Gast
Участник
|
    
А это и есть философия  Аристотель, Сократ, Гуссерль, Хайдингер, Декарт. Кстати, интересно пишут при истоки физики.
Герц подтвердил существование э м волн, высказанное Максвеллом и все. Теория уже была приготовлена заранее.
А вам не приходило в голову, что понятие погрешности возникает из-за нашего математического аппарата, предложенного Пифагором и Платоном? Физик обрубает все сложные расчеты, мешающие конкретным экспериментам. И сейчас придумывается другая математика с другим понятием числа и бесконечности,так же, как была пересмотрена геометрия Пифагора.
Пусть людьми занимаются социологи, антропологи и психологи ))) У общества свои законы, я же говорю о природе -окружающей нас среде. Человек не делает пироду, он создает комфортный мир для себя внутри нее.
Да, кто дает деньги на развитие астрофизики и ядерной физики??? Зачем?? Мечтают полететь в космос и создать термояд. Вот зачем большой андронный колайдер запустили? Он не малых денег стоил. Бозе конденсат? ...
"не всегда сходится с тем, что насчитали - приходится учитывать новые факты, дополнять старую теорию ими" Еще бы =))))))))))))))) Люди на одной логике пытаются понять мир, изредка сравнивая его с реальностью. Не получается? Проведем эксперимент тщательнее. Опять не получается? Подправим теорию. Получается? ОК, теория верна.
Так и живем )))))))))
|
Всего сообщений: 143 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 5 дек. 2008 19:42 | IP
|
|
aido
Долгожитель
|
Вообще-то Герц хотел опровергнуть теорию Максвелла, но получилось обратное...
А вы будто бы не обрубаете все сложные рассчеты??? по крайней мере развитие техники само за себя говорит. Вам же не нужно знать с точностью до миллионных долей миллиметра, на сколько отклонится от курса космическая ракета. тут достаточно полуметра... Да обывателям и такое неважно...
Зачем дают деньги на подобные эксперименты типа БАК(LHC)? - узнать природу глубже, просто обычные законы там уже не действуют. А если узнаем микромир полностью, то там недалеко и до каких-то новых, нужных в технике, открытий. например, (это уже из футуризма, но все же) возможна будет телепортация (типа на основе этих суперструн), нанотехнология - уже реальность, хотя о таком раньше и не думали...
"Так и живем )))))))))" - ну а как по другому-то?? в Средневековье была такая попытка - долго не просуществовала....
|
Всего сообщений: 569 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 5 дек. 2008 20:10 | IP
|
|
Gast
Участник
|
Цитата: aido написал 5 дек. 2008 20:10
А вы будто бы не обрубаете все сложные рассчеты???
а как же иначе? завязнем по уши в математике, если не будем обрубать ))
по крайней мере развитие техники само за себя говорит. А если узнаем микромир полностью, то там недалеко и до каких-то новых, нужных в технике, открытий.
Вот-вот, все делается для получения прибыли и результата. И нанотехнологии, и дальнейшее развитие физики. Не изучения мира, а возможность приспособления его под себя. Забавно ))
Как нам жить определит дальнейшее развитие, а пока надо не забывать, что современная физика не так прочна, как кажется и тем более не так доставерна, как хотелось бы ((
|
Всего сообщений: 143 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 5 дек. 2008 20:24 | IP
|
|
aido
Долгожитель
|
"а как же иначе? завязнем по уши в математике, если не будем обрубать ))" - ну что и требовалось доказать.... Вам например надо решать дифференциальные уравнения 3 порядка, если можно по линейным уравнениям, при том что ошибка составит всего 2 знак после запятой??? Мне лично - нет.
"Вот-вот, все делается для получения прибыли и результата." - нет не все, БАК например прибыль не приносит, даже неизвестно какие результаты он принесет... Но результат, каков бы он ни был, нужен...- помогает исследовать природу(вы вроде и об этом говорили...). А потом эти результаты "для приспособления под себя"... - ничего забавного - чистая логика...
"физика не так прочна, как кажется и тем более не так доставерна" - и где же недостоверности??? Хоть 1 назовите...
|
Всего сообщений: 569 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 5 дек. 2008 22:18 | IP
|
|
Gast
Участник
|
Ха-ха, доказывали не это, а то,что современная математика не годится для описания мира и физики =)) Современный мат аппарат уже не может без суперкомпьютеров, да и теория суперструн так медленно развивается потому, что эти компьютеры не справляются. Не по ним задачка ))
БАК ПОКА не приносит прибыль, иначе бы его не строили. На него возлагают слишком большие надежды, хотят получить результат, который его окупит. Забавно же то, что эту простую логику изобрели в Средние века, в Античности было иначе. Я не верю, что это эволюция, просто пересмотрение идеи и не в лучшую сторону.
Назави хоть одну достоверность??????? Как ты это можешь сказать, если знаешь, что физики верят в "работает, значит верно"?? "повторяется, значит верно"?? И главное - в физике НЕТ КОНСТАНТ!!!! Все фундаментальные величины меняются со временем, хоть и очень медленно. Это уже доказано
|
Всего сообщений: 143 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 6 дек. 2008 23:07 | IP
|
|
aido
Долгожитель
|
Вообще-то все нормально считается - в компьютеры вносят только максимально громоздкие вычисления и то, формулы все выводит до сих пор человек, а не компьютер....
И что вы предлагаете? - опуститься до античности? Заново все открывать?
Да, и что такого в том, что нет констант? Все в мире относительно - Вселенная когда-то тоже была меньше электрона и в ней действовали неизвестно какие законы.. и это вам не скажет ни 1 философ, никто... Вам реально, есть разница, что гравитационная постоянная за 100 лет допустим уменьшится на 10^-60 степени???? Тем более сами физики доказали изменчивость констант...
Ок. я понял, что вам не нравится современная физика из-за сложности. Предложите, что бы вы хотели в ней так поменять, чтоб вам нравилось, чтобы было легко считать, и тп.... - вот давайте это пообсуждаем..., а то идея с бесконечно малой погрешностью ни к чему не приведет....
(Сообщение отредактировал aido 7 дек. 2008 0:13)
|
Всего сообщений: 569 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 0:06 | IP
|
|
Gast
Участник
|
Ты меня не понял. Жаль...
По порядку.
Во-первых, мне не нравится современная физика не из-за ее сложности. А тем, что она описывает не реальность, а лабораторные условия физиков. Все верно в пределах упрощений, на самом же деле никто не может утверждать, что при выходе за эти пределы все законы не поменяются. Мы не можем описать реальность, она сложна, но упрощая ее, мы подменяем реальность лабораторными условиями. И это факт, про реальность мы знаем мало.
Во-вторых, не все нормально считается. По одной теории суперструн существует столько решений, что у физиков кончаются все описания, а у компьютеров-ресурсы. И нынешнее неприятие этой теории заключается в том, что физики не могут ее закончить. Они предварительно дают прогнозы и продолжают лихорадочно выдумывать новый мат аппарат и подгонять компьютеры.
В-третьих, что значит опуститься до...?Я считаю, что МЫ опустились с тех пор в плане понимания того, что делаем. Да, прогдесс идет и что-то открывают. Но понимание реальности ускользает, все делается для получения прибыли.
В-четвертых, на константах физика держалась, да и сейчас хотят перейти к новой системе единиц, основанной на суперточном определении длин волн. Мне реально, есть разница. Тем более, что изменения не так малы, как ты пишешь. Легко говорить, что все относительно, а ты это понимаешь? Это значит, что законы меняются со временем и нет ничего постоянного, а физикам нужны четкие определения, четкие законы. Сначала ПРИДУМЫВАЮТСЯ алгоритмы, затем они обрастают логическими выводами. Если выбить из-под ног физики основу, она перестанет существовать
|
Всего сообщений: 143 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 1:26 | IP
|
|
aido
Долгожитель
|
Физики сейчас не так сильно "упрощают реальность"... Я же говорю - сначала точный расчет(выявление ЗАКОНомерностей), а потом уже эксперимент, если в нескольких, абсолютно различных экспериментах законы эти сохраняются и получается то, что предсказывали, значит все выведено правильно.
"Не все нормально получается...". Теория суперструн - это всего лишь теория пока, ни одного эксперимента еще не было поставлено, хотя скорее всего в БАКе что-нить подобное поставят... Вот будет хоть 1 эксперимент по ней, то сразу все станет на свои места.... Хотя... если б Ландау родился в наше время, я думаю, он бы доделал)))))(конечно плохо все перекладываьт на чужие плечи, но только у него были такие мозги за последние 100 лет, что не допустил ни единой ошибки в рассчетах...) Насчет всех решений теории суперструн, - вспомните принцип дополнительности... "Кончаются у компьютеров ресурсы"..., понимаете, мы с вами счас живем в такое время, что легче все рассчеты вбить в компьютер, а не строить модель упрощения(то есть упрощать все), хотя это нужно сделать в 1 очередь, но опять же - некому, редкий человек захочет посвятить всю жизнь математике.....
"понимание реальности ускользает, все делается ради прибыли" - понимаете, физика как наука нужна для развития,потребности человечества тоже развиваются достаточно быстро, вот и приходится все применять на практике, кстати, это и есть наилучший эксперимент по проверке выведенных законов, за последние 1000 лет он не подводил))), то есть, все что устоялось к нашему времени - все верно... "Лихорадочно выдумывать новый мат аппарат" - сколь я помню, такого давненько не происходило, только в 20-е годы прошлого века, когда зарождалась квантовая механика и обрабатывалась теория относитльности... - вот тогда да: Лоренц придумывал что нужно было, Гейзенберг заново открыл матрицы, кароч много чего тогда придумали, а сейчас - нет такого....
Да я это все понимаю, да - законы меняются..., но есь же законы изменения законов))) если выведено, что все константы меняются, то выведено и с какой скоростью это происходит, то есть существует 2 пути - сделать готовые формулы с изменяющимися константами, или проще: расчитать примерные периоды действия данных констант(допустим, в течение этих 20 лет постоянная Планка будет такая-то, следующие - другая, хотя изменения будут невелики). Вот вам и четкий закон.....
"Если выбить из под ног физики основу, она перестанет существовать" - если выбить основу из под ног у любой науки - тоже перестанет существовать. "...реально есть разница..." - тоже легко сказать, может объясните в чем, и скажете, насколько должны некоторые константы измениться за определенный промежуток времени???
|
Всего сообщений: 569 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 7 дек. 2008 11:51 | IP
|
|
pro
Начинающий
|
НАИБОЛЕЕ ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ, ДОПУСКАЕМЫЕ В КВАЗИСОВРЕМЕННОЙ АБСТРАКТНОЙ ФИЗИКЕ – 4
Полный текст – внешняя ссылка удалена
О КЛАССИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И ЕЕ МЕСТЕ В ЕДИНОЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКЕ
По причине несовершенства наших измерительных приборовв атомной физике были получены необычные экспериментальные результаты, которые не укладывались в привычных представлениях физиков начала ХХ века. На этой основе была построена специальная вероятностная математическая теория – квантовая механика, способствующая расчету полученных экспериментальных результатов, а также предсказанию новых.
В первое время смысл этого математического аппарата был совершенно не понят физиками. Однако в дальнейшем появились некоторые просветы, а вместе с ними и надежда на понимание смысла квантовой механики и ее математического аппарата с волнами де Бройля или пси-функциями.
Появление квантовой механики в начале ХХ века стимулировало огромный поток дискуссий по поводу природы микрочастиц и силовых полей.
Явления, которые наблюдались в микромире, были столь необычными, что микрочастицам был приписан особый статус квантовых явлений, в корне отличающихся от явлений, происходящих в привычной для всех классической физике.
В этом новом мире микрочастиц странности встречаются буквально на каждом шагу. С одной стороны, все микрочастицы совместно с электромагнитными волнами аккуратно соблюдают все законы сохранения классической механики Ньютона, как бы намекая на то, что все они, в общем-то, «ребята неплохие», и их, в принципе, при желании вполне можно понять.
С другой стороны, и микрочастицы, и электромагнитные волны в атомных явлениях «откалывали» такие квантовые «номера», что привели в замешательство весь научный мир.
Так, в чем же здесь дело? Попробуем постепенно в этом разобраться.
Прежде всего, что касается самих экспериментов в микромире. Авторы квантовой теории почему-то решили, что наши измерительные приборы являются идеальными, а все «фокусы» в экспериментах обусловлены исключительно особой природой микрочастиц. Здесь явно содержится логическая ошибка. По их представлению, оказывается виноваты не измерительные приборы с их несовершенством и даже некоторой грубостью, а все дело в особых, неуловимых, «квантовых» свойствах самих микрообъектов, которые никак не поддаются измерению.
Здесь мы имеем яркий пример того, когда пытаются, как говорится, переложить вину с больной головы на здоровую. Неужели хотя бы часть вины за квантовые «чудеса» нельзя переложить на измерительные приборы? Может быть, как раз все наоборот: микрочастицы – самые, что ни есть, классические объекты, а вот с помощью несовершенных приборов мы и выявляем различные квантовые закономерности. И это подозрение не лишено обоснования.
Обычные лабораторные приборы способны измерять лишь средние значения физических величин. Их в физике назвали «наблюдаемые» величины. При этом усреднение происходит, как правило, по большому числу частиц и по времени. Этот процесс называется набором статистики в эксперименте. Следовательно, в наших экспериментах мы как раз и получаем статистические закономерности в микромире, а отнюдь не характеристики отдельных микрочастиц.
С легкой руки теоретиков, эти статистические, квантовые закономерности были перенесены на отдельную микрочастицу и, в частности, на электрон. Это совершенно неправомерно, поскольку у нас даже нет в наличии такого прибора, чтобы тщательно проследить за полетом отдельного электрона в атоме. Так начинает выстраиваться «квантовая квазифизика», не отражающая реальных индивидуальных свойств отдельных микрочастиц.
Какой же выход из всей этой ситуации? Прежде всего, стараться не смешивать статистические закономерности в микромире, которые выявляются в экспериментах, с индивидуальными свойствами отдельных микрочастиц. Далее здравый смысл подсказывает, что следует просто вернуться в классическую статистическую физику с ее функциями распределения физических величин и постараться здесь разрешить все проблемы с микрочастицами и электромагнитными волнами.
Теперь попытаемся раскрыть основные секреты квантовой механики, которые до недавнего времени воспринимались не иначе, как тайна за семью печатями.
Принцип неопределенностей Гейзенберга, который был постулирован им на основе экспериментальных наблюдений и на основе постулированного математического аппарата квантовой механики, в статистической физике, вполне естественным образом, следует из центральной теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема системы частиц [1]. Исходя из этой теоремы, а также с привлечением спектрального метода Фурье, строится и весь математический аппарат квантовой механики.
Далее выяснилось, что так называемые «корпускулярно-волновые» свойства частиц вещества - это просто всего-навсего непонятое физическое явление. А разгадка его не так уж и сложна. Секрет заключается в дискретном отклике монокристалла на любую налетающую частицу. В эксперименте нам кажется, что таким "хитрым" способом ведет себя частица, а на самом деле это всего лишь определенная реакция подложки на частицу.
В частности, у монокристалла имеет место дискретный спектр распределения электронов по импульсам, что хорошо известно в физике твердого тела и в квантовой механике. Поэтому и реакция кристалла на микрочастицу, независимо от ее природы, является дискретной, т.е. в виде отдельных пиков.
При дифракции электронов даже на двух щелях и даже поодиночке падающие электроны повторяют функцию распределения электронов вещества в экране.
Это - самая «хитрая» задача, на которой споткнулся весь мир. А разгадка - довольно простая. Электроны своими электрическими полями взаимодействуют с электронами экрана и приобретают функцию распределения электронов экрана. То есть, как бы «прогреваются» от экрана. А функция распределения электронов экрана находится методом Фурье.
Вот и получается такая красивая картинка с волнами согласно преобразованию Фурье. В квантовой механике нет орбит, как нет их и в классической статистической физике, и даже в молекулярной физике.
У электронов же орбиты имеются, и еще никто не доказал, что у электронов нет орбит. У нас нет таких приборов, которые отслеживали бы орбиты медленных электронов. Но быстрые электроны наблюдаются очень хорошо.
Посылая электроны по одному, но достаточно долго, мы, в конце концов, создадим ту же самую интерференционную картину, как и для пучка электронов. Этот случай полностью соответствует эргодической гипотезе (а может быть и теореме) в классической статистической физике.
Кратко она выглядит так: если взять среднее по ансамблю частиц (мгновенный снимок) или усреднить результат по времени (метод накопления информации во времени), то результат будет одним и тем же в силу статистической независимости событий. Это означает, что каждый электрон не должен знать о прохождении других электронов. В противном случае появятся различные тонкие эффекты, которых в физике просто огромное количество.
Известен эффект дифракции электронов на границе пластинки, а также на отдельной проволочке [2]. Но суть задачи не меняется - решение то же самое. Проволочка разлагается в интеграл Фурье, и получаем соответствующую функцию распределения электронов по импульсам в проволочке. Налетающие электроны повторят функцию распределения по импульсам электронов проволочки или пластинки, в результате чего и получается соответствующая дифракционная картина, полностью соответствующая преобразованию Фурье.
Итак, мы приходим к очень важному выводу, что квантовая механика вместе с волнами де Бройля и прочими постулатами - это самая обычная классическая статистическая физика микромира с функциями распределения физических величин, но с применением хорошо развитого спектрального метода Фурье. Волновая функция в квантовой механике, она же - собственная функция при решении уравнения на собственные значения в краевой задаче, она же - волна де Бройля неизвестного происхождения и не имеющая никакого физического смысла, она же компонента Фурье при разложении произвольной функции в ряд или интеграл Фурье. По модулю в квадрате эта пси-функция дает нам обычную функцию распределения электронной плотности или плотность вероятности, так хорошо известную еще в Х1Х веке. Может быть, настало время все-таки определиться с этой волной?
Хорошо известно, что операторные методы решения дифференциальных уравнений в различных разделах физики и техники возникли в результате применения спектрального метода Фурье. Поэтому неудивительно, что и в квантовой механике оператор импульса, а также и другие операторы возникли как результат применения спектрального метода Фурье для функций распределения физических величин.
Такие функции распределения были известны еще с ХIХ века (функция распределения по скоростям Максвелла для молекул газа и функция распределения по координатам молекул газа в гравитационном поле – барометрическая формула Больцмана, функции распределения Гиббса и т.д.). Вот, в правильном использовании и понимании спектрального метода Фурье применительно к функциям распределения физических величин и возникли наибольшие трудности практически у всех физиков.
Основоположникам статистической физики не приходило в голову представлять отдельную молекулу или атом в виде размытого облака по всему объему сосуда, а также особенно печалиться о неопределенности положения молекулы газа внутри сосуда. Не очень заботило их и то, что в статистической физике с траекториями частиц вполне естественным образом просто придется распрощаться. Однако и Максвелл, и Больцман, и Гиббс, прекрасно осознавали, что траектории частиц продолжают существовать, хотя эти траектории и выпали из рассмотрения в статистической физике. Они воспринимали случайность в микромире, где в процессах участвует огромное количество микрочастиц, как вполне объективную закономерность. Все эти проблемы в физике микромира были искусственно придуманы авторами квантовой теории, благодаря чему и был искусственно спровоцирован квазикризис в физике в начале ХХ века.
§ 30. Функции распределения электронной плотности в Фурье-представлении
С целью успешного применения статистических методов описания электронных процессов, происходящих в атомах, вспомним некоторые моменты из статистической физики.
При статистическом описании состояние системы изображается точкой в соответствующем фазовом пространстве (фазовая точка с координатами p и q). Изменение состояния системы изображается траекторией фазовой точки в фазовом пространстве – фазовой траекторией.
Благодаря использованию фазового пространства законы изменения состояния системы могут быть сформулированы на геометрическом языке.
Основным положением статистической физики является утверждение о возможности определить функцию распределения (или плотность вероятности состояний) w(p,q) из общих соображений, в том числе и из геометрических для систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, т.е. не решая уравнений движения для отдельных частиц.
Согласно теореме Лиувилля [3] функция распределения является интегралом движения системы, т.е. остается постоянной, если импульсы p и координаты q изменяются в соответствии с уравнениями движения механики Гамильтона, т.е. каноническими уравнениями. При этом фазовый объем системы (объем в переменных p и q) в результате ее естественного движения остается постоянным. Это свойство можно выразить при помощи интеграла
∫ d Г = ∫ d p d q = const, (30.1)
где d Г обозначает элемент объема фазового пространства.
Рассмотрим наиболее общие свойства функции распределения w. В статистической механике для полного описания состояния движения частицы достаточно указать вероятность, с которой координата частицы лежит в области от q до q + dq, и одновременно ее импульс – в интервале от p до p + dp, т.е. в некотором элементе объема фазового пространства d p d q, или в декартовых координатах – dx dy dz dpx dpy dp z.
В случае стационарных процессов, когда система частиц находится в термодинамическом равновесии и в стационарном состоянии, возможно использование стационарной функции распределения только по координатам w(x, y, z). Принимая во внимание тот факт, что функция распределения по своей величине является принципиально неотрицательной, т.е. w(x, y, z)  0, ее можно выразить в комплексном пространстве через вспомогательную комплексную функцию (комплексную амплитуду) Ф(x, y, z) посредством выражения
Ф(x, y, z) = Ф(x, y, z) 2 = Ф*Ф. (30.2)
С использованием функции распределения w(x, y, z) средняя потенциальная энергия электрона по области его движения определяется через объемный интеграл
<U> = ∫ U(x, y, z) w(x, y, z) dV (30.3)
или, с учетом выражения (30.2),
<U> = ∫ Ф*UФ dV. (30.4)
Функция распределения, как правило, нормируется посредством интеграла
∫ w(x, y, z) dV = ∫ Ф*Ф dV = 1. (30.5)
Таким образом, задача на нахождение функции распределения электронной плотности w(x, y, z) в атомах сводится к отысканию некоторой комплексной характеристической функции Ф(x, y, z), через которую могут быть определены не только плотность вероятности местопребывания электронов в атомах, но также и, как будет показано в дальнейшем, целый ряд интегралов движения. С целью вычисления функции Ф(x, y, z) необходимо составить для нее дифференциальное уравнение, максимально используя при этом всю известную нам заранее информацию об атомах. Для этого можно воспользоваться известными из классической механики законами сохранения определенных динамических величин (например, полной энергии Е, модуля полного механического момента L, а также проекции механического момента на ось симметрии атома Lz ).
О КЛАССИЧЕСКОМ КВАНТОВАНИИ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ В АТОМАХ
В современной физике сложилось упрощенное схематическое (модельное) представление о квантовых переходах-прыжках электронов между дискретными уровнями энергии в атомах и молекулах на основе опытов, когда были обнаружены линейчатые спектры излучения ряда веществ. Возможно, что очень похожие процессы происходят и в ядрах. Попытаемся разобраться в этом более детально, опираясь на богатый накопленный опыт в спектроскопии и исходя из классических представлений в рамках электродинамики Максвелла-Лоренца.
Квантование по энергии, а точнее формирование дискретных уровней энергии в атомах происходит в соответствии со стационарным статистическим уравнением Шредингера, т.е. в стационарном состоянии атомной системы или в веществе, когда все переходные процессы в основном уже закончены.
На опыте достаточно узкие спектральные линии излучения или поглощения наблюдаются в охлажденных кристаллах, активированных переходными элементами таблицы Менделеева, в слабо возбужденных холодных газах и т.д. В охлажденных системах и при отсутствии больших внешних возмущений у системы атомов имеется достаточно времени, чтобы прийти в равновесное состояние и сформировать дискретные энергетические уровни.
Однако эти уровни могут значительно ушириться и даже вообще исчезнуть в сильно нагретых кристаллах и газах. В этом случае всякое квантование уровней энергии может полностью отсутствовать, и вещество будет излучать в сплошном спектре частот, напоминающем спектр излучения абсолютно черного тела.
В качестве примера достаточно привести поведение ртутной газоразрядной лампы низкого давления. При малом разрядном токе и холодных парах ртути спектр излучения такой лампы состоит из очень узких характерных линий. Однако по мере прогрева лампы и повышения давления паров ртути происходит значительное уширение данных линий. В ртутных лампах сверхвысокого давления при высокой температуре лампы ее спектр свечения является сплошным и приближается к спектру излучения абсолютно черного тела, а наиболее яркие ртутные линии превращаются в полосы свечения. Это происходит из-за того, что в результате очень частых столкновений атомов между собой уровни энергии электронных оболочек не успевают проквантоваться, что опровергает гипотезу обязательного квантования уровней энергии в атомах.
Дипольное излучение света в системе атомов происходит на разностных средних частотах движений электронов в оболочках, т.е. на частотах биений электронной плотности, если это не запрещено правилами отбора для дипольного излучения в данных электронных конфигурациях. При этом энергия для излучения атомов черпается из кулоновского поля ядер при переходе электронов с более удаленных орбит на орбиты, расположенные ближе к ядру.
Таким образом, в процессе излучения света атомами можно выделить два характерных явления, которые становятся как бы взаимоисключающими. С одной стороны, при малых возмущениях атомы стремятся выстроить дискретные уровни энергии в своих электронных оболочках в полном соответствии со статистическим уравнением Шредингера для функций распределения электронной плотности в атомах. С другой же стороны, эта дискретная система уровней постепенно разрушается за счет потери энергии на излучение.
Согласно выводам классической электродинамики, потеря энергии на излучения электронами на атомных орбитах происходит достаточно медленно - с добротностью осцилляторов около 107. В таких условиях у атомов имеется достаточно времени для формирования узких дискретных уровней энергии. Поэтому в холодных газах уширение уровней энергии, а, следовательно, и спектральных линий происходит, в основном, за счет конечного радиационного времени жизни возбужденных электронов на данных уровнях. Подобное уширение спектральных линий называется радиационным уширением.
Весь набор опытных данных в спектроскопии говорит о том, что как излучение, так и поглощение электромагнитных волн в атомных системах не является результатом некоторых квантовых прыжков электронов с уровня на уровень, а происходит по обычным законам классической электродинамики, но с учетом статистических закономерностей в сложных системах. Так называемые “квантовые эффекты” и другие дискретные закономерности в оптических спектрах появляются в сложных атомных системах в соответствии с законами классической статистической физики [1].
Особенности статистической физики в классическом и квантовом представлении
Для определения основных характеристик сложной атомной системы в современной физике используется статистическая сумма в роли своеобразной производящей функции [4]
. (1)
При этом сразу же предполагается, что энергия Er в системе является дискретной переменной, т.е. является счетной величиной, а статистическая сумма вида (1) относится исключительно к квантовой механике. Одновременно с этим рассматривается квантовое состояние r системы или частицы с дискретной энергией Er, а также вероятность Pr нахождения частицы в этом состоянии
, (2)
где C – коэффициент пропорциональности, равный 1 / Z; Er – уровни энергии электронов, атомов, или молекул в системе.
Введение дискретных состояний энергии системы было впервые осуществлено М. Планком в начале ХХ века и с тех пор прочно обосновалось в современной физике.
Наряду со статистической суммой Z в современной физике используется такое понятие как статистический вес Ω(E) состояния или число способов, которыми может быть реализована данная макроскопическая конфигурация.
Энтропия системы, определяемая по Планку как
, (3)
в ином представлении, кроме квантового, даже не рассматривается.
Действительно, бросается в глаза то, что счетные состояния системы принято рассматривать исключительно лишь в квантовой механике, не взирая на то, что сами электроны, атомы и молекулы являются счетными объектами. Поэтому согласно классической статистике Больцмана эти объекты могут с полным успехом участвовать в счетной комбинаторике без введения каких-либо искусственных квантовых постулатов. В этом, на наш взгляд, заключается логическое противоречие в подходе Планка.
В некоторых академических изданиях и учебниках по квантовой статистической физике можно встретить такого рода пассажи [4]: «любая макроскопическая система может быть описана с помощью набора f квантовых чисел. Число f носит название числа степеней свободы системы, и по порядку величины оно близко к постоянной Авогадро». Но ведь это же просто число частиц в сложной системе, а число f – число проекций обобщенных координат или обобщенных импульсов в фазовом пространстве.
Таким образом, мы убеждаемся, что квантовые и классические представления смешиваются в одном месте без достаточного анализа и обоснования. Кроме этого, заметим, что формула (2) является универсальной в статистике Максвелла-Больцмана и справедлива для любой энергии E атома или молекулы вне зависимости ее от непрерывного или дискретного характера. По этой причине обратимся за разъяснениями к классической физике.
В классической статистической физике, рассматривающей отдельные атомы или молекулы, движущиеся в силовых полях, статистическая сумма имеет точно такой же вид, как в формуле (1)
, (4)
где εr – полная энергия молекулы под номером r, и суммирование осуществляется по всем N молекулам. В данном случае параметр r – не квантовое состояние системы, а просто порядковый номер молекулы или атома. Это находится в полном соответствии со статистикой Максвелла – Больцмана. При этом εr может быть просто любой кинетической энергией свободно летящей молекулы в газе. Эта энергия по своему характеру может быть как непрерывной, так и дискретной величиной. Заметим, что согласно подходу Планка энергия εr должна быть непременно дискретной, т.е. квантованной величиной, а суммирование должно производиться по квантовым состояниям r атома, молекулы или какой-либо системы.
Следует также отметить, что сложную макроскопическую систему можно разбить на отдельные подсистемы, пронумеровать их и производить по ним суммирование как по счетным объектам, т.е. без какого-либо искусственного квантования.
Таким образом, мы видим, что классическая физика охватывает больший круг явлений микромира, чем квантовая механика. При этом средняя энергия атома или молекулы в классической физике определяется в соответствии с обычной формулой статистической физики
, (5)
т.е. не требует введения какого-либо особого квантования. Ведь сами объекты – атомы и молекулы уже являются дискретными и счетными, поэтому непосредственно могут быть использованы в любой счетной комбинаторике.
Основная ошибка квантовой статистики заключается в следующем: динамические переменные q и p принимают непрерывные значения, но требуется вопреки всему найти способ сделать возможные состояния системы счетными. Для этого область изменения переменных q и p в фазовом пространстве искусственно разбивается на малые дискретные интервалы, т.е. элементарные ячейки. Без строгого обоснования размер элементарной ячейки приравнивается постоянной Планка h. Теперь для квантового описания состояния частицы указывают, что пара переменных (q, p) лежит в некотором определенном интервале или ячейке дискретного фазового пространства. При этом становится непонятным, почему фазовое пространство атомов или молекул, сравнительно свободно летающих в некотором объеме, должно быть дискретным.
Квантование фазового пространства было введено Планком в 1900г. как вынужденная мера при выводе формулы для спектра излучения абсолютно черного тела и было принято за основу в качестве главного постулата квантовой теории. Позднее, однако, выяснилось, что вводить такое искусственное квантование вовсе не требуется для решения указанной задачи, что было доказано Эйнштейном на языке вероятностей переходов между произвольными энергетическими уровнями излучающей системы.
В соответствии с представлениями Больцмана энтропия S является мерой хаоса макроскопической системы, и она применима для описания любых систем, а не только квантовых. Согласно Планку энтропия вводится с помощью классической комбинаторики Больцмана, но обязательно через квантование, и последнее уже оказывается проявлением непоследовательности в квантовой теории. Естественно, что с квантовыми числами формально намного проще работать, поэтому они и были выбраны (можно сказать, приняты “на ура!”) в качестве методической основы всех расчетов в ущерб пониманию реально происходящих в природе процессов.
ЗАГАДКА ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ КОНСТАНТЫ ФИЗИКИ – ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА
На протяжении ХХ века физики ломали голову над тем: чем обусловлена величина постоянной Планка h или постоянной тонкой структуры . Какова природа h? Или это квант действия S , введенный Планком в атомную физику, или механический момент L в атомах, который следует из уравнения Шредингера, или величина, определяющая длину волны де Бройля h/mv, или величина, определяющая импульс электрона ћ k в кристаллах, или спин элементарных частиц s , кратный ћ/2, или минимальный фазовый объем  в статистической физике микромира и т.д. ? Вопросов накопилось, как мы видим, немало. Попытаемся в этом разобраться.
В соответствии с теоремой Лиувилля постоянная Планка h может действительно претендовать на минимально возможный фазовый объем для функции распределения электронов по координатам и импульсам в самых разнообразных прикладных задачах. В декартовых координатах элементарный фазовый объем  выглядит так:
 = px py pz x  yz,(1)
при этом проекции импульсов px, py, pz и координаты частицы x,y,z рассматриваются как независимые динамические переменные.
Как же смог сформироваться в природе такой минимальный фазовый объем, который не может обратиться в нуль? Чтобы это понять, необходимо учесть стохастический характер движения электронов в эфире, атомах, молекулах и т.д. Свободные электроны не просто летят по прямым траекториям, а постоянно подвержены воздействию электромагнитных флуктуаций физического вакуума, т.е. так называемых “нулевых колебаний” вакуума. На более простом классическом языке это можно выразить так: электроны подвержены воздействию случайных волн эфира, которые заставляют электроны “дрожать”, т.е. совершать своеобразное квазиброуновское движение в вакууме.
В результате таких воздействий импульсы и координаты электронов изначально разбросаны случайным образом вблизи некоторых средних значений, измеряемых в экспериментах. По этой причине, например, невозможно все электроны при помощи кулоновского поля направить точно в центры атомных ядер. Выражаясь образным языком, можно сказать, что электрон всегда выступает в роли “плохого стрелка”. Подавляющее большинство электронов наверняка “промахнутся”, т.е. пройдут где-то вблизи ядер, но будут захвачены кулоновским полем ядер и продолжать случайное движение в окрестности этих ядер. Примерная картина такого движения для атома водорода представлена на рис.3.1.
Поскольку минимальный фазовый объем  для атомных масштабов достаточно велик, а размеры ядер очень малы, то лишь очень редким электронам удастся угодить в ядро, да и то, наверняка, не в “десятку”, поскольку вероятность такого события практически равна нулю.
Из схемы движения электрона хорошо видно, что для центральных полей фазовый объем и орбитальный механический момент для отдельной траектории очень тесно связаны между собой.
В силу полной сферической симметрии среднее значение орбитального механического момента электрона в основном состоянии атома равно нулю, чего нельзя сказать про среднеквадратичное значение этого же момента.
Согласно теореме вириала для центрального кулоновского поля средние значения кинетической энергии K и потенциальной энергии U электрона связаны между собой следующим образом:
<K > = - <U >/ 2 .(2)
В декартовых координатах это выглядит так:
<px2 + py2 + pz2 > /2m = <e2/8  0 >.(3)
Для среднеквадратичных отклонений xск с учетом того, что в силу сферической симметрии < px2> = < py2> = < pz2> и < x 2> = < y 2> =
< z 2> из соотношения (3) получаем
< px2>  xск = A ,(4)
где константой А обозначены все коэффициенты в (3).
С другой стороны, согласно теореме Лиувилля минимально допустимый фазовый объем  = h накладывает свои ограничения на величины  x и  px
< px 2 > < x 2 >  h 2.(5)
Подставляя значение < px 2 > из (5) в (4), получаем
< x 2 >/ x ск  A h 2.(6)
Отсюда получаем
 x ск  A h 2.(7)
Из неравенства (7) следует, что размеры атомов в среднем не могут быть меньше некоторой величины, определяемой минимально возможным фазовым объемом  = h. Поскольку произведение  pск  rск определяет и механический момент электрона относительно ядра, то среднеквадратичное значение этого момента не может быть сколь угодно малой величиной, а должно быть порядка постоянной Планка h.
Поскольку в основном состоянии атома водорода электрон совершает под воздействием «нулевых» колебаний физического вакуума только случайное квазиброуновское движение вокруг ядра, средние значения момента количества движения и его проекций на некоторые выделенные оси обращаются в нуль. Такое состояние движения электрона в атоме называют s-состоянием. Однако если такой атом поместить в магнитное поле, то у электрона может появиться ненулевая проекция механического момента на выделенную ось, которая может быть определена статистическими методами. Это будет рассмотрено в разделе о спине электрона в монографии [1].
ЛИТЕРАТУРА
1. Шаляпин А.Л., Стукалов В.И. Введение в классическую электродинамику и атомную физику. Второе издание, переработанное и дополненное. Екатеринбург, Изд-во Учебно-метод. Центр УПИ, 2006, 490 с.
внешняя ссылка удалена
2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука, 1966. С. 475.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. – М.: Наука, 1968. Т. 1.
4. Рейф Ф. Берклеевский курс физики. Том 5. Статистическая физика. – М.: Наука, 1986. С. 122, 163, 208.
|
Всего сообщений: 51 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 8 дек. 2008 6:05 | IP
|
|
pro
Начинающий
|
НАИБОЛЕЕ ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ, ДОПУСКАЕМЫЕ В КВАЗИСОВРЕМЕННОЙ АБСТРАКТНОЙ ФИЗИКЕ – 5
Полный текст – внешняя ссылка удалена
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ АТОМНОЙ ФИЗИКИ В РАМКАХ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 29. Электромагнитный механизм дифракции микрочастиц на монокристаллах.
На первый взгляд, в рамки обычных классических представлений не укладывались закономерности, которые проявлялись при отражении любых микрочастиц от граней совершенных монокристаллов. Частицы проявляли себя так же, как и рентгеновские лучи с длиной волны, равной длине волны де Бройля h/mv, для которых выполнялись условия Вульфа-Брэгга при отражении от кристаллических плоскостей. Особенно знаменательным было то, что существование гипотетических волн микрочастиц (волн материи) было предсказано де Бройлем за два года до экспериментов по дифракции микрочастиц на монокристаллах. Попытаемся произвести анализ этого явления, ставшего поначалу сенсационным и необычным, а в дальнейшем просто роковым для судеб физики.
При рассмотрении каких бы то ни было моделей дифракции микрочастиц в результате их взаимодействия с внешними макрообъектами следует учитывать, прежде всего, те экспериментальные данные, которые можно отнести к разряду твердо установленных фактов. К настоящему времени с высокой степенью точности и воспроизводимости результатов констатируется следующее:
1. Явления дифракции характерны для микрочастиц любой природы – электронов, протонов, нейтронов, а также для атомов и молекул, за что их и нарекли своеобразными волнами материи. Наличие у частиц заряда или его отсутствие может сказаться на коэффициенте отражения, но не на характере дифракционной картины. Здесь, пожалуй, можно опустить из рассмотрения, например, эффекты рассеяния -мезонов на протонах, которые также предполагается интерпретировать с точки зрения дифракционных механизмов.
2. Дифракция микрочастиц имеет в общем случае не поверхностный, а скорее объемный характер, обнаруживаясь при прохождении через монокристаллы, облете препятствий. В случае же отражения от поверхности монокристаллов картина дифракции в большей степени определяется физической природой монокристалла и в меньшей степени – состоянием его поверхности, в частности, процессами адсорбции или концентрацией дефектов на поверхности. Последние можно рассматривать как малые возмущения к основной картине дифракции на монокристалле, обусловленной его структурой.
3. Доминирующим фактором дифракции является величина относительной скорости между микрочастицей и макрообъектом. Если же говорить точнее, то для системы координат, связанной с монокристаллом, главным является импульс микрочастицы. Но эксперимент можно поставить так, что монокристалл будет двигаться с некоторой скоростью навстречу частицам. В том случае, когда будут двигаться навстречу друг другу и микрочастица, и монокристалл, не совсем ясно, что понимать под длиной волны де Бройля в разных системах отсчета, не говоря уже о механизме возникновения такой волны.
4. В данных экспериментах отмечается поразительная корреляция положения дифракционных максимумов от кристаллографических характеристик макрообъектов-мишеней, от взаимной ориентации векторов импульса микрочастицы и кристаллической решетки.
Последнее обстоятельство традиционно является самым сильным доводом в пользу сложившейся концепции корпускулярно-волнового дуализма, а также обоснованием де-бройлевского формализма. Оставляя вне критики исходные пункты квантовой механики, основанные Борном, де Бройлем, Бором, Шредингером, Гейзенбергом и др. и приведшие, в конце концов, к возникновению целых направлений в фундаментальных исследованиях (от квантовой химии до прикладной математики), можно попытаться дать альтернативные интерпретации дифракционных механизмов и моделей.
Стало уже почти общим утверждение о нематериальности волн де Бройля, т.е. их существование оценивается почти исключительно с позиций эффективности математической модели. Можно согласиться, что это действительно фантастично и плодотворно, но, с точки зрения материальной физики, выглядит не вполне достаточной и непротиворечивой моделью. Отметим лишь некоторые принципиальные моменты:
1. Волнам де Бройля присущ широкий спектр необычных свойств – вакуумная дисперсия, пространственная локализация, необычные соотношения групповой и фазовой скоростей. Неясна даже гипотетически их природа, и, как следствие, "волны де Бройля не имеют ничего общего с волнами, рассматриваемыми в классической физике" [1]. Если волны де Бройля – это лишь статистическое (общепринятое) описание движения микрочастиц, то ведь должен, кроме количественного статистического описания, присутствовать реальный “природный” механизм рассеяния, который хотя бы приблизительно способен был объяснять наличие дифракции.
2. Мягко говоря, дискуссионным подходом к проблеме можно было бы назвать решительное нерассмотрение электромагнитной природы взаимодействия микрочастиц с макрообъектом. При условиях, сопутствующих явлениям дифракции, вряд ли могут быть отменены (и не отменяются) законы классической механики и электродинамики. Тем не менее, в рамках де-бройлевских моделей электростатическое взаимодействие с периодическими полями кристаллической решетки никак не отражается. Это не может не вызвать вопросов, потому что, например, при различных твердотельных эффектах, связанных с миграцией электронов по решетке, такие взаимодействия в основном только и рассматриваются. При этом вполне естественным выглядит требование того, чтобы распределение электронных облаков имело ту же самую пространственную периодичность, которая характерна в целом для атомов кристалла. Здесь достаточно вспомнить соответствующие теоремы Блоха и Ванье [2].
3. Среди экспериментальных данных, наглядно отражающих кристаллографию мишеней, обычно привлекают внимание эффекты каналирования электронов и протонов вдоль атомных плоскостей, а также эффекты теней от плоскостей кристалла. Получающиеся при этом картинки, сходные с дифракционными, находят, как известно, совершенно ясные объяснения вне де-бройлевского формализма. Наконец, стоит заметить, что микрочастице вовсе не обязательно мигрировать сквозь кристалл, чтобы провзаимодействовать с его периодическими полями, поскольку структура таких полей посредством электромагнитных полей может быть "прощупана" еще на подлете к поверхности монокристалла. Ни для кого же, в конце концов, не является секретом, что силовое электромагнитное взаимодействие между частицами происходит непрерывно и на любых расстояниях, хотя, возможно, и с разной интенсивностью в зависимости от конкретных условий.
4. Поскольку мерой механического движения, определяющей динамические свойства тел, является импульс – вполне закономерно связывать дифракцию, явно или неявно, с величиной . Каким бы образом падающий пучок не коллимировался и не монохроматизировался, все равно приходится иметь дело со статистической физикой, т.к. различные частицы испытывают рассеяние в существенно отличающихся случайных условиях. Даже если принимать за основу некую локальную микроскопическую модель рассеяния, то пришлось бы учитывать, например, возможности рассеяния вблизи атомов и в междоузлиях или иные факторы влияния. Если же рассматривать процесс рассеяния на всем кристалле сразу (модель большой молекулы), тогда обмен импульсом с кристаллом может иметь разброс в широком диапазоне значений, определяемых спектральным распределением электронов кристалла по импульсам. Таким образом, приходится иметь дело с функциями распределения либо по координатам или углам, либо по импульсам.
Из корреляционной теории, получившей существенные результаты спустя 10-20 лет после работ де Бройля, Дэвиссона и Джермера, можно было бы позаимствовать ряд полезных идей. Математический аппарат стохастических процессов, основанный на Фурье-преобразованиях, это - канонические разложения случайных функций в ряды Фурье, формулы Хинчина-Винера, спектральные разложения корреляционных функций с дискретным или непрерывным спектрами [3].
Итак, попытаемся все-таки проанализировать сложный механизм, управляющий дифракцией микрочастиц на монокристаллах. Как известно, явление дифракции микрочастиц заключается в появлении резких дифракционных максимумов при отражении пучка частиц от монокристаллов в случае выполнения условий Вульфа-Брэгга (рис. 29.1):
2d sin α = nλ D, (29.1)
где d - постоянная кристаллической решетки, α - угол скользящего падения, n - порядок дифракционного максимума, λ D = h/mv - длина волны де Бройля налетающих частиц.
Ситуация может несколько проясниться, если приведенные условия Вульфа-Брэгга переписать в несколько иной форме, а именно:
, (29.2)
где 2 pn - величина, на которую изменяется нормальная по отношению к поверхности компонента импульса микрочастицы при зеркальном отражении от поверхности монокристалла, nhk - дискретный спектр нормальной компоненты импульса электронов кристаллической решетки, k = 2π/d - модуль волнового вектора обратной решетки. В таком виде записи формулы Вульфа-Брэгга просматривается определенный резонанс при обмене нормальной компонентой импульса между налетающей частицей и электронной плазмой кристаллической решетки, т.е. действует закон сохранения проекции суммарного импульса на нормаль к поверхности монокристалла. При этом проекция импульса налетающей частицы на плоскость, совпадающую с гранью монокристалла, может сохраниться автоматически при равенстве углов падения и отражения.
Однако угол падения может быть и не равен углу дифракции (рис. 29.2). При этом условия дифракции (29.1) несколько видоизменяются:
, (29.3)
где а – постоянная кристаллической решетки в направлении, перпендикулярном поверхности кристалла. При переходе к импульсам это же соотношение запишется в виде
. (29.4)
Как мы видим, это соотношение уже не похоже на закон Вульфа-Брэгга, а именно: здесь отсутствует коэффициент 2, и угол падения не равен углу отражения.
В завершение сказанного следует отметить, что спектр компонент импульсов электронов кристаллической решетки может быть найден методом простого Фурье-анализа функций распределения электронов решетки по координатам и по импульсам. Ранее Альфредом Ланде [4] также обращалось внимание на то, что дифракция микрочастиц может быть объяснена без искусственной и неэкономной гипотезы о волновой природе частиц, а определенными механическими свойствами всей кристаллической решетки в целом, дискретной передачей импульсов телом, имеющим периодическую структуру. Однако многие работы А. Ланде остались без должного внимания.
§ 34. Стационарное уравнение Шредингера. Метод Фурье
Рассмотрим изолированную систему атомов, которая не обменивается энергией с окружающей средой. Из классической механики известно, что при движении замкнутой (консервативной) системы ее полная энергия Е не меняется, поэтому все точки в фазовом пространстве, изображающие состояние системы в разные моменты времени, должны лежать на некоторой гиперповерхности, соответствующей начальному значению энергии Е. Уравнение этой поверхности в переменных p и q имеет вид:
, (34.1)
где H(p,q) – функция Гамильтона (или гамильтониан), K(p) – кинетическая энергия, зависящая от обобщенных импульсов, U(q) – потенциальная энергия, зависящая от обобщенных координат.
В декартовых координатах закон сохранения полной энергии E для отдельного электрона с потенциальной энергией U выглядит так:
, (34.2)
где p – импульс электрона, m – масса электрона. Полная энергия E в среднем имеет одно и то же значение в каждой точке траектории электрона. Воспользуемся этим замечательным свойством энергии E для определения средней электронной плотности в атомах.
Как уже отмечалось, в процессе длительного движения за счет флуктуаций импульсов и координат электрон может побывать в самых неожиданных точках пространства и в широком диапазоне значений импульсов и кинетической энергии. Исходя из статистических закономерностей, можно заранее сказать, что чем дальше точка находится от ядра, особенно если речь идет о расстояниях r, значительно превышающих средний радиус атома, тем с меньшей вероятностью можно встретить там электрон. Другими словами, плотность вероятности w(x,y,z) пребывания электрона в различных точках пространства или функция распределения электронной плотности должна стремиться к нулю при r → . Отсюда следует, что функция распределения w(x,y,z) для атома должна быть абсолютно интегрируемой во всем пространстве, и для нее может быть введена нормировка в виде (31.5).
Попробуем составить дифференциальное уравнение, из которого можно было бы определить функцию w(x,y,z) с использованием всей известной нам информации об атомах? в том числе и граничных условий для w(x,y,z). При этом мы учтем тот факт, что импульс электрона в различных точках в атоме или молекуле может принимать не произвольные значения, а на него накладывается ограничение при помощи соотношения (34.2). Следовательно, при статистическом подходе можно рассматривать некоторое пространственное распределение электронов по импульсам в соответствии с выражением (33.2). Учитывая, что импульс является вектором, в дальнейшем будем исследовать векторное поле p(x,y,z). При этом сразу отметим, что функции распределения электронов по координатам и импульсам в атомах и молекулах будут существенно отличаться от функций распределения, полученных Максвеллом и Больцманом в молекулярной физике.
Характерно, что в статистике Максвелла функция распределения по скоростям не зависит от координат, а зависит от средней температуры газа, которая считается постоянной во всем объеме. Примерно также обстоит дело с функцией распределения Больцмана, которая зависит от координат, т.е. от потенциальной энергии и от температуры. Таким образом, обе функции распределения считаются независимыми и входят в общую функцию распределения по скоростям и по координатам частиц в виде произведения. Естественно, что это является определенным приближением, поскольку средняя кинетическая энергия частиц в потенциальном поле в различных точках пространства обычно не является постоянной. Соотношение (34.2) накладывает ограничения на допустимые значения импульсов частиц в потенциальном поле при заданной полной энергии E и, следовательно, вносит определенное уточнение в статистику электронов по сравнению со статистикой Максвелла-Больцмана.
Таким образом, в рассматриваемой нами статистике электронов мы не используем такого понятия, как температура частиц, которая была бы постоянной во всем рассматриваемом объеме, а учитываем тот факт, что кинетическая энергия электрона при его заданной полной энергии E является функцией координат в соответствии с уравнением (34.2).
Данная статистика более пригодна к внутриатомным движениям, где в малых областях пространства с относительно малым количеством электронов имеются очень сильные и неоднородные электромагнитные поля, и где становится невозможно представлять распределения электронов по скоростям (или импульсам) и координатам раздельно. Кроме этого, для отдельного электрона в атоме можно указать определенные интегралы движения, такие, как полная энергия E, модуль полного момента количества движения L и проекция этого момента на ось симметрии Lz, чего нет в статистике Максвелла - Больцмана за исключением полной энергии E.
Теперь рассмотрим более подробно некоторые специфические особенности, присущие спектральному методу Фурье, в приложении к нашей задаче. Состояние системы частиц описывается совокупностью 6N канонических переменных q и p, подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Полагая совокупность канонических переменных случайной величиной, как это имеет место при статистическом рассмотрении динамической микромодели, каждому микросостоянию (q, p) сопоставляем некоторую плотность вероятности, или функцию распределения w(q,p,t), которая статистически описывает движение фазовых точек в фазовом пространстве.
Как уже было отмечено, согласно теореме Лиувилля движение фазового ансамбля в фазовом пространстве можно по аналогии с гидродинамикой рассматривать как движение несжимаемой фазовой жидкости. Это означает следующее: если распределение случайной величины по координате w(x) сжимается в несколько раз по оси x, то во столько же раз распределение случайной величины по импульсам v(px) расширяется по оси импульсов px, сохраняя тем самым фазовый объем Г. В силу независимости уравнений движения в проекциях то же самое, очевидно, можно сказать и про остальные оси координат:
. (34.3)
Аналогичный результат можно получить и из теории адиабатических инвариантов. Смысл этой теории заключается в том, что при адиабатических процессах в системе, совершающей финитное движение, т.е. при медленном изменении некоторого параметра , характеризующего систему или внешнее воздействие, сохраняется в среднем некоторая величина I, называемая адиабатическим инвариантом. На языке формул это запишется как
, (34.4)
где I обозначает интеграл
, (34.5)
вычисленный по траектории движения при заданных Е и .
Интегралу (34.5) может быть придан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием фазовой траектории системы. В случае одной степени свободы фазовое пространство сводится к двумерной системе координат (q, p), и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (34.5), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть записан и как двойной интеграл по двумерной плоской области
, (34.6)
т.е. по аналогии с теоремой Лиувилля (31.1).
Отсюда можно заключить, что переменные q и p при движении системы в фазовом пространстве ведут себя по аналогии с сопряженными переменными в преобразованиях Фурье и к ним можно применить спектральный метод Фурье. Другими словами, функция распределения системы частиц по импульсам будет вести себя подобно спектру Фурье по пространственным частотам. При этом импульс рх с точностью до некоторого размерного коэффициента может служить аналогом пространственной частоты fx для сопряженной переменной х.
По аналогии с функцией распределения электронов по координатам w(x,y,z) вида (31.2) рассмотрим функцию распределения электронов по импульсам
v(px, py, pz ), для которой справедливо соотношение
, (34.7)
где  (px) – комплексная амплитуда функции распределения по импульсам.
В соответствии с методом Фурье частотный спектр c(fx) функции Ф(x) можно найти с помощью интеграла
. (34.
Для обратного преобразования Фурье, как известно, имеем
, (34.9)
при этом выполняется равенство Парсеваля
. (34.10)
Для функций распределения w(x) и v(px) имеется аналогичное соотношение нормировки
. (34.11)
Продолжая аналогию для сопряженных переменных х и рх, мы можем записать
, (34.12)
, (34.13)
где h = 2 ћ – размерный коэффициент, определяемый из эксперимента. В соотношениях (34.12) и (34.13) хорошо видно, что переменная px / h играет такую же роль, что и пространственная частота fx в (34. и (34.9), т.е. px аналогично hfx = ћ kx. Теперь становятся понятными соотношения, очень часто используемые в атомной физике как постулат,
px = ћ kx , p = ћ k. (34.14)
Согласно методу Фурье динамическую переменную в уравнении можно заменить производной от комплексной амплитуды по сопряженной переменной. Например, всем хорошо знакомы дифференциальные уравнения для частных производных по времени в методе Фурье
, (34.15)
где частота  выступает в роли сопряженной переменной для t.
По аналогии с (34.15) для переменной x в методе Фурье справедливы уравнения
. (34.16)
Теперь в соответствии с (34.14) заменяем пространственную частоту fx в (34.16) через импульс px по формуле
px = ћ kx = ћ 2 π fx . (34.17)
В итоге получаем
. (34.1
С помощью соотношений (34.1 задача на нахождение средних значений импульсов может быть решена полностью в конфигурационном пространстве, т.е. минуя переменные импульсов рх.
С использованием уравнений (34.1 закон сохранения полной энергии электрона в атоме
(34.19)
запишется для трех координат в виде
(34.20)
Таким образом, мы получаем стационарное уравнение Шредингера, опираясь только на теорему Лиувилля для функций распределения электронов по координатам и по импульсам, спектральный метод Фурье и закон сохранения полной энергии в атомных системах.
При выводе статистического уравнения Шредингера (34.20) нами были использованы наиболее общие свойства движения электронов в атомных системах, т.е. движения в центральных кулоновских полях ядер, поэтому оно может быть справедливо для общего анализа различных атомных, молекулярных и других систем, где не учитываются разного рода релятивистские эффекты. С помощью данного уравнения мы можем отыскать функцию Ф(x,y,z) как комплексную амплитуду функции распределения электронов w(x,y,z) для конкретного вида функции потенциальной энергии U(x,y,z) и заданной полной энергии E электрона.
Необходимо подчеркнуть еще одну особенность данной задачи. Условие нормировки (31.5) требует, чтобы функция Ф на бесконечности обращалась в нуль. Подобные ограничения на функцию называются граничными условиями, а задача с такими условиями называется краевой. Как правило, решение подобных задач сводится к отысканию собственных функций и собственных значений некоторого параметра уравнения, удовлетворяющего частному решению линейного дифференциального уравнения (задача Штурма - Лиувилля). В качестве собственных значений в данной задаче могут выступать различные интегралы движения электронов в центральных полях (полная энергия E, модуль момента количества движения L, а также проекция механического момента на ось симметрии системы Lx).
§ 36. Связь энергии с частотой. Динамическое уравнение Шредингера
Рассмотрим систему, состоящую из большого числа атомов, т.е. вещество. Распределение электронной плотности в веществе при стационарном движении электронов описывается стационарной функцией распределения w(x,y,z), уравнение для которой мы вывели в § 31. Отметим, что под стационарным распределением следует понимать усредненную за бесконечное время наблюдения плотность электронной плазмы в веществе. Однако из-за статистического характера движения электронов электронная плотность не остается постоянной, а непрерывно флуктуирует во времени за счет естественного орбитального движения электронов в атомах и молекулах. Таким образом, для установления более полной динамической картины поведения электронной плазмы необходимо учитывать временную зависимость функции распределения. При этом функция распределения будет иметь вид: w(x,y,z,t). Требуется определить характер этой зависимости и, в частности, зависимость от времени комплексной амплитуды функции распределения Ф(x,y,z,t).
С этой целью воспользуемся законом сохранения полного заряда или числа частиц в веществе. Этот закон в дифференциальной форме известен как уравнение непрерывности для плотности заряда  и плотности электрического тока j = v, где v - средняя скорость электронов,
. (36.1)
Используя статистический метод описания, выразим плотность электрического заряда через функцию распределения электронной плотности w(x,y,z,t) и заряд электрона e
. (36.2)
Подставив это выражение в (36.1) и сократив заряд e, получим уравнение непрерывности для функции распределения электронной плотности
. (36.3)
Данное уравнение на языке статистической механики может быть интерпретировано следующим образом. Первый член уравнения означает изменение функции распределения или электронной плотности во времени в данной точке пространства. Второй член имеет смысл потока функции распределения или потока плотности вероятности через малую сферу, окружающую данную точку, в соответствии с определением дивергенции вектора. Вполне естественно, что от функции распределения некоторой физической величины (заряда, массы, энергии и т.д.) можно всегда перейти к описанию поведения во времени самой физической величины в терминах механики сплошных сред.
Таким образом, использование той или иной функции распределения является мостиком или связующим звеном между описанием движения дискретных объектов в статистической механике и в механике непрерывных сред, которые всегда являются некоторой идеализацией реального вещества, состоящего из атомов и молекул. Недооценка этого подхода породила в квантовой теории представление об отдельной частице как о протяженном (размытом) в пространстве объекте: например, волна де Бройля, волновой пакет или электрон в виде облака, хотя речь идет, как правило, всего лишь о функции распределения, то есть плотности вероятности местонахождения частицы в заданном объеме.
С целью определения временной зависимости Ф(x,y,z,t) приведем уравнение (36.3) к виду
. (36.4)
Преобразуем правую часть (36.4) к симметричной форме с заменой скорости v на импульс электрона p = mv
. (36.5)
Теперь воспользуемся методом Фурье, применявшимся нами для вывода стационарного уравнения Шредингера (34.1, и произведем замену импульса p в (36.5) дифференциальным оператором в соответствии с выражением
. (36.6)
Подставив (36.6) в (36.5) и выполнив дифференцирование, получаем
. (36.7)
Для приведения уравнения к удобному виду с целью совместного его решения со стационарным уравнением Шредингера (34.1 умножим все члены (36.7) на i ћ, раскроем скобки в левой части, а в правую часть прибавим и вычтем слагаемое Ф*UФ. После соответствующей перегруппировки слагаемых в получившемся уравнении имеем
(36.
Данное сложное уравнение состоит из двух комплексно сопряженных частей более простого уравнения
, (36.9)
где произведено сокращение на Ф*.
Мы получили полностью классическим путем динамическое уравнение Шредингера, которое было введено им также в виде постулата, исходя из волновых соображений в 1926 году. Если потенциальная энергия U(x,y,z) не зависит от времени, то в уравнении (36.9) можно произвести разделение переменных, записав функцию Ф в виде произведения временной и пространственной функций
. (36.10)
Подставим это выражение в уравнение (36.9)
(36.11)
и поделим обе части уравнения (36.11) на ВП
. (36.12)
Хорошо видно, что левая часть уравнения (36.12) зависит только от времени, а правая часть – только от координат. Для любых значений t и координат это возможно только в том случае, если обе части уравнения равны некоторой константе Е, называемой параметром разделения. В результате мы получаем два независимых уравнения
(36.13)
и
. (36.14)
Второе уравнение является стационарным уравнением Шредингера, которое было выведено нами ранее методом Фурье. Уравнение (36.13) легко решается и приводит к следующей временной зависимости функции В(t):
, (36.15)
где  = E/ ћ – боровская частота. Данное уравнение могло быть также получено и на основе гармонического Фурье-анализа из соотношения
. (36.16)
Проанализируем различные варианты решения уравнений (36.13) и (36.14). Если параметр разделения Е является комплексным, то функция В(t) будет изменяться во времени по модулю, что приведет к изменению электронной плотности в данной области пространства, т.е. соответствует нестационарному процессу, а полная энергия не является интегралом движения системы. При этом будет происходить либо поглощение, либо излучение электромагнитной энергии в зависимости от характеристик системы. В том же случае, если параметр разделения является действительной величиной, модуль функции В(t) становится постоянным и зависимость В(t) является гармонической с частотой колебаний . Это соответствует стационарному движению электронов в атомах и молекулах, т.е. параметры движения в системе остаются постоянными.
§ 36. Функции распределения электронов по импульсам в периодических структурах
Рассмотрим поведение электронов в периодической атомной структуре. Предположим, что атомы расположены в упорядоченной линейной цепочке с бесконечной протяженностью и расстояния между центрами атомов равны a (рис. 36.1). Подобные цепочки атомов можно наблюдать в достаточно крупных совершенных монокристаллах, состоящих из однородных атомов.
Допустим также, что электроны в атомах цепочки движутся по некоторым стационарным орбитам, в результате чего устанавливается равновесное распределение электронов в пространстве. Естественно ожидать, что в данном случае распределение электронных облаков имеет пространственную периодичность с периодом, равным а.
Таким образом, как функция распределения электронов по координатам w(x,y,z), так и комплексная амплитуда функции распределения Ф(x,y,z) для цепочки атомов имеют пространственную периодичность с периодом а.
Разложим периодическую функцию Ф(x,y,z) в ряд Фурье в комплексной форме по пространственным гармоникам по оси x, полагая при этом, что по осям y и z предварительно произведено усреднение электронной плотности,
, (36.1)
где k = 2π/a – пространственная частота первой гармоники, Cn – коэффициенты разложения или амплитуды Фурье-гармоник. Cn ряда (36.1) можно определить посредством интегрирования на этом отрезке
. (36.2)
Достаточным условием применимости разложения Фурье являются некоторые математические ограничения, сводящиеся к тому, что функция Ф(x) должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов, а также в пределах одного периода иметь конечное число максимумов и минимумов (условие Дирихле). Вполне естественно, что большинство функций распределения удовлетворяют этим условиям.
Можно предположить, что распределение электронной плотности в реальных периодических структурах имеет сравнительно гладкий характер, т.е. не имеет очень резких перепадов, как и большинство других распределений в статистической физике. В таком случае ряд Фурье (36.1) будет быстро спадать с увеличением n, т.е. не будет иметь в своем составе очень высокочастотных пространственных гармоник.
Хорошо известно, что слагаемые ряда Фурье являются взаимно ортогональными функциями при интегрировании их по оси x. Таким образом, ряд (36.1) можно рассматривать как разложение функции Ф(x) по собственным ортогональным функциям Фn(x), причем квадрат модуля коэффициента означает спектральный вклад n-й гармоники в общий частотный спектр.
Существенно отметить, что согласно (36.1) функция распределения электронов по координатам в периодической структуре имеет дискретный частотный спектр. Можно ожидать, что и функция распределения электронов по импульсам также будет дискретной.
Подставив значение функции Ф(x) из ряда Фурье (36.1) в выражение функции  (px) (33.12), мы можем вычислить ее явный вид
. (36.3)
Воспользовавшись свойствами дельта – функции
(36.4)
и вычислив интеграл (36.3) по х, получаем
. (36.5)
Мы действительно получили дискретный спектр функции  (px), причем импульсы электронов px могут принимать здесь лишь значения n ћ kx
. (36.6)
Отсюда можно заключить, что такая электронная система в периодической структуре может обмениваться лишь дискретными импульсами, кратными ћ kx, что и объясняет, в конечном итоге, дифракцию любых частиц на монокристаллах, а также условия Вульфа – Брэгга (29.1)-(29.2) и соотношения (29.3) – (29.4). Более подробно обо всем этом можно прочесть в монографии [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Наука, 1983.
2. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. – М.: Наука, 1967.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1962.
4. Lande A. The case against quantum dualiti / "Philos. Sci.",1962. V.29, N.1, p.1-6.
5. Шаляпин А.Л., Стукалов В.И. Введение в классическую электродинамику и атомную физику. Второе издание, переработанное и дополненное. Екатеринбург, Изд-во Учебно-метод. Центр УПИ, 2006, 490 с.
внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: 51 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 9 дек. 2008 6:53 | IP
|
|
|
Форум
Наиболее типичные ошибки физики
