Roman Osipov 
Долгожитель
|
       
Функционал это же частный случай оператора, потом molly написала, что этот оператор ставит непрерывной на [0;1] функции действительное число (просто написала оператор, вместо функционал), так что же Вас смущает, MEHT
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 23 марта 2008 23:41 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Спасибо, теперь ничего.
Однако, если А - функционал, то в данном случае зависимости от t в левой части быть не должно.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2008 23:53 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Это не зависимость, просто записано, что A действует на функцию, зависящую от t.
Вы нашли норму?
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 0:01 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Пока что получил только ту же оценку
1 + 1/pi >= ||A||.
Есть подозрение, норма меньше единицы и равна 1/pi.
Но опять таки - только догадка...
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 марта 2008 0:58 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Например, если рассмотреть последовательность функций
x(t)=exp(-k*(t-(1/2))^2),
k — натуральное (ясно, что все такие функции принадлежат C[0;1] и их Чебышова норма равна 1), и увеличивать k, то в таком случае ||Ax(t)||--->1. Поэтому, норма функционала должна быть очень близка к 1, а с учетом того, что при нахождении ||A|| берется sup||Ax(t)|| по ||x(t)||=1, получается, что 1=<||A||<=1+1/pi. У меня есть подозрение, нужно аккуратно проверить, что ||A|| не можеть быть больше единицы, тогда будет доказано, что ||A||=1
(Сообщение отредактировал Roman Osipov 24 марта 2008 9:17)
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 9:15 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Эти функции в точке x=1/2 имеют максимум. При увеличении k график сужается около этого значения - площадь под графиком уменьшается. ЭТо обстоятоятельство сказывается на интеграл под знаком нормы - он также уменьшается. Вследствие этого на значение нормы существенно сказывается не интеграл, а значение x(1/2)=1.
Ну а если рассмотреть функции, обращающиеся в точке t=1/2 в нуль.
Максимум x(t0)=1 достигался бы любой другой точке - например в точке t0=1/4 или t0=3/4 (или в обоих точках одновременно).
И по мере увеличения k площадь под графиком бы нарастала около максимума (максимумов).
(аналитического выражения пока подбирать не пытался)
В этом случае норма бы существенно зависела от интеграла и по мере увеличения площади под графиком,
||Ax(t)|| стремилась бы к 1/pi.
Это только формальные рассуждения, не претендующие на математическую строгость. Возможно, что где-то и ошибаюсь.
Наскольно я понял, Вы являетесь студентом-математиком, я же студент-физик и в подобных вопросах во многом Вам уступаю, т.к. на настоящий момент функциональный анализ знаю довольно посредственно.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 марта 2008 14:53 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Нельзя забывать, что функция x(t) непрерывна и ее область значений не может "выходить" за пределы полосы [-1;1] (т. к. мы ищем sup||Ax(t)|| по ||x(t)||=1). В этих условиях получается, что интеграл для такой функции x(t) не превысит 1/pi. Но стоит задача найти sup, и мой пример строго показывает (вернее, применяя его можно строго показать), что ||A||>=1.
К Вашему примеру:
Так как функция f(t)=t*sin(pi*t) неотрицательна и не превышает единицы на отрезке [0,1], то если мы рассмотрим функцию x(t), такую, что x(1/2)=0 и к тому же ||x(t)||=1, то получим, что для таких функций ||Ax(t)||<=1/pi, но для того чтобы найти норму оператора нужна точная верхняя грань ||Ax(t)|| при ||x(t)||=1, Вы же получили простно верхнюю грань, для некоторого специального вида функций.
Стоит вопрос: можно ли найти непрерывную функцию x(t), с нормой 1, такую, что ||Ax(t)||>1, если удастся доказать, что нет, то с использованием моих функций специального вида будет доказано, что ||A||=1.
Над последним вопросом я сейчас думаю.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 17:10 | IP
|
|
Molly
Новичок
|
большое всем спасибо. Сделала и сдала. Норма А=1
|
Всего сообщений: 16 | Присоединился: март 2008 | Отправлено: 24 марта 2008 18:37 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Рад, что мой ответ правилен
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 19:36 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Roman Osipov, благодарю за ответ.
Каюсь - не учёл того, что супремум должен быть точным... 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 марта 2008 19:48 | IP
|
|
|
Форум
Функциональный анализ
