unknown
Новичок
|
    
Доброго сем! Народ, помогите плз решить 2 задачи:
1) Найти неопределенный интеграл и проверить результат:
S(1 / sqrt(4 - x ^ 2) + 1 / (x^2 + 3))dx;
2) Найти общее решение дифференциального уравнения:
y' + (2 * y) / x = (e^(-x^2)) / x;
Плиз хелп =*(
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 4:31 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
2)
Сначала решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее исходному неоднородному:
y' + 2y/x = 0
y' = -2y/x
dy/dx = -2y/x - это уравнение с разделяющимися переменными
dy/y = -2dx/x
В результате интегрирования получаем
ln|y| = -2ln|x| + const
ln|y| = ln(1/x^2) + const
ln|y| = ln(const/x^2)
|y| = const/x^2
y = const/x^2
Далее будем обозначать константу через C.
Мы нашли решение однородного уравнения, соответствующего исходному неоднородному. Для решения исходного неоднородного уравнения будем варьировать константу, то есть C=C(x). Тогда
y = C(x)/x^2
Подставим y в исходное уравнение и найдем C(x)
C'/x^2 - 2C(x)/x^3 + 2C(x)/x^3 = e^(-x^2)/x
C'/x^2 = e^(-x^2)/x
C' = e^(-x^2)x
Интегрируем
C(x) = - e^(-x^2) + D, где D - константа
Тогда
y = (- e^(-x^2) + D)/x^2
(Сообщение отредактировал RKI 5 нояб. 2008 8:51)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 8:42 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1)
Это стандартные интегралы. Вы их можете найти в учебниках, интернете
int {1/sqrt(4 - x ^ 2) + 1/(x^2 + 3) dx} =
= int {dx/sqrt(4 - x ^ 2)} + int {dx/(x^2 + 3)} =
= arcsin(x/2) + 1/sqrt(3)*arctg(x/sqrt(3)) + const
Проверка осуществляется следующим образом:
если int{f(x)dx}=F(x), то F'(x) = f(x)
Просто продифференцируйте ответ, и Вы получите подынтегральное выражение
(Сообщение отредактировал RKI 5 нояб. 2008 9:00)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 8:57 | IP
|
|
Schinka
Новичок
|
Доброе утро!
Помогите решить интеграл пожалуйста
P(2<x<8) = int_{2}^{8}{exp(-(x-5)^2/2сигма^2)/(сигма*(корень из 2пи))}dx = 0.9973
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 9:23 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
  
Аналитически можно только представить через функцию ошибок (или ей аналогичные) erf(x).
Если нужно это, то так и напишите, если нужно полцчить приведенный числовой результат с исп. численных методов, то так и скажите.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 5 нояб. 2008 9:25 | IP
|
|
Schinka
Новичок
|
Ой,забыла написать..нужно сигму найти
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 9:27 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Schinka написал 5 нояб. 2008 9:23
Доброе утро!
Помогите решить интеграл пожалуйста
P(2<x<8) = 1/(сигма*sqrt(2пи))*int_{2}^{8}{exp(-(x-5)^2/2сигма^2)/(сигма*(корень из 2пи))}dx = 0.9973
смотрите здесь теорию
внешняя ссылка удалена
пример 92
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 9:53 | IP
|
|
Schinka
Новичок
|
я все равно не могу понять как сигму находить
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 10:08 | IP
|
|
Schinka
Новичок
|
Ааа..тут по-моему вообще можно без интеграла обойтись..сигма будет равна 1!!))
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 10:45 | IP
|
|
unknown
Новичок
|
RKI, млин, пасиба тебе еще раз большущие, снова выручил)
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2008 13:53 | IP
|
|
Форум
интегралы
