RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: Nastenka91 написал 28 янв. 2009 16:21
1.Найти радиус окружности вписанной в равнобедренную трапецию, если меньшее основание трапеции в 3 раза меньше средней линии, а площадь равна 15 корней из 5;
Построим трапецию ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание.
По условию задачи трапеция равнобедренная. Это означает, что AB = CD.
Проведем в трапеции среднюю линию MN.
MN = (BC+AD)/2
По условию задачи меньшее основание трапеции в 3 раза меньше средней линии, то есть MN = 3BC
(BC+AD)/2 = 3BC
BC+AD = 6BC
AD = 5BC
Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. В данную трапецию вписана окружность, следовательно
BC + AD = AB + CD
BC + 5BC = AB + AB
6BC = 2AB
AB = 3BC
Таким образом, получаем: AD = 5BC; AB = CD = 3BC
Проведем две высоты BH и CK. Четырехугольник BHKC является прямоугольником. Тогда HK = BC
AD = AH + HK + KD
5BC = AH + BC + KD
AH + KD = 4BC
Рассмотрим треугольники ABH и CKD. Они равны:
AB = CD; BH = CK; все углы равны. Следовательно, AH = KD
AH + KD = 4BC
2AH = 4BC
AH = 2BC
AH = KD = 2BC
Рассмотрим треугольник ABH. Он является прямоугольным (угол AHB равен 90 градусов). По теореме Пифагора
(AB)^2 = (AH)^2 + (BH)^2
9(BC)^2 = 4(BC)^2 + (BH)^2
(BH)^2 = 5(BC)^2
BH = BC*sqrt(5)
S(ABCD) = (1/2)*(BC+AD)*BH = (1/2)*(BC+5BC)*BC*sqrt(5) =
= 3*(BC)^2*sqrt(5) = 15sqrt(5)
(BC)^2 = 5
BC = sqrt(5)
BH = BC*sqrt(5) = sqrt(5)*sqrt(5) = 5
BH = 2*r; r = (1/2)*BH = 2.5
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 12:19 | IP
|
|
marsvetlanka
Новичок
|
Помогите пожалуйста!!!!
Точки А(8;-3:1), В(-3;-3;1), С(-3;6;1) - вершины основы треугольной пирамиды SABC, а S лежит на сфере (х-15)^2+(у-16)^2+(z-17)^2=100. Найти наименьшее значение объема пирамиды SABC.
Хотя бы подскажите где еще можно посмотреть подобную задачу.
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 29 янв. 2009 12:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: marsvetlanka написал 29 янв. 2009 12:32
Помогите пожалуйста!!!!
Точки А(8;-3:1), В(-3;-3;1), С(-3;6;1) - вершины основы треугольной пирамиды SABC, а S лежит на сфере (х-15)^2+(у-16)^2+(z-17)^2=100. Найти наименьшее значение объема пирамиды SABC.
Хотя бы подскажите где еще можно посмотреть подобную задачу.
Пусть точка S имеет координаты (a; b; c)
Следующие вектора имеют следующие координаты
SA {a-8; b+3; c-1}
SB {a+3; b+3; c-1}
SC {a+3; b-6; c-1}
Вычислим векторное произведение векторов SB и SC
SBxSC = |i j k | = i*|b+3 c-1| - j*|a+3 c-1| + k*|a+3 b+3|
|a+3 b+3 c-1| |b-6 c-1| |a+3 c-1| |a+3 b-6|
|a+3 b-6 c-1|
= i*[(b+3)(c-1) - (c-1)(b-6)] - j*[(a+3)(c-3) - (a+3)(c-1)] +
+ k*[(a+3)(b-6) - (b+3)(a+3)] =
= i*(c-1)(b+3-b+6) - j*(a+3)(c-3-c+1) + k*(a+3)(b-6-b-3) =
= i*9(c-1) + j*2(a+3) + k*(-9)(a+3)
SBxSC {9(c-1); 2(a+3); -9(a+3)}
SA {a-8; b+3; c-1}
Вычислим смешанное произведение
(SA; SBxSC) = 9(c-1)(a-8) + 2(a+3)(b+3) - 9(a+3)(c-1)
V = 1/6[9(c-1)(a-8) + 2(a+3)(b+3) - 9(a+3)(c-1)] - объем пирамиды
V - функция от трех переменных
Необходимо найти минимум этой функции при условии, что
(a-15)^2+(b-16)^2+(c-17)^2=100
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 13:43 | IP
|
|
Nastenka91
Новичок
|
помогите!!!!!!!
Основание прямой призмой АВСДА1В1С1Д1, параллелограмм АВСД: ВС=2, угол АВС=60 градусов, высота призмы 2 корня из 3, найти тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью А1ДС.
|
Всего сообщений: 33 | Присоединился: сентябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 14:51 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Nastenka91
1) Проведём плоскость через ребро АА1 перпендикулярно ребру СД. Пусть эта плоскость пересекает СД в точке К.
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник АКД. Угол АДК равен углу АВС=60 градусов. Значит угол КАД равен 30 градусам. Поэтому катет КД равен половине гипотенузы АД=2, т. е. КД = 1. Тогда катет АК = sqrt(3).
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник КАА1. Далее, АА1= 2sqrt(3), АК=sqrt(3). Поэтому тангенс угла АКА1 равен 2.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 16:50 | IP
|
|
Talia
Новичок
|
Помогите пожалуйста решить задачу: Отрезок КА=3 см - перпендикуляр к плоскости ромба АВСД, в котором АВ=5 см, ВД=6 см. Найдите расстояние от точки К до прямой ВД.
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 29 янв. 2009 17:36 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Talia написал 29 янв. 2009 17:36
Помогите пожалуйста решить задачу: Отрезок КА=3 см - перпендикуляр к плоскости ромба АВСД, в котором АВ=5 см, ВД=6 см. Найдите расстояние от точки К до прямой ВД.
Проведем в ромбе ABCD диагонали AC и BD.
Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Пусть точка O - точка пересечения диагоналей AC и BD.
Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной.
KO - наклонная
AO - проекция наклонной KO на плоскость ABCD
BD перпендикулярна AO
Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах
BD перпендикулярна KO. Значит, KO - расстояние от точки K до прямой BD.
BO = (1/2)BD = 3
Рассмотрим треугольник AOB. Он является прямоугольным. По теореме Пифагора
AB^2 = AO^2 + OB^2
25 = AO^2 + 9
AO^2 = 16
AO = 4
Рассмотрим треугольник OAK. Он является прямоугольным. По теореме Пифагора
KO^2 = KA^2 + AO^2 = 9 + 16 = 25
KO = 5
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 янв. 2009 17:50 | IP
|
|
Talia
Новичок
|
RKI, огромное спасибо!!!
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 29 янв. 2009 18:37 | IP
|
|
Grankoin
Новичок
|
1.Плоскости а и б параллельные. В плоскости а выбраны точки A и B, а в плоскости б – точки C и D таковы, что прямые AC и BD параллельны. Найдите длины отрезков CD и BD, если AB = 4см, AC = 5,6 см. 2.Треугольник ABC является изображением правильного треугольника. Как построить изображение высоты треугольника, опущенной на сторону AC?
3. Отрезок MN лежит в плоскости а, концы видризка EF принадлежат параллельным плоскостям а и б. Постройте линии пересечения плоскости б с плоскостями EMN и EMF. 4. Плоскость а и б параллельные между собой. Из точки M, которая не принадлежит этим плоскостям и не находится между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости а и б в точках A1 и B1. а второй – в точках A2 и B2 соответственно. Найдите длину отрезка B1b2, если он на 2 см больше отрезка A1a2, Mb1 = 7 см, A1b1 = 4 см.
==========
1. С точки A до плоскости а проведена наклонная AB. Найдите длину проекции этой наклонной на плоскость а, если AB = 26 см, а точка A удалена от плоскости а на 10 см. 2. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна к основам AD и BC. Через вершину B проведена прямая BF, которая не лежит в плоскости трапеции и перпендикулярная к прямой BC. Докажите, что прямая BC перпендикулярная к плоскости ABF.
3. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC (угол ACB – 900) к его плоскости проведен перпендикуляр AM. Найдите длину гипотенузы AB, если BC = 5 см, MC = 17 см, MA = 8 см. 4. Точка D находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин правильного треугольника ABC, сторона которого равняется 6 см. Найдите расстояние от точки D к плоскости ABC.
помогите решить контрольные,пожалуйста...
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 31 янв. 2009 8:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Grankoin написал 31 янв. 2009 8:32
1. С точки A до плоскости а проведена наклонная AB. Найдите длину проекции этой наклонной на плоскость а, если AB = 26 см, а точка A удалена от плоскости а на 10 см.
Опустим из точки A перпендикуляр на плоскость a. Точка O - точка пересечения построенного перпендикуляра и плоскости a.
AB = 26 см
AO = 10 см
Необходимо найти длину проекцию BO.
AO - перпендикуляр к плоскости a. Следовательно, AO перпендикулярен к любой прямой, лежащей в плоскости a.
Рассмотрим треугольник AOB. Он является прямоугольным (угол AOB равен 90 градусов).
(AB)^2 = (AO)^2 + (OB)^2
676 = 100 + (OB)^2
(OB)^2 = 576
OB = 24
ответ. 24 см
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 янв. 2009 8:40 | IP
|
|
|
Форум
Геометрические задачи - 2
