Guest
Новичок
|
    
Честно говоря не могу утверждать что Вы решили данное уравнение , так как не знаю настоящего ответа . С сыном договорились сказать учительнице , что не смогли решить задачу и расспросить об ответе . Задачка дана для участия в олимпиаде для учеников 8-х классов гимназии .
Сын знает что такое арккосинус , но ни я ни он не очень понимаем в какой момент формула приобретает данный вид.
Сын ссылается на подсказку учительницы , нужно использовать формулу площади отсеченного сегмента круга .
Я нашел эту формулу , вроде что-то начинает проясняться , вожусь с отражением в формуле угла сектора остеченного сегмента круга малого и круга большого. Что-то становиться более менее понятно . А то уже думал что решать надо методом приближения множества вписанных в сегменты прямоугольников .
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 29 янв. 2008 23:02 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: MEHT написал 29 янв. 2008 2:59
Задача решается численно.
Дано:
r - радиус маленькой окружности,
R - радиус большой окружности,
найти L - расстояние между центрами.
Если ввести обозначения
k = R/r,
t = L/r,
то задача о равных площадях сводится к разрешению относительно t уравнения
arccos[(t^2 - (k^2-1))/(2*t)] + (k^2)*arccos[(t^2 + (k^2-1))/(2*k*t)] -
- t*sqrt{1 - [(t^2 - (k^2-1))/(2*t)]^2} = pi/2
Численное решение этого уравнения при
k = R/r = 5/2 даёт
t = 2.4320802775.
Следовательно, значение искомого расстояния L при r=1 будет
L = r*t = 2.4320802775
P.S. Если есть желание - могу показать как получил это уравнение.
(Сообщение отредактировал MEHT 29 янв. 2008 7:19)
Если это возможно с Вашей стороны , то конечно было бы очень интересно посмотреть на решение с подробными разъяснениями. Если это Вас не затруднит. Знаний школьника достаточно , чтобы решить именно Вашим способом эту задачу ?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 29 янв. 2008 23:18 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Это уравнение получено строго из условия, без каких-либо приближений. Оно точно.
Но, к сожалению, аналитического решения его найти не удаётся.
Конечно можно было бы его упрощать, раскладывая арккосинусы в ряды и отбрасывая члены старшего порядка малости и т.д. Но это уже другая задача...
Кстати сказать, я такого упрощения не делал, а банально нашёл решение в маткаде, запросив нули функции
f(t)=arccos[(t^2 - (k^2-1))/(2*t)] + (k^2)*arccos[(t^2 + (k^2-1))/(2*t)] -
- t*sqrt{1 - [(t^2 - (k^2-1))/(2*t)]^2} - pi/2
при заданном k.
Есть и альтернативный путь упрощения - геометрический. На предыдущей странице llorin1 привёл приближённую форуму для площади сегмента. Пользуясь ей можно попытаться получить более простое приближённое уравнение для t, поддающееся аналитическому разрешению.
(Сообщение отредактировал MEHT 30 янв. 2008 4:55)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 янв. 2008 4:53 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Задачу про три окружности подробно не рассматривал, но такое подозрение что в условии маловато данных.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 янв. 2008 4:59 | IP
|
|
Frodo
Новичок
|
Аналитически очевидно, что хватает.
(Сообщение отредактировал Frodo 30 янв. 2008 5:01)
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: январь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2008 4:59 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: MEHT написал 30 янв. 2008 4:53
Это уравнение получено строго из условия, без каких-либо приближений. Оно точно.
Но, к сожалению, аналитического решения его найти не удаётся.
Конечно можно было бы его упрощать, раскладывая арккосинусы в ряды и отбрасывая члены старшего порядка малости и т.д. Но это уже другая задача...
Кстати сказать, я такого упрощения не делал, а банально нашёл решение в маткаде, запросив нули функции
f(t)=arccos[(t^2 - (k^2-1))/(2*t)] + (k^2)*arccos[(t^2 + (k^2-1))/(2*t)] -
- t*sqrt{1 - [(t^2 - (k^2-1))/(2*t)]^2} - pi/2
при заданном k.
Есть и альтернативный путь упрощения - геометрический. На предыдущей странице llorin1 привёл приближённую форуму для площади сегмента. Пользуясь ей можно попытаться получить более простое приближённое уравнение для t, поддающееся аналитическому разрешению.
(Сообщение отредактировал MEHT 30 янв. 2008 4:55)
Решение конечно очень красивое -вот только как ребенку маткад обойти - вопрос риторический - маткад сам данную формулу выводит ?
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 янв. 2008 17:08 | IP
|
|
alex142
Полноправный участник
|
то-то я не вижу чтоб круг своей окружностью делил меньший круг на равные части
|
Всего сообщений: 158 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 30 янв. 2008 22:38 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Решение конечно очень красивое -вот только как ребенку маткад обойти - вопрос риторический - маткад сам данную формулу выводит ?
Нет. В маткаде я только искал РЕШЕНИЕ полученного выше трансцендентного уравнения.
Хотя, впринципе, можно было искать это решение и без машины - всячески упрощая его вид.
Но в любом случае результат будет содержать некоторую погрешность.
то-то я не вижу чтоб круг своей окружностью делил меньший круг на равные части
Если Вы про рисунок, то я его привёл только для наглядности при составлении уравнения и точного равенства площадей на нём искать не следует.
(Сообщение отредактировал MEHT 31 янв. 2008 3:44)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 янв. 2008 3:42 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Никаких формул не нужно, кроме плошади круга 
Площадь пересечения двух окружностей равна сумме площадей двух секторов окружностей (с общей хордой), за вычетом площадей двух равнобедренных треугольников (образованных центром каждой окружности, и все той же хордой).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 фев. 2008 8:18 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
О, точно! Не заметил предыдущий пост
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 фев. 2008 8:19 | IP
|
|
|
Форум
НЕДЕТСКАЯ ЗАДАЧКА
