CyIIeP MO3r
Новичок
|
     
кто решит, тот молодец.
Доказать, что многочлен пятой степени
P(x)=x^5 +3x^4 + 6x^3 + 3x^2 + 9x - 6
не представим в виде произведения двух многочленов меньших степеней с целочислинными коэфициентами.
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 8 мая 2007 14:03 | IP
|
|
attention 
Долгожитель
|
Думаю, можно доказать так, особо не изощеряясь: предположим, что многочлен пятой степени
P(x)=x^5 +3x^4 + 6x^3 + 3x^2 + 9x - 6
представим в виде произведения двух многочленов меньших степеней с целочислинными коэфициентами, тогда возможны два случая:
1) P(x)=(x+A)(x^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E);
2) P(x)=(x^2+Ax+B)(x^3+Cx^2+Dx+E).
Первый случай элементарно проверить по схеме Горнера.
Во втором случае раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х вследствии чего получится следующая система уравнений:
A+C=3,
AC+B+D=6,
AD+BC+E=3,
AE+BD=9,
BE=-6.
Далее разложить произведение коэффициентов В и Е на целочисленные множители (-1 и 6; 6 и -1; -6 и 1; 1 и -6 и т. д.) и проверить имет ли система при какой-либо паре значений решение. Дальше думаю, понятно что делать.
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 8 мая 2007 17:43 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Или же в лоб - разложить полином на произведение
P(x) = (x-0.48791) * (x^2 + 3.58558*x + 6.00373) * (x^2 - 0.09768*x + 2.04826),
с точностью до ~ 10^(-5); как бы ни перемножались любая пара из этих членов, целочисленных коэффициентов при степенях x получить не удастся.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 8 мая 2007 19:26 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
MEHT, издеваетесь?
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 8 мая 2007 20:31 | IP
|
|
CyIIeP MO3r
Новичок
|
A+C равно -3 )
можно просто утвердить что из чисел B и E только одно делится на 3 ==>
1)Если B делится, а E не делится на 3, то из равенства AE+BD=9
следует, что A делится на 3. Но тогда равенство AD+BC+E=3 позволяет утверждать, что E елится на 3 и мы приходим к противоречию.
2-ой случай аналогичный
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 8 мая 2007 20:45 | IP
|
|
CyIIeP MO3r
Новичок
|
вот ещё одно интересное задание:
Доказать, что если числа a, b, c положительны и abc=1, то
a+b+c=>3
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 8 мая 2007 20:57 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Что Вы имеете ввиду A+C равно -3, по вашему условию A+C=3!
И почему именно на 3, а как насчёт других возможных целочисленных значений B и E?
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 8 мая 2007 20:59 | IP
|
|
CyIIeP MO3r
Новичок
|
упс ) опять отпечатку сделал )) P(x)=x^5 -3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6. но неособо важно. ) не понел. я имею ввиду, что какими бы целыми числами не были B и E одно из них будет делиться на 3! мне этот способ представился наиболее рациональным для доказательства, ибо B и E делятся на 1 при любых целых значениях B и E, а на 6 эти числа делятся токо в 4 случаях.
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 8 мая 2007 21:46 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Цитата: CyIIeP MO3r написал 8 мая 2007 19:57
вот ещё одно интересное задание:
Доказать, что если числа a, b, c положительны и abc=1, то
a+b+c=>3
Поделите обе части неравенства на 3, вправую часть вместо 1 подставьте abc и тогда получите неравенство между среднеарифметическим и среднегеометрическим.
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 8 мая 2007 21:48 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Цитата: CyIIeP MO3r написал 8 мая 2007 20:46
упс ) опять отпечатку сделал )) P(x)=x^5 -3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6. но неособо важно. ) не понел. я имею ввиду, что какими бы целыми числами не были B и E одно из них будет делиться на 3! мне этот способ представился наиболее рациональным для доказательства, ибо B и E делятся на 1 при любых целых значениях B и E, а на 6 эти числа делятся токо в 4 случаях.
А тривиальный первый случай не прощели по Горнера доказать?
(Сообщение отредактировал attention 8 мая 2007 20:59)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 8 мая 2007 21:56 | IP
|
|
Форум
Сложные задачи
