1)!
в)Sum{1_+бесконечность}(4n-1/3n+2)^n
г)Sum{1_+бесконечность}(-1)^n/n*(n+1)

Всего сообщений: 30 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 11 окт. 2009 14:34 | IP

Sav

Новичок
Помогите решить....взаранее спасибо))))
Найти интервал сходимости степного ряда
Sum{1_+бесконечность}AnX^n
а)2n/n^n
б)1/(n+2)ln(n+2)

Всего сообщений: 8 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 11 окт. 2009 15:00 | IP

SSSergey

Новичок
Помогите пожалуйста решить задачки
1

2

Всего сообщений: 27 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 21 фев. 2010 1:18 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: SSSergey написал 21 фев. 2010 1:18
Помогите пожалуйста решить задачки
1

2

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$

Найдем радиус $R$ сходимости степенного ряда.

$a_{n} = \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }$

$a_{n+1} = \frac{3^{n+1} }{\sqrt{n+1} }$

$R = \lim\limits_{n \to +\infty} |\frac{a_{n} }{a_{n+1} }| = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{3^{n}\sqrt{n+1} }{3^{n+1}\sqrt{n} } =$

$= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{3}\sqrt{1+\frac{1}{n} } = \frac{1}{3}\sqrt{1 + 0} = \frac{1}{3}$

$R = \frac{1}{3}$

$|x| < R$

$|x| < \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{3}$

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$ сходится на интервале $(-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}).$

Рассмотрим граничные точки $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{3}.$

При $x = \frac{1}{3}$ исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n} }.$ Извесно, что данный ряд является расходящимся.

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$ при $x = \frac{1}{3}$ расходится.

При $x = - \frac{1}{3}$ исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{\sqrt{n} }.$

$c_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} }$

$\lim\limits_{n \to +\infty} c_{n} = 0 \ \ \ c_{n+1} < c_{n}$

По теореме Лейбница ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{\sqrt{n} }$ является сходящимся. Таким образом, при $x = - \frac{1}{3}$ исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$ сходится.

В итоге, степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{n} }{\sqrt{n} }x^{n}$ сходится на полуинтервале $[-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}).$

(Сообщение отредактировал RKI 21 фев. 2010 16:05)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 фев. 2010 15:55 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ]