AlexnderRT
Новичок
|
    
Помогите, пожалуйста, решить такие две задачи.
1) Доказать, что на пересечении Q с отрезком [0, 1] нельзя задать такую метрику, чтобы она была эквивалентна обычному расстоянию и полученное пространство было полным.
2) Доказать, что если A - открытое множество из полного метрического пространства (X, d), то существует метрика r, эквивалентная метрике d на A, такая, что пространство (A, r) - полное.
Две метрики эквивалентны, если последовательности, сходящиеся в первой метрике, являются сходящимися и во второй и сходятся к тем же пределам, и наоборот.
Мне главное узнать саму идею решения, дальше я сам.
Спасибо.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 21 сен. 2008 5:21 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
1. Множество рациональных чисел Q с обычным расстоянием плотно на [0 ,1]. Поэтому при пополнении Q, надо вводить иррациональные числа.
2. Здесь я не понял. Возьмём, например, в качестве X- множество вещественных чисел с обычным расстоянием. В качестве А выберем открытый интервал (0. 1). Далее, возьмём последовательность, сходящуюся к нулю (она будет идти к нулю в любой эквивалентной метрике), но 0 не принадлежит А?
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 23 сен. 2008 17:35 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: ProstoVasya написал 23 сен. 2008 17:35
1. Множество рациональных чисел Q с обычным расстоянием плотно на [0 ,1]. Поэтому при пополнении Q, надо вводить иррациональные числа.
2. Здесь я не понял. Возьмём, например, в качестве X- множество вещественных чисел с обычным расстоянием. В качестве А выберем открытый интервал (0. 1). Далее, возьмём последовательность, сходящуюся к нулю (она будет идти к нулю в любой эквивалентной метрике), но 0 не принадлежит А?
2) я уже решил.
Неверно, что стремящаяся к нулю последовательность будет идти к нулю в любой эквивалентной метрике.
0 - это не элемент пространства (0, 1). Последовательность, стремящяяся к 0, в (0, 1) не сходится, хотя является фундаментальной. Нужно модифицировать метрику так, чтобы последовательности, стремящиеся к 0 и 1, не были фундаментальными.
А как строго доказать, что на пересечении Q с отрезком [0, 1] нельзя задать такую метрику, чтобы она была эквивалентна обычному расстоянию и полученное пространство было полным?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 26 сен. 2008 4:12 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Что-то авторизоваться не получается. Предыдущий пост - от AlexnderRT.
Помогите, пожалуйста, решить такие задачи:
1. Привести пример функции из сепарабельного метрического пространства X в метрическое пространство Y такой, чтобы график этой функции в индуцированной метрике был несепарабельным метрическим пространством.
2. Показать, что если f - непрерывная функция, то график этой функции в индуцированной метрике будет сепарабельным метрическим пространством.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 26 сен. 2008 4:15 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Извините, но не понимаю. Вы пишите определение эквивалентных метрик:
'Две метрики эквивалентны, если последовательности, сходящиеся в первой метрике, являются сходящимися и во второй и сходятся к тем же пределам, и наоборот.'
Потом:
"Неверно, что стремящаяся к нулю последовательность будет идти к нулю в любой эквивалентной метрике. "
Видимо, что-то от меня ускользает.
Я всегда думал, что метрики эквивалентны, если существуют две положительные константы c, C>0, для которых справедливы неравенства
c d(x,y) < r(x,y) < C d(x,y)
для всех элементов x, y из пространства X.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 26 сен. 2008 8:33 | IP
|
|
AlexnderRT
Новичок
|
Пока на ум приходит такое:
f(x)=0, если х - рациональное и f(x)=x, если х - иррациональное. Образ Q, таким образом, отделен от остального графика.
Если это правильный пример, то как бы можно было показать, что график не содержит счётного всюду плотного подмножества?
Спасибо.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 27 сен. 2008 23:11 | IP
|
|
|
Форум
Две задачи по теории метрических пространств
