Равновесие произвольной пространственной системы сил

(Физика → Теоретическая механика → Пространственная система сил → Задача 117)

Условие задачи

Деревянный брус прямоугольного поперечного сечения b=20 см и h=25 см жестко заделан в стене таким образом, что выступающая из стены часть бруса горизонтальна и имеет длину АВ=l=0,6 м (см. рис. 166, а). Свободный конец бруса нагружен тремя силами: силой P1=1,5 кн, действующей вдоль вертикального ребра торца бруса, силой Р2=2 кн, приложенной в центре тяжести торца и действующей в вертикальной плоскости под углом α=35° к горизонтали, и силой Р3=1 кн, действующей вдоль нижнего горизонтального ребра торца бруса.

Определить реакции заделки.

Рис. 166, 167 и 168. Нагрузки на брус

<< задача 116 || задача 118 >>

Решение задачи

1. Освободим брус от связи (от стены) и заменим ее реакциями (рис. 166, б). Как известно (см. § 14, п. 5 и задачи 82, 83), равновесие балки, жестко заделанной одним концом, обеспечивается двумя реактивными факторами: реактивной силой и реактивным моментом. В данной задаче нагрузки, действующие на брус, расположены не в одной плоскости, поэтому нельзя заранее определить, в каких плоскостях расположатся реактивная сила и реактивный момент.

Заменим реактивную силу тремя составляющими: Xз, Yз и Zз, направив их вдоль предварительно выбранных осей координат. Реактивный момент заменим также тремя моментами* – тремя парами сил: Mx, My и Mz.

2. Таким образом, на брус, кроме трех заданных сил, действуют шесть неизвестных реактивных факторов – три силы и три момента. Для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия – значит задача статически определима.

3. Для облегчения составления уравнений равновесия изобразим брус вместе с действующими на него силами в трех проекциях (рис. 168, а) и составим уравнение равновесия.

Можно, конечно, при составлении уравнений пользоваться только одним рис. 166, б:

Определение реакций заделки

* Как известно, пару сил можно тоже представить в виде вектора (см. рис. 62, § 10). Вектор пары сил, так же как и вектор силы, можно разложить на три составляющих вектора, направленных вдоль осей (рис. 167, а), а затем каждый составляющий вектор пары заменить парой сил, действующем в плоскости, перпендикулярной к той оси, вдоль которой направлен вектор пары (рис. 167 б, в, г).