Guest
Новичок
|
    
Помогите решить задание (Вступительный экзамен ВМК,2003 №3
Найдите область значения выражения y=x-sqrt(x^2 + x -2)
Единственное доп. условие - НЕ использовать производную.
Заранее спасибо за помощь.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 14 сен. 2008 0:03 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Функция определена на множестве (-беск.; -2]U[1;+беск.).
При x<=-2 выполнено y(x)<=-2, что легко проверяется, да и так ясно.
При x>=1 функция монотонно убывает, что просто показать, при этом y(x)<=1.
Переписав ее в виде y(x)=x-sqrt(x^2 + x -2)=(x-sqrt(x^2 + x -2))(x+sqrt(x^2 + x -2))/(x+sqrt(x^2 + x -2))=(2-x)/(x+sqrt(x^2 + x -2))=(2/x-1)/(1+sqrt(1 + (1/x) -(2/x^2))), легко видеть, что при x>=1 выполнено y(x)>-1/2.
Таким образом: область значений y(x) есть суть множество (-беск.;-2]U(-1/2; 1]
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 14 сен. 2008 11:07 | IP
|
|
maximow1
Новичок
|
Огромное спасибо за решение.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 14 сен. 2008 12:31 | IP
|
|
maximow1
Новичок
|
Единственный вопрос: если функцию представить в виде:
x - sqrt(x^2 +x -2)=(2x - 2sqrt(x^2 +x -2))/2+1/2-1/2=(sqrt(x+2)-sqrt(x-1))^2 /2-1/2
То куда девается часть ответа, содержащая (-беск; -2]?
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 14 сен. 2008 12:54 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
При таком представлении рассматривается ветвь функции в полуплоскости x>=1, что написано непосредственно перед этим.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 14 сен. 2008 13:01 | IP
|
|
maximow1
Новичок
|
Еще одна просьба, докажите для чайника 1 и 2 пункты вашего решения
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 14 сен. 2008 13:34 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
В первом решаете неравенство x-sqrt(x^2 + x -2)<=-2.
Во втором задаетесь точками x1, x2 и из того, что x1<x2 показываете, что y(x1)>y(x2)
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 14 сен. 2008 14:00 | IP
|
|
marusia421
Новичок
|
lim (->1)(x-sqrt(x))/(x^2-x) помогите как решить пожалуйста
|
Всего сообщений: 6 | Присоединился: декабрь 2010 | Отправлено: 15 дек. 2010 22:28 | IP
|
|
paradise
Долгожитель
|
2 marusia421
Вы не в той теме задаете вопросы.
lim (x->1)(x-sqrt(x))/(x^2-x) =
lim (x->1)(x-sqrt(x))/[(x-sqrt(x))(x+sqrt(x))]=
lim (x->1)1/(x+sqrt(x)) = 1/2
|
Всего сообщений: 428 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 16 дек. 2010 2:37 | IP
|
|
marusia421
Новичок
|
спасибо
|
Всего сообщений: 6 | Присоединился: декабрь 2010 | Отправлено: 16 дек. 2010 12:11 | IP
|
|
Форум
Область значения функции
