VAL
Новичок
|
     
Ниже приведены примеры задач конкурса "Математический марафон"
-------------------------
ММ2
Пусть P - периметр выпуклого n-угольника, а S - сумма длин его диагоналей.
Найти диапазон изменения P/S при:
n = 4;
n = 5;
произвольном n, большем 3;
----------------------------
ММ8
Последовательность задана по правилу:
f(n) = -1, если n mod 53 = 0
f(n) = n (mod (n mod 53)), в остальных слyчаях
1. Каково наибольшее значение f(n)?
2. Пpи каком наименьшем n оно достигается maximum?
3. Какое максимальное количество единиц, идyщих подpяд, встpечается в этой последовательности?
4. Какие числа встpечаются в последовательности чаще чем -1?
-------------------------------
ММ20
Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба.
--------------------------------
ММ48
Игоговую таблицу однокругового шахматного турнира будем называть "строгой", если никакие два участника не имеют поровну очков. Турнир со строгой таблицей также будем называть "строгим".
1) Гросмейстер Грустин Попалов выиграл в строгом турнире больше партий, чем каждый из других участников. На каком месте мог он оказаться в итоге, если в турнире участвовало n шахматистов?
2) Гроссмейстер Любомир Миролюбоевич шесть лет подряд играл в однокруговых рождественских турнирах в городе Зейк-ан-Вее. Каждый год он завершал все свои партии вничью, но год от года занимал все более высокое место. В каждом турнире было n участников и все они были строгие. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?
3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии правильного турнира при n участниках. Найти явное выражение для d(n).
---------------------------------
ММ60
Триша Тройкин, Петя Пятаков и Сёма Семак пытаются сконструировать собственный генератор псевдослучайных чисел.
Для этого они взяли натуральные числа a и m (одни и те же у всех троих) и выстраивают последовательность по правилу:
xn+1 = xn*a (mod m).
Начав с некоторого x1, Триша посчитал x2, x3 и x4. Но x4 оказалось равно x1.
Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x1. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату.
Петя совершил пять попыток подобрать x1. Но всякий раз получал новые циклы длины 5.
Наиболее упорным оказался Сёма. Он совершил семь попыток. И получил семь циклов длины 7.
При каком наименьшем m могла возникнуть такая ситуация?
---------------------------------
ММ61
Футбольные команды Честеpман, Елсич, Пулливеp, Сеналаp и Тонбол пpовели
однокpуговой туpниp.
Его итоги таковы:
Команда..... О PM
Елсич......... 10 3-0
Честеpман... 6 9-6
Пулливеp.... 6 2-7
Сеналаp..... 5 3-1
Тонбол....... 1 2-5
Тpебуется восстановить туpниpную таблицу (указать счет каждого матча).
Пpимечания:
в колонке "О" указано количество очков, набpанных каждой командой;
в колонке "РМ" чеpез дефис указано суммаpное количество забитых и пpопущенных
командой голов;
за победу команде начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко.
---------------------------------
ММ63
В стране, каждый житель которой либо рыцарь (они всегда говорят правду), либо лжец (задачные лжецы, в отличие от настоящих, всегда лгут), за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа - лжецы.
На почве столь резких высказываний разразился небольшой скандал, в результате которого часть компании покинула застолье.
После этого каждый из оставшихся с удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа - рыцари.
- И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца - согласился с ними последний из покидавших компанию.
Тем временем, "отщепенцы" организовали новое собрание, и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом произнес, что среди его соседей ровно один рыцарь.
Сколько человек осталось сидеть на своих местах после раскола компании?
----------------------------
ММ74
Вася и Петя поспорили.
Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого
правильные многоугольники, а все 16 ребер имеют длину 1, больше единицы.
Петя же утверждает, что объем такого многогранника меньше единицы.
Кто из них прав?
_________________
В.Пупкин, ассистент одной из математических кафедp N-ского унивеpситета,
скучал на заседании кафедpы. Взгляд его блуждал, останавливаясь то на затылках
сидящих впеpеди доцентов, то на лице заведующего, то на поpтpете одного из
светил отечественной математической науки, висевшем над головой завкафедpой,
левее таблицы фактоpиалов натуpальных чисел, не пpевосходящих 50. Под поpтpетом
были указаны имя и годы жизни ученого. От нечего делать Пупкин пеpемножил год
pождения светила на год pождения завкафедpой. Поскольку доклад последнего о
меpопpиятиях по повышению качества учебного пpоцесса в текущем учебном году
все не кончался, Пупкин домножил полученное пpоизведение на год своего pождения,
а затем на годы pождения маячивших впеpеди доцентов.
"Сосчитав" последнего доцента Пупкин с удивлением обнаpужил, что pезультат его
усеpдных вычислений совпал с одним из чисел в таблице фактоpиалов.
Сколько доцентов сидело между Пупкиным и завкафедpой?
Поpтpет какого математика он лицезpел на заседании кафедpы?
--------------------------------
ММ89
Для каждого натурального n определим функцию f(n) так. f(n) = k, если:
1) на плоскости можно расположить k попарно различных точек так, чтобы множество всевозможных попарных расстояний между этими точками содержало ровно n элементов;
2) для любого бОльшего числа точек подобное расположение невозможно.
1. Доказать, что f(n) ≥ 2n+1.
2. Может ли f(n) быть строго больше 2n+1?
-----------------------
ММ65
Математик С предложил математикам А и В такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.
Узвав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел.
В: Если бы “мое” число было произведением, я бы знал загаданные числа.
А: Но я, все равно, не знаю этих чисел.
В: Да и я не знаю.
А: А я уже знаю их.
В: Да и я знаю.
Что это за числа?
-----------------------
Приведенные выше задачи утратили статус конкурсных. Их можно обсуждать здесь.
Если Вас заинтересовала хотя бы одна из этих задачек, милости прошу на мою домашнюю страничку. Там есть задачки посвежее (конкурсные).
|
Форум
Математический Марафон
