Denis123
Новичок
|
    
1. Даны векторы a и b, причем:
|a|=6, |b|=3, a^b=120 градусов.
Найти:
а) координаты вектора a, если вектор а сонаправлен с вектором c {-2;1;2};
б) длину вектора a+2b
в) площадь параллелограмма с диагоналями a+b и a-b.
2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны a. Используя векторы, найдите:
а) угол между прямыми AB и A1C;
б) расстояние между серединами отрезков BC и AC1.
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a.
При симметрии относительно плоскости CC1D точка B1 перешла в точку B2. Найдите AB2.
Пожалуйста, помогите решить.
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 10:49 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
1а)
Векторы a и c сонаправлены. Это означает, координаты данных векторов пропорциональны, и в отношении дают положительное число.
a {-2k; k; 2k}, k>0
|a| = sqrt{(-2k)^2+k^2+(2k)^2} = sqrt{9k^2} = 3k
С другой стороны, |a| = 6, то есть 3k=6, k =2
a {-4; 2; 4}
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 11:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1б)
Возьмем некоторую точку A на плоскости. От точки A отложим вектор AB, равный вектору a. Длина отрезка AB равна 6.
Также от точки A отложим вектор AD, равный вектору 2b. Длина отрезка AD = |2b| = 2|b| = 6. Угол между векторами a и 2b также равен 120 градусов, так как векторы b и 2b сонаправлены.
Далее достраиваем параллелограмм ABCD. Это получается параллелограмм, построенный на векторах a и 2b.
Угол BAD равен 120 градусов. Тогда угол ABC равен 60 градусов.
Диагональ АС соответствует вектору a+2b. Таким образом надо найти длину диагонали АC.
В параллелограмме ABCD BC = AD = 6
Рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике AB = AC = 6 и угол ABC равен 60 градусов. Это получается равносторонний треугольник. Следовательно AC тоже равно 6.
|a+2b| = AC = 6
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 11:42 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1в)
Возьмем некоторую точку A на плоскости. От точки A отложим вектор AB, равный вектору a. Длина отрезка AB равна 6.
Также от точки A отложим вектор AD, равный вектору b. Длина отрезка AD равна 3.
Угол BAD равен 120 градусов.
Далее достраиваем параллелограмм ABCD. Это получается параллелограмм, построенный на векторах a и b.
Вектор AC есть вектор a+b. Вектор DB есть вектор a-b.
Таким образом надо найти площадь построенного параллелограмма.
По формуле S = AB*AD*sinBAD = 6*3*sin120 = 6*3*sqrt(3)/2 =
= 9*sqrt(3)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 11:52 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
3)
Сначала постороим точку В2.
Опускаем перпендикуляр из точки B1 на плоскость СС1D. Плоскость CC1D это не что иное, как грань куба CC1D1D. В кубе ребро B1C1 перпендикулярно грани CC1D1D. Следовательно, данный перпендикуляр и есть ребро B1C1. Далее строим перпендикуляр из точки C1 (этот перпендикуляр получается как бы вне куба). И отмечаем точку B2 из условия B1C1 = C1B2 = a.
Точка B2 постороена.
B1B2 = B1C1 + C1B2 = a + a = 2a.
Рассмотрим треугольник AA1B1. Данный треугольник является прямоугольным. AA1 = A1B1 = a. По теореме Пифагора найдем AB1. AB1 = a*sqrt(2).
Рассмотрим треугольник AB1B2. Ребро C1B1 перпендикулярно грани AA1B1B, следовательно оно перпендикулярно и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая AB1 лежит в этой плоскости AA1B1B, следовательно C1B1 перпендикулярно AB1. Угол AB1B2 равен 90 градусов. Следовательно треугольник AB1B2 прямоугольный.
AB1 = a*sqrt(2).
B1B2 = 2a.
По теореме Пифагора найдем AB2.
AB2 = a*sqrt(6)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 12:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
2a)
*У призмы верхний трегольник я назвала ABC, а нижний - A1B1C1*
Поставлю начало координат в точку A1. Точка A1 имеет координаты (0,0,0).
Ось Ox идет по прямой A1C1. Ось Oy идет по прямой AA1. Ось Oz лежит в плоскости A1B1C1 и перпендикулярна прямой A1C1.
Таким образом, мы ввели систему координат.
Точка A имеет координаты (0, a, 0).
Найдем координаты точки B. Опускаем перпендикуляр из точки B на плоскость xOz (то же самое, что и плоскость A1B1C1). Получим точку B1. Из точки B1 опускаем перпендикуляр на ось абсцисс, в пересечении получаем точку D. Рассмотрим треугольник A1B1D. Это прямоугольный треугольник (угол A1DB1 равен 90 градусов). Призма является правильной, следовательно треугольник A1B1C1 - равносторонний. Это означает, что угол B1A1C1 равен 60 градусов. Тогда угол A1B1D равен 30 градусов. В прямоугольном треугольнике катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине длины гипотенузы, то есть A1D = 1/2*A1B1 = a/2. Таким образом абсцисса точки B равна a/2.
Ордината точки B равна a.
Из точки B1 опускаем перпендикуляр на ось Oz. В пересечении получаем точку E. Найдем A1E.
A1E = B1D.
B1D находим из треугольника A1B1D. A1B1 = a, A1D = a/2.
По теореме Пифагора B1D = a*sqrt(3)/2.
A1E = B1D = sqrt(3)/2. Следовательно аппликата точки B равна a*sqrt(3)/2.
Координаты точки B (a/2, a, a*sqrt(3)/2).
Найдем координаты вектора AB.
AB {a/2 - 0; a-a; a*sqrt(3)/2-0}
AB {a/2; 0; a*sqrt(3)/2}
Координаты точки A1 (0; 0; 0)
Координаты точки C (a; a; 0)
Координаты вектора A1C {a-0; a-0; 0-0}
A1C {a; a; 0}
Найдем скалярное пооизведение
(A1C; AB) = a*a/2 + a*0 + 0* a*sqrt(3)/2 = a*a/2
С друuой стороны (A1C; AB) = |A1C|*|AB|*cos(угол между векторами) = a*sqrt(2) * a *cos(угол между векторами)
Тогда cos(угол между векторами) = 1/2*sqrt(2)
угол между векторами = arrcos(1/2*sqrt(2))
*Проверьте мои вычисления*
(Сообщение отредактировал RKI 15 окт. 2008 20:56)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 13:07 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
2б)
Сохраним теже самые построения, что и в задаче 2а.
Середину стороны BC обозначим через M.
Середину стороны AC1 обозначим через N.
Нам необходимо найти длину MN.
Координаты точки N очевиды: (a/2; a/2; 0)
Найдем координаты точки M.
Опускаем перпендикуляр из точки M на плоскость xOz. Точку пересечения даного перпендикуляра с отрезком B1C1 обозначим через F. Точка F будет серединой отрезка B1C1. Из точки F проводим перпендикуляр к A1B1. Точку пересечения данного перпендикуляра назовем H. Тоска H будет серединой отрезка DC1.
Тогда A1H = A1D + DH = A1D + 1/2DC1 = a/2 + a/4 = 3a/4.
Следовательно абсцисса точки M равна 3a/4.
Ордината точки М равна a.
Из точки F проведем перпендикуляр к оси Oz. Точку пересечения обозначим через K. A1K = FH.
Рассмотрим треугольник B1DC1. FH - средняя линия и
FH = 1/2B1D = a*sqrt(3)/4
A1K = a*sqrt(3)/4. Следовательно, аппликата точки M равна
a*sqrt(3)/4.
N (a/2; a/2; 0)
M (3a/4; a; a*sqrt(3)/4)
Вектор NM имеет координаты {a/4; a/2; a*sqrt(3)/4}
Осталось лишь найти длину вектора
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 окт. 2008 20:55 | IP
|
|
Denis123
Новичок
|
Большое спасибо, выручила меня.
Плохо разбираюсь в геометрии, но оценку портить не хочется.
Спасибо еще раз 
(Сообщение отредактировал Denis123 16 окт. 2008 15:32)
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 окт. 2008 15:17 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Denis123 написал 16 окт. 2008 15:17
Большое спасибо, выручил меня.
Плохо разбираюсь в геометрии, но оценку портить не хочется.
Спасибо еще раз
Только "выручила"
Всегда пожалуйста
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 окт. 2008 15:32 | IP
|
|
Denis123
Новичок
|
Прошу прощения, не сразу заметил ^^
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 окт. 2008 15:31 | IP
|
|
|
Форум
Помогите решить пару задач по геометрии
