Garf2009
Новичок
|
     
Здравствуйте!
Ребята, необходимо сделать контрольную работу по вычислительной математики. Необходимо решить задачи, а потом эти решения написать на языке си.
В низу, в каждом примере приведена таблица. В этой таблице у меня 3 вариант. В лб 5 и 6 можно не составлять программу на си, но решить нужно.
Всего примерно 7 задач.
вот ссылка на задачи: внешняя ссылка удалена
icq 299422842
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 30 дек. 2008 16:50 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
В чем проблема конкретно
Я посмотрела Ваш файл
Перед каждой задачей все расписано и теоретически и практически
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 дек. 2008 20:05 | IP
|
|
Garf2009
Новичок
|
да я вообще не понимаю как их решить. Помогите пожалуйста все решить?
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 30 дек. 2008 20:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Лабораторная работа 1-2
exp{4x}+x = 0
1) Определим количество корней исходного уравнения графическим методом.
exp{4x}+x = 0
exp{4x} = -x
Построим графики функций f1(x) = exp{4x} и f2(x) = -x.
Графики функций пересекаются только в одной точке. Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень. Абсцисса найденной точки пересечения графиков является приближенным значением корня.
2) Докажем аналитическим методом единственность корня исходного уравнения.
- функция f(x)=exp{4x}+x непрерывна на отрезке [-1; 0]
- f(-1) = exp{-4}-1 < 0; f(0) = exp{0}+0 = 1 >0; то есть на концах отрезка функция имеет разные знаки
- f'(x) = 4exp{4x}+1 > 0 для любого x из отрезка [-1;0], то есть производная функции не меняет знак на отрезке
Следовательно, исходное уравнение exp{4x}+x=0 имеет единственный корень на отрезке [-1;0]
3) Метод простых итераций.
Построим функцию g(x) = x+cf(x) = x+c(exp{4x}+x)
Как было показано выше, производная f'(x)>0 на всем отрезке [-1;0]. Тогда значение c выбирается из интервала
-2/f'(x) < c < 0. Так как f'(x) всюду положительна на отрезке, то конкретизируя значение производной в любой точке отрезка (например, x=0), значение с определяется из интервала
-2/f'(0) < c < 0
-2/5 < c < 0
-0.4 < c < 0
Выберем значение c = -0.1
Тогда рабочая формула метода простых итераций имеет вид
x_n+1 = x_n - 0.1*(exp{4x_n}+x_n), n=0,1,...
Начальное приближение зададим x_0 = 0
Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий:
|x_n+1 - x_n| < эпсилон
|f(x_n+1)| < дельта
В этом случае x_n+1 будет являться приближенным значением корня исходного уравнения на заданном отрезке
(Сообщение отредактировал RKI 31 дек. 2008 16:26)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 дек. 2008 15:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
4) Метод Ньютона
f(x) = exp{4x}+x
f'(x) = 4exp{4x}+1
f''(x) = 16exp{4x}
В качестве начального приближения x_0 выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Нютона:
f(x_0)f''(x_0)>0
Данное неравенство не выполняется в точки x=-1 И выполняется в точке x=0. Следовательно, начальным приближением выбирается точка x_0 = 0
Рабочая формула метода Ньютона
x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n+1 = x_n - (exp{4x_n}+x_n)/(4exp{4x_n}+1), n=0,1,...
Условия выхода итерациооного процесса аналогичны условиям метода простой итерации.
5) Модифицированный метод Ньютона.
Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, то есть x_0 = 0
Рабочая формула модифицированного метода Ньютона
x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_0)
x_n+1 = x_n - (exp{4x_n}+x_n)/5, n=0,1,...
Условия выхода итерациооного процесса аналогичны условиям метода простой итерации.
---------------------------------------------------------------------
Написание программ - вопрос не форума "Математика"
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 дек. 2008 16:26 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Лабораторная работа 3.
{x^2 - y^2 - 5 = 0; x - y - 1 = 0
1) Определим аналитические решения исходной системы нелинейных уравнений
{x^2 - y^2 - 5 = 0; x - y - 1 = 0
{x^2 - y^2 - 5 = 0; x = y+1
{(y+1)^2 - y^2 - 5 = 0; x = y+1
{y^2 + 2y + 1 - y^2 - 5 = 0; x = y+1
{2y - 4 = 0; x = y+1
{2y = 4; x = y+1
{y = 2; x = y+1
{y = 2; x = 3
(3; 2) - аналитическое решение исходной системы
2) Метод простых итераций
Для численного решения исходной системы нелинейных уравнений методом простых итераций необходимо привести исходную систему к виду
{x = G1(x;y); y = G2(x;y)
G1(x;y) = x + a(x^2 - y^2 - 5) + b(x - y - 1)
G2(x;y) = y + c(x^2 - y^2 - 5) + d(x - y - 1)
Неизвестные a, b, c и d определяются из достаточных условий сходимости итерационного процесса
|dG1/dx| + |dG2/dx| < 1 и |dG1/dy| + |dG2/dy| < 1
Распишем эти условия подробно
|1 + 2ax + b| + |2cx + d| < 1 и |-2ay - b| + |1 - 2cy - d| < 1
Полагаем выражения под модулем равными нулю. Получаем следующую систему линейных уравнений
{1+2ax+b=0; 2cx+d=0; -2ay-b=0; 1-2cy-d=0
x и y берем из начального условия (1;0)
Тогда система линейных уравнений принимает вид
{1+2a+b=0; 2c+d=0; -b=0; 1-d=0;
{1+2a+b=0; 2c+d=0; b=0; d=1
{1+2a=0; 2c+1=0; b=0; d=1
{a=-1/2; c=-1/2; b=0; d=1
Тогда
x = x + G1(x;y) = x - 1/2(x^2 - y^2 - 5)
y = y + G2(x;y) = y - 1/2(x^2 - y^2 - 5) + (x - y - 1)
Рабочая формула метода простых итераций
x_n+1 = x_n - 1/2((x_n)^2 - (y_n)^2 - 5)
y_n+1 = y_n - 1/2((x_n)^2 - (y_n)^2 - 5) + (x_n - y_n - 1)
Начальное приближение
x_0 = 1; y_0 = 0
Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: |x_n+1 - x_n| < эпсилон и |y_n+1 - y_n| < эпсилон. В этом случае (x_n+1; y_n+1) - приближенное решение исходной системы нелинейных уравнений
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 янв. 2009 12:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3) Метод Ньютона
f'(x;y) = 2x -2y
1 -1
det f'(x;y) = -2x+2y
(f'(x;y))^(-1) = -1/(2y-2x) 2y/(2y-2x)
-1/(2y-2x) 2x/(2y-2x)
x_n+1 = {(y_n)^2 - (x_n)^2 + 2y_n - 5}/{2y_n - 2x_n}
y_n+1 = {(y_n)^2 - (x_n)^2 + 2x_n - 5}/{2y_n - 2x_n}
Начальное приближение
x_0 = 1; y_0 = 0
Процесс заканчивается при одновременном выполнении двух условий: |x_n+1 - x_n| < эпсилон и |y_n+1 - y_n| < эпсилон. В этом случае (x_n+1; y_n+1) - приближенное решение исходной системы нелинейных уравнений
---------------------------------------------------------------------------------
Написание программ - вопрос не форума "Математика"
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 янв. 2009 17:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Лабораторная работа 4
{6x-2y+2z=6; 2x+5y-2z=5; 2x+2y-6z=-2
1) Определим аналитическое решение исходной системы линейных уравнений (методом Гаусса)
6 -2 2 6
2 5 -2 5
2 2 -6 -2
3 -1 1 3
2 5 -2 5
1 1 -3 -1
0 -4 10 6
0 3 4 7
1 1 -3 -1
0 -4 10 6
0 -1 14 13
1 1 -3 -1
0 -4 10 6
0 1 -14 -13
1 1 -3 -1
0 -2 5 3
0 1 -14 -13
1 1 -3 -1
0 0 -23 -23
0 1 -14 -13
1 0 11 12
0 0 1 1
0 1 -14 -13
1 0 11 12
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
x = y = z = 1
(1;1;1) - аналитическое решение исходной системы линейных уравнений
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 янв. 2009 17:22 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
2) Метод простых итераций
Модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов.
Тогда рабочая формула метода простых итераций имеет вид
x_n+1 = 1 + (y_n)/3 - (z_n)/3
y_n+1 = 1 - 2(x_n)/5 + 2(z_n)/5
z_n+1 = 1/3 + (x_n)/3 + (y_n)/3
Начальное приближение
x_0 = 1
y_0 = 1
z_0 = 1/3
Итерационный процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий
|x_n+1 - x_n| < эпсилон
|y_n+1 - y_n| < эпсилон
|z_n+1 - z_n| < эпсилон
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 янв. 2009 17:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3) Метод Зейделя
Тогда рабочая формула метода Зейделя имеет вид
x_n+1 = 1 + (y_n)/3 - (z_n)/3
y_n+1 = 1 - 2(x_n+1)/5 + 2(z_n)/5
z_n+1 = 1/3 + (x_n+1)/3 + (y_n+1)/3
Начальное приближение
x_0 = 1
y_0 = 1
z_0 = 1/3
Итерационный процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий
|x_n+1 - x_n| < эпсилон
|y_n+1 - y_n| < эпсилон
|z_n+1 - z_n| < эпсилон
-----------------------------------------------------
Написание программ - вопрос не форума "Математика"
(Сообщение отредактировал RKI 2 янв. 2009 17:32)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 янв. 2009 17:31 | IP
|
|
Форум
Вычислительная математика
