Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        НЕДЕТСКАЯ ЗАДАЧКА
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Guest



Новичок

Честно говоря не могу утверждать что Вы решили данное уравнение , так как не знаю настоящего ответа . С сыном договорились сказать учительнице , что не смогли решить задачу и расспросить об ответе . Задачка дана для участия в олимпиаде для учеников 8-х классов гимназии .
Сын знает что такое арккосинус , но ни я ни он не очень понимаем в какой момент формула приобретает данный вид.
Сын ссылается на подсказку учительницы , нужно использовать формулу площади отсеченного сегмента круга .
Я нашел эту формулу , вроде что-то начинает проясняться , вожусь с отражением в формуле угла сектора остеченного сегмента круга малого и круга большого. Что-то становиться более менее понятно . А то уже думал что решать надо методом приближения множества вписанных в сегменты прямоугольников .

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 29 янв. 2008 23:02 | IP
Guest



Новичок


Цитата: MEHT написал 29 янв. 2008 2:59
Задача решается численно.

Дано:
r - радиус маленькой окружности,
R - радиус большой окружности,
найти L - расстояние между центрами.

Если ввести обозначения
k = R/r,
t = L/r,

то задача о равных площадях сводится к разрешению относительно t уравнения

arccos[(t^2 - (k^2-1))/(2*t)] + (k^2)*arccos[(t^2 + (k^2-1))/(2*k*t)] -
- t*sqrt{1 - [(t^2 - (k^2-1))/(2*t)]^2} = pi/2

Численное решение этого уравнения при
k = R/r = 5/2 даёт
t = 2.4320802775.

Следовательно, значение искомого расстояния L при r=1 будет
L = r*t = 2.4320802775

P.S. Если есть желание - могу показать как получил это уравнение.

(Сообщение отредактировал MEHT 29 янв. 2008 7:19)



Если это возможно с Вашей стороны , то конечно было бы очень интересно посмотреть на решение с подробными разъяснениями. Если это Вас не затруднит. Знаний школьника достаточно , чтобы решить именно Вашим способом эту задачу ?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 29 янв. 2008 23:18 | IP
MEHT



Долгожитель




Это уравнение получено строго из условия, без каких-либо приближений. Оно точно.
Но, к сожалению, аналитического решения его найти не удаётся.

Конечно можно было бы его упрощать, раскладывая арккосинусы в ряды и отбрасывая члены старшего порядка малости и т.д. Но это уже другая задача...

Кстати сказать, я такого упрощения не делал, а банально нашёл решение в маткаде, запросив нули функции
f(t)=arccos[(t^2 - (k^2-1))/(2*t)] + (k^2)*arccos[(t^2 + (k^2-1))/(2*t)] -
- t*sqrt{1 - [(t^2 - (k^2-1))/(2*t)]^2} - pi/2
при заданном k.

Есть и альтернативный путь упрощения - геометрический. На предыдущей странице llorin1 привёл приближённую форуму для площади сегмента. Пользуясь ей можно попытаться получить более простое приближённое уравнение для t, поддающееся аналитическому разрешению.


(Сообщение отредактировал MEHT 30 янв. 2008 4:55)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 янв. 2008 4:53 | IP
MEHT



Долгожитель

Задачу про три окружности подробно не рассматривал, но такое подозрение что в условии маловато данных.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 30 янв. 2008 4:59 | IP
Frodo



Новичок

Аналитически очевидно, что хватает.


(Сообщение отредактировал Frodo 30 янв. 2008 5:01)

Всего сообщений: 2 | Присоединился: январь 2008 | Отправлено: 30 янв. 2008 4:59 | IP
Guest



Новичок


Цитата: MEHT написал 30 янв. 2008 4:53



Это уравнение получено строго из условия, без каких-либо приближений. Оно точно.
Но, к сожалению, аналитического решения его найти не удаётся.

Конечно можно было бы его упрощать, раскладывая арккосинусы в ряды и отбрасывая члены старшего порядка малости и т.д. Но это уже другая задача...

Кстати сказать, я такого упрощения не делал, а банально нашёл решение в маткаде, запросив нули функции
f(t)=arccos[(t^2 - (k^2-1))/(2*t)] + (k^2)*arccos[(t^2 + (k^2-1))/(2*t)] -
- t*sqrt{1 - [(t^2 - (k^2-1))/(2*t)]^2} - pi/2
при заданном k.

Есть и альтернативный путь упрощения - геометрический. На предыдущей странице llorin1 привёл приближённую форуму для площади сегмента. Пользуясь ей можно попытаться получить более простое приближённое уравнение для t, поддающееся аналитическому разрешению.


(Сообщение отредактировал MEHT 30 янв. 2008 4:55)



Решение конечно очень красивое -вот только как ребенку маткад обойти - вопрос риторический - маткад сам данную формулу выводит ?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 30 янв. 2008 17:08 | IP
alex142



Полноправный участник

то-то я не вижу чтоб круг своей окружностью делил меньший круг на равные части

Всего сообщений: 158 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 30 янв. 2008 22:38 | IP
MEHT



Долгожитель


Решение конечно очень красивое -вот только как ребенку маткад обойти - вопрос риторический - маткад сам данную формулу выводит ?


Нет. В маткаде я только искал РЕШЕНИЕ полученного выше трансцендентного уравнения.
Хотя, впринципе, можно было искать это решение и без машины - всячески упрощая его вид.
Но в любом случае результат будет содержать некоторую погрешность.


то-то я не вижу чтоб круг своей окружностью делил меньший круг на равные части

Если Вы про рисунок, то я его привёл только для наглядности при составлении уравнения и точного равенства площадей на нём искать не следует.


(Сообщение отредактировал MEHT 31 янв. 2008 3:44)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 31 янв. 2008 3:42 | IP
Guest



Новичок

Никаких формул не нужно, кроме плошади круга

Площадь пересечения двух окружностей равна сумме площадей двух секторов окружностей (с общей хордой), за вычетом площадей двух равнобедренных треугольников (образованных центром каждой окружности, и все той же хордой).

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 фев. 2008 8:18 | IP
Guest



Новичок

О, точно! Не заметил предыдущий пост

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 4 фев. 2008 8:19 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com